Flashcard: Structure et décomposition des polynômes — 27 carte

Polynôme — définition ?

Somme finie de termes avec coefficients dans un corps.

Polynôme — définition?

Suite presque nulle, somme finie de termes.

Ensemble K[X] — rôle ?

Espace d'étude des polynômes à coefficients dans K.

Ensemble $K[X]$ — définition?

Polynômes à coefficients dans corps $K$.

Degré d’un P — définition ?

Plus grand indice n avec a_n ≠ 0, -∞ si P=0.

Degré d’un polynôme — principe?

Plus grand indice $k$ avec $a_k eq 0$.

Polynôme constant — exemple ?

Un seul coefficient, par exemple 5.

Polynôme constant — forme?

Coefficient purement constant $a_0$.

Monôme — forme ?

aX^n avec a dans K, n en N.

Polynôme pair/impair — différence?

Pair: $a_{2n+1}=0$, Impair: $a_{2n}=0$.

Polynôme pair/impair — différence ?

Pair si a_{2n+1}=0, impair si a_{2n}=0.

Relation racines & coefficients?

Racines liées aux facteurs de décomposition.

Égalité de deux P — quand ?

Même suite de coefficients.

Polynômes premiers — définition?

Indivisibles dans $K[X]$, sauf par units.

Division euclidienne — opération ?

P=Q×R + S avec deg(S)<deg(Q).

Quotient — définition ?

R dans la division euclidienne.

Reste — propriété ?

Deg(S)<deg(Q), unique pour P,Q.

Racine d’un P — condition ?

P(α)=0.

Multiplicité d’une racine — comment ?

Max m tel que (X−α)^m divise P.

Polynôme scindé — exemple ?

Produit de (X−α_i)^{m_i} avec α_i dans K.

Racine multiple — caractéristique ?

P et sa dérivée s’annulent en ce point.

Racines dans C — théorème ?

Tout polynôme se décompose entièrement en facteurs linéaires.

Décomposition dans R — particularités ?

Facteurs linéaires et quadratiques irréductibles.

Relation racines-coefficients — formule ?

Viète : somme et produit des racines liés aux coefficients.

Racines communes — quand ?

Lorsque leur PGCD n’est pas unitaire.

Polynôme irréductible — définition ?

Non décomposable en facteurs non unitaires.

Polynôme scindé dans C[X] — caractéristique ?

Totalement factorisé en (X−α_i).