Structures et décompositions en algèbre linéaire

📋 Plan du Cours

1. Espace vectoriel & propriétés
2. Combinaisons linéaires & vecteurs
3. Sous-espaces & stabilité
4. Sous-espaces affines & direction
5. Sous-espace engendré & Vect(X)
6. Familles libres & dépendance
7. Bases & coordonnées
8. Dimension & cardinalité
9. Somme de sous-espaces & Grassmann
10. Somme directe & unicité
11. Sous-espaces supplémentaires & somme directe

📖 1. Espace vectoriel & propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel (sur K) : Triplet (E, +, ·) où E est un ensemble, + une loi d’addition commutative, et · une multiplication externe par K, vérifiant des axiomes (associativité, distributivité, existence d’un vecteur nul, etc.).
• Vecteur : Élément de E.
• Scalaire : Élément de K, le corps de base.
• Vecteur nul (0E) : Élément neutre pour l’addition dans E.
• Combinaison linéaire : Vecteur formé de la somme de scalaires multipliés par des vecteurs, λ1x1 + ... + λnxn.
• Sous-espace vectoriel : Partie F de E, stable par addition et multiplication par scalaire, contenant 0E.
• Sous-espace affine : Partie F de E, de la forme x + F où F est un sous-espace vectoriel, contenant un point fixe x.
• Direction d’un sous-espace affine : Le sous-espace vectoriel associé F dans F = x + F.

📝 Points essentiels