Flashcard: Structure et factorisation des polynômes — 20 carte

Polynôme — définition ?

Expression finie en X avec coefficients dans K.

Anneau K[X] — rôle ?

Espace algébrique avec addition et multiplication.

Polynômes irréductibles — dans K[X] ?

Indivisible en facteurs non unitaires.

Factorisation unique — dans K[X] ?

Décomposition en facteurs irréductibles, à l’ordre près.

Racines — définition ?

Valeurs annulant le polynôme.

Multiplicité — d’une racine ?

Puissance maximale de (X - a) divisant P.

Division euclidienne — mécanisme ?

P = BQ + R avec deg(R)<deg(B).

Polynômes scindés — dans C[X] ?

Facteur en produits de (X - α_i).

Racines simples — caractéristique ?

P(a)=0 et P′(a)≠0.

Polynômes degré 2 — formule ?

x = (-b ± √Δ)/(2a), Δ=b²-4ac.

Polynômes degré 3 — résolution ?

Formule de Cardan, dépendant du discriminant.

Degré ≥ 4 — résolution explicite ?

Non, en général, pas de formule radicielle.

Application polynomiale — rôle ?

Associe à chaque x dans K la valeur P(x).

Racine — lien avec eP ?

a racine si eP(a)=0.

Racines multiples — caractéristique ?

P(a)=0 et P′(a)=0, avec multiplicité >1.

Polynôme scindé — définition ?

Produit de facteurs linéaires (X - α_i).

Racine simple — critère via dérivée ?

P(a)=0 et P′(a)≠0.

Polynômes irréductibles dans R[X] — degré 2 ?

Irréductible si discriminant < 0.

Polynômes de degré 2 — nature racines ?

Réelles distinctes, double ou complexes.

Polynômes de degré 3 — discriminant ?

Détermine la nature et la nombre de racines.