Flashcard: Topologie et convergence en espace métrique — 24 carte

Espace métrique — définition ?

Ensemble avec une distance vérifiant axiomes.

Exemple d’espace métrique

$( set, | imes|)$ avec la distance usuelle.

Boule ouverte — définition ?

Points à distance strictement inférieure à r du centre.

Boule fermée — définition ?

Points à distance inférieure ou égale à r du centre.

Sphère — définition ?

Points à distance exactement r du centre.

Voisinage — rôle ?

Contient une boule ouverte centrée en un point.

Intérieur — définition ?

Ensemble des points avec boule entièrement dedans.

Adhérence — rôle ?

Plus petit fermé contenant la partie.

Point adhérent — définition ?

Toute boule centrée en lui rencontre la partie.

Partie ouverte — caractéristique ?

Tous ses points sont intérieurs.

Partie fermée — caractéristique ?

Contient tous ses points d’adhérence.

Intérieur d’une partie — définition ?

Ensemble des points intérieurs à cette partie.

Adhérence d’une partie — définition ?

Ensemble des points limites ou d’accumulation.

Partie ouverte — caractérisation séquentielle ?

Tout point limite a une suite dans la partie convergeant vers lui.

Partie fermée — caractérisation séquentielle ?

Toute suite dans la partie qui converge a sa limite dans la partie.

Partie bornée — définition ?

Existence d’un rayon r tel que la partie est contenue dans une boule de rayon r.

Diamètre d’une partie — définition ?

Supremum des distances entre deux points de la partie.

Convergence d’une suite — définition ?

Les termes deviennent arbitrairement proches d’un point.

Sous-suite — rôle ?

Permet d’extraire une convergence ou une valeur d’adhérence.

Valeur d’adhérence — définition ?

Limite possible d’une sous-suite.

Partie compacte — caractéristique ?

Toute suite admet une sous-suite convergente dans la partie.

Espace compact — caractéristique ?

Toute suite admet une sous-suite convergente.

Norme — rôle ?

Mesure la taille ou la longueur d’un vecteur.

Distance associée à une norme

Distance définie par $d(x,y)= orm{x-y}$.