Quiz: Révisions de mathématiques de Première — 64 domande

1. Laquelle décrit correctement une suite numérique ?

A. Une somme infinie de nombres réels rangés sans ordre particulier

B. Une fonction qui associe à chaque réel un entier naturel

C. Une liste ordonnée de nombres associant à chaque entier n, à partir d’un certain rang, un réel u_n

D. Une expression polynomiale définie uniquement pour les entiers positifs

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres qui associe à tout entier n, à partir d’un certain rang, un nombre réel noté u_n.

2. Quelle situation correspond à une suite définie par récurrence ?

A. On représente les termes par des points dans un repère

B. On donne uniquement les cinq premiers termes de la suite

C. On donne u_0=3 et u_{n+1}=2u_n+1

D. On donne directement u_n=2n+3

Answer: (C)

Spiegazione

Une définition par récurrence fournit un terme initial et une relation exprimant u_{n+1} en fonction de u_n. La formule u_n=2n+3 est une définition explicite.

3. Une suite vérifie u_{n+1}≥u_n pour tout n. Comment la qualifie-t-on ?

A. Elle est constante

B. Elle est décroissante

C. Elle est croissante

D. Elle est strictement croissante

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite est croissante lorsqu'u_{n+1}≥u_n ; l’égalité est donc autorisée. La croissance stricte exige u_{n+1}>u_n.

4. Laquelle de ces situations caractérise une suite divergente ?

A. Elle admet une limite égale à zéro

B. Elle tend vers une limite réelle finie

C. Elle tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞

D. Elle se rapproche d’un nombre réel fixe

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite qui tend vers +∞ n’admet pas de limite finie : elle est donc divergente. Une suite possédant une limite réelle finie est convergente.

5. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

A. u_{n+1}=u_n^r

B. u_{n+1}=u_n+r^n

C. u_{n+1}=u_n+r

D. u_{n+1}=u_nq

Answer: (C)

Spiegazione

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la raison r au terme précédent : u_{n+1}=u_n+r.

6. Quelle formule donne la somme des termes u_0 à u_N d’une suite arithmétique ?

A. ∑_{k=0}^{N}u_k=u_0(1-q^{N+1})/(1-q)

B. ∑_{k=0}^{N}u_k=(N+1)u_0u_N

C. ∑_{k=0}^{N}u_k=(u_0+u_N)/2

D. ∑_{k=0}^{N}u_k=(N+1)(u_0+u_N)/2

Answer: (D)

Spiegazione

La somme arithmétique vaut le nombre de termes, N+1, multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. La formule comportant une puissance de q concerne une suite géométrique.

7. Une suite géométrique de raison q vérifie quelle relation de récurrence ?

A. u_{n+1}=u_n/q^n

B. u_{n+1}=u_nq

C. u_{n+1}=u_n+q

D. u_{n+1}=q^n+u_n

Answer: (B)

Spiegazione

Une suite géométrique s’obtient en multipliant chaque terme par sa raison q : u_{n+1}=u_nq.

8. Quelle expression représente la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q≠1 ?

A. u_0+Nq

B. (N+1)(u_0+u_N)/2

C. u_0q^{N+1}

D. u_0(1-q^{N+1})/(1-q)

Answer: (D)

Spiegazione

La somme géométrique jusqu’au rang N est u_0(1-q^{N+1})/(1-q). La formule avec la moyenne des extrêmes appartient aux suites arithmétiques.

9. Quelle condition est nécessaire pour que f(x)=ax²+bx+c soit un polynôme du second degré ?

A. Le coefficient b doit être non nul

B. Le coefficient c doit être positif

C. Le discriminant doit être positif

D. Le coefficient a doit être non nul

Answer: (D)

Spiegazione

Un polynôme du second degré s’écrit ax²+bx+c avec a≠0. Si a=0, la fonction devient au plus affine.

10. Pour f(x)=ax²+bx+c, quelles sont les coordonnées du sommet dans la forme canonique ?

A. α=b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a)

B. α=b²−4ac et β=−b/(2a)

C. α=−2a/b et β=c/a

D. α=−b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a)

Answer: (D)

Spiegazione

La forme canonique est f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a). Elle met directement en évidence le sommet.

11. Quel est le discriminant de l’équation 3x²−5x+2=0 ?

A. 25

B. 1

C. −1

D. 49

Answer: (B)

Spiegazione

On calcule Δ=b²−4ac=(−5)²−4×3×2=25−24=1.

12. Que peut-on conclure pour une équation du second degré dont le discriminant est strictement négatif ?

A. Elle possède une infinité de solutions réelles

B. Elle possède deux solutions réelles distinctes

C. Elle possède une solution réelle double

D. Elle n’a aucune solution réelle

Answer: (D)

Spiegazione

Lorsque Δ<0, l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle. Une solution double correspond au cas Δ=0.

13. Quelle expression définit la dérivée de f au point a lorsqu’elle existe ?

A. La limite de \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0

B. La limite de \(\frac{f(a+h)+f(a)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0

C. La valeur \(f(a)\) de la fonction au point a

D. Le quotient \(\frac{f(a)}{a}\) lorsqu'a est non nul

Answer: (A)

Spiegazione

La dérivée en a est définie par la limite du taux d’accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) lorsque h tend vers 0. Elle ne se confond pas avec la valeur \(f(a)\).

14. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point \(A(a,f(a))\) ?

A. \(y=f(a)(x-a)+f'(a)\)

B. \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

C. \(y=f'(x)(a-x)+f(a)\)

D. \(y=f(a)x+f'(a)\)

Answer: (B)

Spiegazione

La tangente a pour coefficient directeur \(f'(a)\) et passe par \(A(a,f(a))\), d’où l’équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

15. Quelle dérivée usuelle est correcte ?

A. \((e^x)'=1\)

B. \((\cos x)'=\cos x\)

C. \((\sin x)'=\cos x\)

D. \((\sin x)'=-\sin x\)

Answer: (C)

Spiegazione

Parmi les dérivées usuelles, on a notamment \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\) et \((e^x)'=e^x\).

16. Si \(f(x)=u(x)v(x)\), quelle formule permet de calculer sa dérivée ?

A. \(f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)\)

B. \(f'(x)=u'(x)v'(x)\)

C. \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)

D. \(f'(x)=\frac{u'(x)}{v'(x)}\)

Answer: (C)

Spiegazione

La dérivée d’un produit est la somme de la dérivée du premier facteur multipliée par le second et du premier facteur multiplié par la dérivée du second.

17. Sur un intervalle où \(f'(x)<0\), quelle variation de f peut-on conclure ?

A. f est strictement croissante

B. f est constante

C. f est strictement décroissante

D. f possède nécessairement un maximum local

Answer: (C)

Spiegazione

Une dérivée strictement négative sur un intervalle implique que la fonction y est strictement décroissante. Une dérivée positive correspondrait à une croissance.

18. Lequel des points suivants est un point critique de f ?

A. Un point où la fonction est nécessairement maximale

B. Un point où la dérivée vaut nécessairement un

C. Un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas

D. Un point où la fonction vaut nécessairement zéro

Answer: (C)

Spiegazione

Un point critique est un point où la dérivée est nulle ou n’existe pas. Cela ne signifie pas automatiquement que la fonction y atteint un extremum.

19. Que peut-on conclure si la dérivée change de signe de − vers + en a ?

A. Il n’existe aucun point critique en a

B. f(a) est un minimum local

C. f est constante au voisinage de a

D. f(a) est un maximum local

Answer: (B)

Spiegazione

Un changement de signe de la dérivée de − vers + signifie que la fonction passe de la décroissance à la croissance : \(f(a)\) est donc un minimum local.

20. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle vérifie \(f'(x)=x f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=1\)

B. Elle vérifie \(f'(x)=-f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=0\)

C. Elle vérifie \(f'(x)=f(x)\) pour tout réel x et \(f(0)=1\)

D. Elle vérifie \(f'(x)=1\) pour tout réel x et \(f(0)=0\)

Answer: (C)

Spiegazione

La fonction exponentielle est l’unique fonction qui est égale à sa dérivée en tout réel et qui prend la valeur 1 en 0.

21. Quelle affirmation décrit correctement la fonction \(x\mapsto e^x\) ?

A. Elle peut être négative lorsque x est négatif

B. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ

C. Elle est strictement décroissante sur ℝ

D. Elle s’annule pour une valeur réelle de x

Answer: (B)

Spiegazione

La fonction exponentielle est définie sur ℝ, strictement positive et strictement croissante. Elle tend vers 0 en −∞ sans jamais atteindre cette valeur.

22. Quelle égalité est vraie pour tous réels a et b ?

A. \(e^{a-b}=e^{a}e^{b}\)

B. \(e^{a-b}=\frac{e^b}{e^a}\)

C. \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\)

D. \(e^{a-b}=e^a-e^b\)

Answer: (C)

Spiegazione

La propriété du quotient des exponentielles donne \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\). Elle découle notamment de \(e^{-b}=\frac{1}{e^b}\).

23. Pour quels réels a et b l’inégalité \(e^a<e^b\) est-elle vérifiée ?

A. Exactement lorsque \(a>b\)

B. Exactement lorsque \(a<b\)

C. Pour tous a et b réels

D. Lorsque \(a=b\)

Answer: (B)

Spiegazione

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve strictement l’ordre : \(e^a<e^b\) équivaut à \(a<b\).

24. Sur le cercle trigonométrique, comment les coordonnées du point associé à un angle θ sont-elles déterminées ?

A. Son abscisse est sin θ et son ordonnée est cos θ

B. Son abscisse est cos θ et son ordonnée est sin θ

C. Son abscisse est tan θ et son ordonnée est cos θ

D. Son abscisse est θ et son ordonnée est 1

Answer: (B)

Spiegazione

Le point associé à θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ) : le cosinus donne l’abscisse et le sinus l’ordonnée.

25. Quelle égalité reste vraie pour toute valeur réelle de x ?

A. cos²(x)+sin(x)=1

B. cos²(x)-sin²(x)=1

C. cos(x)+sin(x)=1

D. cos²(x)+sin²(x)=1

Answer: (D)

Spiegazione

L’identité trigonométrique fondamentale est cos²(x)+sin²(x)=1.

26. La norme d’un vecteur de coordonnées (−3,4) vaut combien ?

A. 1

B. 5

C. 25

D. 7

Answer: (B)

Spiegazione

La norme vaut √(x²+y²), donc √(9+16)=√25=5.

27. Si u=(2,1) et v=(3,−2), quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

A. 4

B. 8

C. −4

D. 0

Answer: (D)

Spiegazione

On calcule u·v=2×3+1×(−2)=6−2=4. La bonne réponse est donc 4.

28. Que permet de lire directement la forme canonique f(x)=a(x−h)²+k ?

A. La pente de la parabole en chaque point

B. Le sommet (h,k) et l’axe x=h

C. Les racines et le discriminant

D. Les coefficients développés a, b et c uniquement

Answer: (B)

Spiegazione

La forme canonique donne directement le sommet (h,k) et l’axe de symétrie x=h.

29. Une fonction quadratique possède un coefficient a négatif. Quelle caractéristique sa parabole présente-t-elle ?

A. Elle est ouverte vers le haut et possède un maximum

B. Elle est ouverte vers le bas et possède un minimum

C. Elle est ouverte vers le bas et possède un maximum

D. Elle est ouverte vers le haut et possède un minimum

Answer: (C)

Spiegazione

Lorsqu'a<0, la parabole est ouverte vers le bas et sa valeur au sommet est un maximum.

30. Pour f_m(x)=x²−2mx+m²−1, quelles sont l’abscisse et l’ordonnée du sommet ?

A. (m,−1)

B. (−m,1)

C. (m,1)

D. (−m,−1)

Answer: (A)

Spiegazione

La forme canonique est f_m(x)=(x−m)²−1, donc le sommet est (m,−1).

31. Pour déterminer les points d’intersection d’une parabole et d’une droite, quelle méthode faut-il appliquer ?

A. Calculer le produit de leurs expressions de y

B. Égaliser leurs expressions de y puis interpréter les solutions

C. Comparer uniquement leurs coefficients directeurs

D. Additionner leurs expressions de y puis résoudre

Answer: (B)

Spiegazione

Les points communs vérifient la même valeur de y : on égalise donc les deux expressions, puis le nombre de solutions donne le nombre d’intersections.

32. Que signifie la notation P_A(B), lorsque P(A) est non nulle ?

A. La probabilité de A ou B

B. La probabilité de B sachant A

C. La probabilité de A et B indépendants

D. La probabilité de A sachant B

Answer: (B)

Spiegazione

P_A(B) désigne la probabilité de B sachant qu'A est réalisé et vaut P(A∩B)/P(A).

33. Quelle expression permet de calculer la probabilité de l’intersection A∩B ?

A. P(A)×P(B) dans tous les cas

B. P(A)+P_A(B)

C. P(A)×P_A(B)

D. P(A∪B)−P(A)

Answer: (C)

Spiegazione

La relation fondamentale est P(A∩B)=P(A)×P_A(B). Le produit P(A)P(B) ne convient que lorsque l’indépendance est établie.

34. A et son complémentaire forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime alors P(B) ?

A. P(B)=P(A)P(B)+P(Ā)

B. P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B)

C. P(B)=P(A)+P(Ā)

D. P(B)=P_A(B)+P_Ā(B)

Answer: (B)

Spiegazione

La formule des probabilités totales additionne les contributions des deux cas : P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B).

35. Si P(A)>0, quelle condition caractérise l’indépendance de A et B ?

A. P_A(B)=P(B)

B. P(A∩B)=P(A)+P(B)

C. P(A)=P(B)

D. P_A(B)=P(A)

Answer: (A)

Spiegazione

Lorsque P(A)>0, A et B sont indépendants si et seulement si P_A(B)=P(B), ce qui équivaut à P(A∩B)=P(A)P(B).

36. Quelle propriété caractérise une variable aléatoire discrète X dans une expérience aléatoire ?

A. Elle associe une fonction dérivable à chaque nombre réel

B. Elle associe une issue unique à chaque nombre réel

C. Elle associe une probabilité identique à chaque événement

D. Elle associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience

Answer: (D)

Spiegazione

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel X(ω) à chaque issue ω de l’expérience aléatoire.

37. Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec des probabilités respectives p, 0,3 et 0,2. Quelle est la valeur de p ?

A. 1,5

B. 0,2

C. 0,5

D. 0,7

Answer: (C)

Spiegazione

La somme des probabilités doit être égale à 1 : p+0,3+0,2=1, d’où p=0,5.

38. Si E(X)=4, quelle est la valeur de E(3X-2) ?

A. 6

B. 12

C. 14

D. 10

Answer: (D)

Spiegazione

Par linéarité de l’espérance, E(3X-2)=3E(X)-2=3×4-2=10. Cette propriété de linéarité ne s’applique pas de la même manière à la variance.

39. Une variable aléatoire X est exprimée en mètres. Dans quelle unité l’écart-type σ(X) est-il exprimé ?

A. Sans unité

B. En mètres carrés

C. En mètres par seconde

D. En mètres

Answer: (D)

Spiegazione

La variance est exprimée dans l’unité au carré, tandis que l’écart-type, qui est sa racine carrée, est exprimé dans la même unité que X.

40. Quelle est la dérivée de f(x)=-2x²+4x+1 ?

A. f'(x)=-2x+4

B. f'(x)=2x²-4x

C. f'(x)= -4x+1

D. f'(x)=-4x+4

Answer: (D)

Spiegazione

En dérivant terme à terme, on obtient f'(x)=-4x+4. La forme canonique de f, elle, permet notamment d’identifier directement son sommet.

41. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y=f'(a)(x-a)+f(a)

B. y=f(a)(x-a)+f'(a)

C. y=f(a)(x-a)+a

D. y=f'(a)x+f(a)

Answer: (A)

Spiegazione

La tangente en a a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a). Ici, f'(a) représente la pente et f(a) l’ordonnée du point de contact.

42. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable ?

A. Déterminer les zéros de sa dérivée, étudier son signe, puis déduire les variations

B. Déterminer sa forme canonique sans calculer sa dérivée

C. Calculer uniquement sa valeur maximale et minimale

D. Étudier seulement le signe de la fonction elle-même

Answer: (A)

Spiegazione

On cherche les zéros de la dérivée, on établit son tableau de signe, puis on en déduit les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction.

43. Pour le modèle P(t)=50000e^{0,0191t}, quelle relation décrit la vitesse de croissance de la population ?

A. P'(t)=50000+0,0191t

B. P'(t)=0,0191P(t)

C. P'(t)=P(t)/0,0191

D. P'(t)=0,0191

Answer: (B)

Spiegazione

La dérivée vérifie P'(t)=0,0191P(t), ce qui signifie que la vitesse de croissance est proportionnelle à la population et que celle-ci est strictement croissante.

44. Quelle affirmation respecte les conditions de validité des deux inégalités usuelles de l’exponentielle et du logarithme ?

A. e^x≥1+x pour tout réel x et ln(x)≤x-1 pour x>0

B. e^x≥1+x pour x>0 et ln(x)≤x-1 pour tout réel x

C. Les deux inégalités sont valables pour tout réel x

D. Les deux inégalités exigent que x soit strictement positif

Answer: (A)

Spiegazione

L’inégalité e^x≥1+x est vraie pour tout réel x, tandis que ln(x)≤x-1 nécessite x>0, puisque le logarithme n’est défini que pour un argument positif.

45. Comment réécrire la fonction a sin(x) + b cos(x) sous la forme R sin(x + φ) ?

A. Avec R = √(a² + b²), où R est l’amplitude

B. Avec R = ab, où R est l’angle de phase

C. Avec R = √(a² − b²), où R est la période

D. Avec R = a + b, où R est le déphasage

Answer: (A)

Spiegazione

Toute fonction a sin(x) + b cos(x) s’écrit R sin(x + φ), avec R = √(a² + b²). R représente l’amplitude, tandis que φ représente le déphasage.

46. Pour la suite définie par u_n = nπ/4, après combien de pas la suite (sin(u_n)) retrouve-t-elle ses valeurs ?

A. Après 16 pas

B. Après 8 pas

C. Après 2 pas

D. Après 4 pas

Answer: (B)

Spiegazione

On a u_{n+8} = u_n + 2π, donc sin(u_{n+8}) = sin(u_n). La suite des sinus est ainsi périodique de période 8.

47. Quel est l’ensemble image de f(x) = sin(x) + √3 cos(x) ?

A. [-√3, √3]

B. [-4, 4]

C. [-1, 1]

D. [-2, 2]

Answer: (D)

Spiegazione

La fonction se réécrit f(x) = 2 sin(x + π/3). Comme le sinus varie entre −1 et 1, son image est donc [-2, 2].

48. Pour M(t,t² − 2t + 3), quels sont les vecteurs MA et MB lorsqu'A(0,3) et B(2,3) ?

A. MA = (t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, t² − 2t)

B. MA = (t, t² − 2t) et MB = (t − 2, t² − 2t)

C. MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (t − 2, t² − 2t)

D. MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, −t² + 2t)

Answer: (D)

Spiegazione

En soustrayant les coordonnées de M à celles de A et de B, on obtient MA = (−t, −t² + 2t) et MB = (2 − t, −t² + 2t).

49. Quelle expression factorisée représente le produit scalaire MA · MB pour M(t,t² − 2t + 3) ?

A. (t − 1)²(t − 2)²

B. t(t − 1)²(t − 2)

C. t(t − 1)(t − 2)²

D. t(t + 1)²(t + 2)

Answer: (B)

Spiegazione

Le produit scalaire vaut t⁴ − 4t³ + 5t² − 2t, qui se factorise en t(t − 1)²(t − 2).

50. Quelle condition caractérise l’orthogonalité des vecteurs MA et MB ?

A. Leur déterminant est nul

B. Leurs normes sont égales

C. Leurs coordonnées sont toutes positives

D. Leur produit scalaire est nul

Answer: (D)

Spiegazione

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Un déterminant nul caractérise plutôt le parallélisme dans le plan.

51. Quel point de la parabole correspond à la valeur t = 1 et constitue le sommet où l’angle est droit ?

A. B(2,3)

B. A(0,3)

C. M₁(1,2)

D. M₁(2,1)

Answer: (C)

Spiegazione

Pour t = 1, le point est M₁(1,2), qui est le sommet de la parabole et le point correspondant à l’angle droit. A et B sont les extrémités du segment.

52. Pour une droite d’équation ax + by + c = 0, quelle relation existe entre un vecteur directeur et le vecteur normal (a,b) ?

A. Ils ont nécessairement la même norme

B. Ils sont de même sens

C. Ils sont orthogonaux

D. Ils sont toujours égaux

Answer: (C)

Spiegazione

Le vecteur normal de la droite est (a,b), et tout vecteur directeur lui est orthogonal. Leur produit scalaire est donc nul.

53. Quelle formule donne la distance du point M(x₀,y₀) à la droite ax + by + c = 0 ?

A. |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

B. |ax₀ + by₀ + c| / (a² + b²)

C. (ax₀ + by₀ + c) / √(a + b)

D. √(a² + b²) / |ax₀ + by₀ + c|

Answer: (A)

Spiegazione

La distance est obtenue en prenant la valeur absolue de l’expression de la droite au point, puis en la divisant par la norme du vecteur normal : d(M,D) = |ax₀ + by₀ + c|/√(a²+b²).

54. Quelle est l’équation de la droite perpendiculaire à D passant par A(1,4), dans la configuration considérée ?

A. 2x − 3y + 10 = 0

B. 3x + 2y − 11 = 0

C. 2x + 3y − 6 = 0

D. 3x − 2y + 5 = 0

Answer: (D)

Spiegazione

La droite perpendiculaire à D passant par A(1,4) a pour équation 3x − 2y + 5 = 0. Son vecteur directeur (2,3) est un vecteur normal de D, ce qui explique la perpendicularité.

55. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment reliant A(x_A,y_A) à B(x_B,y_B) ?

A. I((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2)

B. I(x_B-x_A,y_B-y_A)

C. I((x_A-x_B)/2,(y_A-y_B)/2)

D. I(x_A+x_B,y_A+y_B)

Answer: (A)

Spiegazione

Le milieu d’un segment a pour coordonnées les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées de ses extrémités.

56. Quelle expression permet de calculer la distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) ?

A. (x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²

B. √((x_B−x_A)+(y_B−y_A))

C. √((x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²)

D. √((x_B+x_A)²+(y_B+y_A)²)

Answer: (C)

Spiegazione

La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées.

57. Quelle formule donne l’aire du triangle de sommets A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) et C(x_C,y_C) ?

A. |x_A(y_B−y_C)+x_B(y_C−y_A)+x_C(y_A−y_B)|

B. 1/2 |x_A(x_B−x_C)+x_B(x_C−x_A)+x_C(x_A−x_B)|

C. 1/2 |x_A(y_B−y_C)+x_B(y_C−y_A)+x_C(y_A−y_B)|

D. 1/2 |x_A(y_B+y_C)+x_B(y_C+y_A)+x_C(y_A+y_B)|

Answer: (C)

Spiegazione

L’aire du triangle s’obtient avec la valeur absolue de l’expression déterminantielle, multipliée par 1/2.

58. Que peut-on conclure lorsque le discriminant de l’équation d’intersection entre une droite et une parabole est nul ?

A. La parabole est confondue avec la droite

B. La droite est tangente à la parabole

C. La droite ne rencontre pas la parabole

D. La droite coupe la parabole en deux points distincts

Answer: (B)

Spiegazione

Un discriminant nul signifie que l’équation d’intersection possède une unique solution double ; la droite est donc tangente à la parabole.

59. Quel est le point d’intersection de y=x²−2x+1 et de y=2x−3 ?

A. (2,−1)

B. (1,1)

C. (1,−1)

D. (2,1)

Answer: (D)

Spiegazione

En égalant les deux expressions, on obtient (x−2)²=0, donc x=2 et y=1.

60. Pour quelle valeur de m la droite y=2x+m est-elle tangente à la parabole y=x²−2x+1 ?

A. m=12

B. m=3

C. m=−3

D. m=−12

Answer: (C)

Spiegazione

La tangence correspond à un discriminant nul. Ici, cela conduit à m=−3.

61. Comment détermine-t-on le centre du cercle circonscrit à un triangle ?

A. En intersectant les bissectrices des angles

B. En intersectant les hauteurs de deux côtés

C. En intersectant les médiatrices de deux côtés

D. En prenant le milieu du plus grand côté

Answer: (C)

Spiegazione

Le centre du cercle circonscrit est l’intersection des médiatrices des côtés du triangle. Pour les points donnés, cette intersection est O(2,3).

62. Quelle est l’équation du cercle circonscrit de centre O(2,3) et de rayon vérifiant R²=32 ?

A. (x−3)²+(y−2)²=32

B. (x−2)²+(y−3)²=16

C. (x+2)²+(y+3)²=32

D. (x−2)²+(y−3)²=32

Answer: (D)

Spiegazione

L’équation d’un cercle de centre (a,b) et de rayon R est (x−a)²+(y−b)²=R². On obtient donc l’équation proposée.

63. Quel est le rayon du cercle circonscrit considéré lorsqu'OB=4√2 ?

A. 4√2

B. 32

C. 8

D. 2√2

Answer: (A)

Spiegazione

Le rayon est la distance entre le centre O et un sommet, ici OB=4√2. Son carré vaut donc 32.

64. Quelle propriété caractérise la suite géométrique de raison 1,6 ?

A. Elle est constante et converge vers 1

B. Elle est strictement croissante et diverge vers +∞

C. Elle alterne entre des valeurs positives et négatives

D. Elle est strictement décroissante et converge vers 0

Answer: (B)

Spiegazione

Une suite géométrique de raison supérieure à 1 est strictement croissante lorsque son terme initial est positif et diverge vers +∞. Une raison comprise entre 0 et 1 aurait au contraire un comportement décroissant vers 0.