Ficha de revisão: Analyse du mouvement en coordonnées cylindriques et sphériques

📋 Plan du Cours

1. Systèmes et référentiels & espace-temps
2. Mécanique du point & trajectoire
3. Vecteur-position & coordonnées cartésiennes
4. Coordonnées cylindriques & vecteur position
5. Coordonnées polaires & trajectoires planes
6. Coordonnées sphériques & vecteurs unitaires
7. Vitesse & dérivation dans référentiels
8. Vitesse cartésienne & dérivée simple
9. Vitesse cylindrique & vecteurs mobiles
10. Vitesse polaire & mouvement circulaire
11. Accélération & dérivation de la vitesse
12. Accélération en coordonnées cylindriques & trajectoires circulaires

📖 1. Systèmes et référentiels & espace-temps

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Système de mesure constitué d’un solide de référence, d’une horloge et d’un repère, permettant de décrire le mouvement d’un objet par rapport à un point fixe ou mobile.
• Espace et temps en mécanique classique : Longueurs et durées indépendantes de l’observateur, sauf en relativité.
• Relativité restreinte : Théorie où la longueur et la durée dépendent du référentiel si la vitesse est proche de c.
• Relativité générale : La gravitation influence la mesure du temps, modifiant la perception du temps selon la proximité d’une masse.
• Vecteur-position : Vecteur reliant un point d’origine à la position d’un point matériel dans un système de coordonnées.
• Systèmes de coordonnées : Outils pour exprimer la position d’un point : cartésien, cylindrique, polaire, sphérique.

📝 Points essentiels

• La description du mouvement nécessite un référentiel, qui peut être fixe ou en mouvement.
• La mécanique distingue la cinématique (description du mouvement sans cause) et la dynamique (relation avec les forces).
• La position d’un point dans l’espace s’exprime selon différents systèmes de coordonnées, adaptés à la trajectoire : cartésien pour général, cylindrique/polaire pour mouvements circulaires, sphérique pour mouvements en 3D.
• La vitesse et l’accélération dépendent du référentiel choisi : en coordonnées cartésiennes, elles se dérivent directement ; en coordonnées mobiles (cylindriques, polaires), il faut tenir compte de la dérivation des vecteurs unitaires.
• La vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire, et l’accélération se décompose en composantes radiale (centripète) et tangentielle.
• Le repère de Frenet, spécifique aux trajectoires planes, utilise un vecteur tangent et un vecteur normal pour décrire localement la courbe.

💡 À retenir

La description du mouvement en mécanique repose sur le choix du référentiel et du système de coordonnées adapté à la trajectoire, avec une attention particulière à la dérivation des vecteurs unitaires mobiles pour exprimer la vitesse et l’accélération.

📖 2. Mécanique du point & trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Branche de la mécanique qui étudie et décrit les mouvements et trajectoires des systèmes sans considérer leurs causes (forces).
• Dynamique : Branche de la mécanique qui relie le mouvement d’un système aux forces qui s’y exercent.
• Système : Ensemble d’un ou plusieurs points ou solides sur lesquels on applique les lois de la mécanique.
• Référentiel : Cadre de référence fixe ou en mouvement par rapport auquel on décrit la position, la vitesse et l’accélération d’un point.
• Vecteur-position : Vecteur allant du centre d’un repère à la position du point M, exprimé dans un système de coordonnées.
• Coordonnées : Ensemble de valeurs numériques permettant de localiser un point dans l’espace, selon différents systèmes (cartésien, cylindrique, polaire, sphérique).

📝 Points essentiels

• La trajectoire d’un point est l’ensemble de ses positions successives dans un référentiel donné.
• La vitesse est la dérivée du vecteur-position par rapport au temps, dépendant du référentiel choisi.
• La vitesse en coordonnées cartésiennes s’écrit : $\vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z$.
• En coordonnées cylindriques : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z$, avec vecteurs unitaires mobiles.
• La vitesse en coordonnées polaires (plan) : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta$, adaptée aux trajectoires circulaires.
• La décomposition de l’accélération en coordonnées cylindriques ou polaires distingue une composante radiale (centripète) et une composante tangentielle.
• Le repère de Frenet, spécifique aux trajectoires planes, utilise un vecteur tangent $\vec{t}$ et un vecteur normal $\vec{n}$, permettant d’analyser la courbure et la variation de la vitesse.

💡 À retenir

La description précise du mouvement d’un point nécessite le choix d’un référentiel adapté, et l’expression de la vitesse et de l’accélération dépend fortement du système de coordonnées utilisé, notamment en présence de trajectoires courbes ou circulaires.

📖 3. Vecteur-position & coordonnées cartésiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur-position : Vecteur reliant un point de référence O à la position d’un point matériel M dans l’espace, noté −−→ OM. Il permet de définir la localisation précise de M dans un référentiel donné.
• Coordonnées cartésiennes : Ensemble de trois nombres (x, y, z) représentant la position d’un point M par rapport à un repère orthonormé (Ox, Oy, Oz) avec origine O. La position s’écrit : −−→ OM = x−→ex + y−→ey + z−→ez.
• Vecteurs unitaires : Vecteurs de norme 1, notés −→ex, −→ey, −→ez, formant une base orthonormée. Ils indiquent la direction de chaque axe du repère.
• Systèmes de coordonnées : Méthodes pour représenter la position d’un point dans l’espace. Outre cartésiennes, on utilise aussi cylindriques, polaires et sphériques selon la situation.
• Coordonnées cylindriques : Système basé sur (r, ϕ, z), où r est la distance au centre, ϕ l’angle avec l’axe Ox, et z la hauteur. La position s’écrit : −−→ OM = r−→er + z−→ez, avec −→er = cos ϕ−→ex + sin ϕ−→ey.
• Coordonnées polaires : Cas particulier en 2D (plan), où la position est donnée par (r, ϕ), avec −−→ OM = r−→er, r la distance au centre, ϕ l’angle avec Ox.
• Coordonnées sphériques : Système en 3D utilisant (r, ϕ, θ), où r est la distance à l’origine, ϕ l’angle azimutal, et θ l’angle polaire. La position s’écrit : −−→ OM = r−→er, avec −→er, −→eϕ, −→eθ vecteurs unitaires mobiles.

📝 Points essentiels

• La position d’un point M peut s’exprimer dans différents systèmes de coordonnées selon la géométrie de la trajectoire ou la simplicité de calcul.
• En coordonnées cartésiennes, la décomposition est directe : −−→ OM = x−→ex + y−→ey + z−→ez.
• En coordonnées cylindriques, la variation des vecteurs unitaires −→er et −→eϕ est importante, car ils sont mobiles : leur dérivée par rapport au temps implique des relations avec les angles.
• En coordonnées polaires, la vitesse tangentielle dans un mouvement circulaire de rayon R constant est v = R _ϕ.
• En coordonnées sphériques, la position dépend de trois angles et de la distance r, avec des vecteurs unitaires mobiles.
• La représentation vectorielle permet de passer facilement d’un système à un autre en utilisant des relations trigonométriques.

💡 À retenir

Le vecteur-position est la base pour décrire la localisation d’un point dans l’espace, et le choix du système de coordonnées dépend de la nature du mouvement ou de la géométrie de la trajectoire. La compréhension de la décomposition en vecteurs unitaires et de leur évolution est essentielle pour analyser les mouvements dans différents référentiels.

📖 4. Coordonnées cylindriques & vecteur position

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : vecteur allant d’un point d’origine O à la position du point M dans l’espace, noté −−→ OM.
• Coordonnées cartésiennes : système de référence avec trois axes orthogonaux (Ox, Oy, Oz), permettant de décomposer −−→ OM en (x, y, z).
• Coordonnées cylindriques : système de coordonnées basé sur une projection dans le plan (Oxy) avec (r, ϕ) et la hauteur z, où r est la distance à l’origine dans le plan, ϕ l’angle avec Ox.
• Vecteurs unitaires mobiles : vecteurs −→er et −→eϕ en coordonnées cylindriques, dont la direction change avec la déplacement du point M.
• Coordonnées polaires : système bidimensionnel utilisé lorsque la trajectoire est plane, avec (r, ϕ) et z=0.
• Coordonnées sphériques : système en trois dimensions avec (r, ϕ, θ), où r est la distance à l’origine, ϕ l’angle avec Oz, et θ l’angle dans le plan (Ox, Oy).

📝 Points essentiels

• La position d’un point M peut s’exprimer dans différents systèmes : cartésien, cylindrique, polaire, sphérique.
• La décomposition du vecteur position dépend du système choisi, avec des vecteurs unitaires spécifiques (−→ex, −→ey, −→ez pour cartésien ; −→er, −→eϕ, −→eθ pour sphérique).
• En coordonnées cylindriques, −−→ OM = r−→er + z−→ez, avec −→er et −→eϕ étant des vecteurs mobiles dont la dérivation par rapport au temps nécessite l’utilisation de relations spécifiques.
• La variation des vecteurs unitaires mobiles (−→er, −→eϕ) est liée à la dérivée de l’angle ϕ : d−→er/dt = _ϕ−→eϕ, d−→eϕ/dt = − _ϕ−→er.
• La position en coordonnées polaires est simplifiée à −−→ OM = r−→er, adaptée aux trajectoires planes circulaires.
• La coordonnée z en coordonnées cylindriques ou sphériques représente la hauteur ou la position dans la dimension verticale.

💡 À retenir

La représentation du vecteur position dans différents systèmes de coordonnées permet d’adapter l’étude du mouvement à la nature de la trajectoire, tout en nécessitant la maîtrise des vecteurs unitaires mobiles et de leurs dérivées pour analyser la vitesse et l’accélération.

📖 5. Coordonnées polaires & trajectoires planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : système de coordonnées dans un plan, où la position d’un point M est donnée par un rayon r (distance à l’origine) et un angle ϕ (par rapport à une référence). La position s’écrit : −→OM = r−→er.
• Vecteur position : vecteur reliant un point de référence O à un point M, noté −→OM, exprimé selon le système de coordonnées choisi.
• Vitesse dans un référentiel : dérivée du vecteur position par rapport au temps, notée −→vR = d−→OM/dt. Elle dépend du référentiel choisi.
• Coordonnées cylindriques : système où la position est décrite par (r, ϕ, z), avec vecteurs unitaires mobiles −→er, −→eϕ, −→ez.
• Trajectoire plane : mouvement confiné dans un plan, où la coordonnée z est constante ou nulle, permettant l’utilisation simplifiée des coordonnées polaires.

📝 Points essentiels

• La trajectoire plane peut être décrite efficacement en coordonnées polaires, surtout pour des mouvements circulaires ou radiaux.
• La vitesse en coordonnées polaires s’écrit : −→v = _r−→er + r _ϕ−→eϕ, avec les vecteurs unitaires mobiles dont la dérivation par rapport au temps donne :
  • d−→er/dt = _ϕ−→eϕ
  • d−→eϕ/dt = −_ϕ−→er.
• Pour un mouvement circulaire de rayon R constant, la vitesse tangentielle est v = R _ϕ et l’accélération se décompose en :
  • Radiale : − R _ϕ²−→er
  • Tangente : R _ϕ˙−→eϕ.
• La relation entre vitesse et angle dans un mouvement circulaire : v = R _ϕ.

💡 À retenir

Les coordonnées polaires sont particulièrement adaptées pour décrire les trajectoires planes circulaires ou radiales, permettant une expression simple de la vitesse tangentielle et de l’accélération, en utilisant des vecteurs unitaires mobiles dont la dérivation est essentielle pour analyser le mouvement.

📖 6. Coordonnées sphériques & vecteurs unitaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées sphériques : système de coordonnées dans l'espace où un point M est repéré par la distance r à l'origine O, l'angle ϕ (azimut) dans le plan (Ox, Oy), et l'angle ϑ (élévation) entre (Oz) et (OM).
• Vecteur unitaire −→er : vecteur de norme 1, pointant dans la direction de r, mobile lorsque M se déplace.
• Vecteur unitaire −→eϕ : vecteur de norme 1, tangent à la trajectoire dans le plan azimutal, orienté dans le sens croissant de ϕ, mobile avec M.
• Vecteur unitaire −→eϑ : vecteur de norme 1, dirigé selon la variation de l'angle d'élévation ϑ, mobile avec M.
• Position en coordonnées sphériques : −−→ OM = r−→er, avec −→er, −→eϕ, −→eϑ comme vecteurs unitaires orthogonaux et mobiles.

📝 Points essentiels

• La position d’un point M s'exprime par :
  −−→ OM = r−→er, où r est la distance à l’origine.
• Les vecteurs unitaires −→er, −→eϕ, −→eϑ forment une base orthonormée mobile, dont la direction change avec le déplacement de M.
• La relation entre vecteurs unitaires :
  • d−→er/dt = _ϑ−→eϑ + _ϕ−→eϕ (dérivées par rapport au temps).
  • d−→eϕ/dt = − _ϑ−→er + _ϕ−→eϑ.
• La position en coordonnées sphériques :
  −−→ OM = r−→er, avec r, ϑ, ϕ comme paramètres.
• La mobilité des vecteurs unitaires implique que leur dérivation dépend du déplacement de M, rendant leur direction variable.

💡 À retenir

Les coordonnées sphériques permettent de décrire une position dans l’espace à l’aide d’un rayon et de deux angles, mais les vecteurs unitaires associés sont mobiles, ce qui complique leur dérivation lors du mouvement.

📖 7. Vitesse & dérivation dans référentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Système de mesure fixe ou mobile permettant de décrire le mouvement d’un point ou d’un corps. Il est défini par un solide de référence, une horloge, et un repère de coordonnées.
• Vecteur-position : Vecteur reliant un point de référence (O) à la position du point M dans l’espace, noté −−→ OM.
• Vitesse : Taux de variation du vecteur-position par rapport au temps dans un référentiel donné, notée −−→ v R = d−−→ OM / dt.
• Accélération : Taux de variation de la vitesse dans un référentiel, notée −−→ a R = d−−→ v / dt.
• Systèmes de coordonnées : Moyens pour exprimer la position d’un point dans l’espace, notamment cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, ϕ, z), polaires (r, ϕ) et sphériques (r, ϕ, θ). Les vecteurs unitaires associés peuvent être fixes ou mobiles selon le système.

📝 Points essentiels

• La vitesse est relative au référentiel choisi : elle dépend du mouvement de l’observateur. La dérivation du vecteur-position doit tenir compte de la nature fixe ou mobile des vecteurs unitaires.
• En coordonnées cartésiennes, la vitesse s’obtient par la dérivée des coordonnées x, y, z. En coordonnées cylindriques ou polaires, la dérivée doit également prendre en compte la variation des vecteurs unitaires mobiles (−→er, −→eϕ).
• La dérivation des vecteurs unitaires mobiles (−→er, −→eϕ) est essentielle pour exprimer la vitesse et l’accélération en coordonnées cylindriques ou polaires :
  • d−→er / dt = _ϕ−→eϕ
  • d−→eϕ / dt = − _ϕ−→er
• En cas de trajectoire circulaire, la vitesse tangentielle est donnée par v = R _ϕ, et l’accélération se décompose en accélération radiale (−v² / R) et tangentielle (dv / dt).
• Le repère de Frenet, spécifique aux trajectoires planes, utilise un vecteur tangent −→ t et un vecteur normal −→ n, permettant de décomposer l’accélération en composantes tangentielle (dv / dt) et normale (v² / R).

💡 À retenir

La dérivation dans un référentiel, qu’il soit fixe ou mobile, nécessite d’intégrer la variation des vecteurs unitaires mobiles pour exprimer correctement la vitesse et l’accélération. La compréhension de cette différenciation est fondamentale pour analyser précisément le mouvement d’un point dans différents systèmes de coordonnées.

📖 8. Vitesse cartésienne & dérivée simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse cartésienne : vecteur vitesse exprimé en coordonnées cartésiennes, noté $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$, représentant la variation de la position dans le temps dans un référentiel donné.
• Vecteur position : vecteur reliant un point fixe $O$ à un point mobile $M$, noté $\vec{OM}$, dont la dérivée donne la vitesse.
• Dérivée simple : opération mathématique consistant à calculer la variation d'une grandeur par rapport au temps, notée $\frac{d}{dt}$.
• Vitesse en coordonnées cartésiennes : composantes de la vitesse dans chaque direction, $\vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z$.
• Vitesse en coordonnées cylindriques : expression de la vitesse en fonction de $r, \theta, z$, avec vecteurs unitaires mobiles $\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z$, donnée par $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z$.

📝 Points essentiels

• La vitesse est la dérivée du vecteur position : $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$.
• En coordonnées cartésiennes, la dérivation est directe : $\vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z$.
• En coordonnées cylindriques, il faut tenir compte de la mobilité des vecteurs unitaires $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_\theta$, dont la dérivée par rapport au temps est liée à l'angle $\theta$ : $\frac{d\vec{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\vec{e}_\theta, \quad \frac{d\vec{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\vec{e}_r.$
• La vitesse en coordonnées cylindriques s'écrit : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z.$
• La dérivée simple est essentielle pour déterminer la vitesse instantanée d’un point en mouvement.

💡 À retenir

La vitesse cartésienne est la dérivée du vecteur position dans un référentiel donné ; en coordonnées cylindriques, elle se décompose en composantes radiale, tangentielle et verticale, en tenant compte du mouvement des vecteurs unitaires mobiles.

📖 9. Vitesse cylindrique & vecteurs mobiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse cylindrique : vecteur vitesse exprimé dans un système de coordonnées cylindriques, prenant en compte la variation du rayon (r), de l'angle (ϕ) et de la hauteur (z).
• Vecteur mobile : vecteur dont la direction change lorsque le point se déplace, notamment les vecteurs unitaires en coordonnées cylindriques, polaires ou sphériques.
• Vitesse dans un référentiel : dérivée du vecteur position par rapport au temps dans un référentiel donné, dépendant de l'observateur.
• Coordonnées cylindriques : système de coordonnées basé sur (r, ϕ, z), où r est la distance au centre, ϕ l'angle dans le plan, et z la hauteur.
• Coordonnées polaires : système en deux dimensions utilisant (r, ϕ), adapté aux trajectoires planes circulaires.
• Coordonnées sphériques : système en trois dimensions avec (r, ϕ, θ), où r est la distance à l'origine, ϕ l'angle azimutal, et θ l'angle polaire.

📝 Points essentiels

• La vitesse cylindrique se décompose en composantes radiale (r), tangentielle (_r ϕ), et verticale (z). La dérivation des vecteurs unitaires mobiles, comme −→er et −→eϕ, est essentielle pour exprimer la vitesse et l'accélération.
• En coordonnées cylindriques, la vitesse s'écrit :
  $\vec{v} = \dot{r} \, \vec{e}_r + r \, \dot{\varphi} \, \vec{e}_\varphi + \dot{z} \, \vec{e}_z$
• Pour un mouvement circulaire (r constant), la vitesse tangentielle est :
  $v_\varphi = r \, \dot{\varphi}$
• L'accélération en coordonnées cylindriques comporte une composante radiale (−r _ϕ_²) et une composante tangentielle (r̈). La formule générale :
  $\vec{a} = (\ddot{r} - r \, \dot{\varphi}^2) \, \vec{e}_r + (r \, \ddot{\varphi} + 2 \, \dot{r} \, \dot{\varphi}) \, \vec{e}_\varphi + \ddot{z} \, \vec{e}_z$
• En coordonnées polaires, pour trajectoire circulaire, la vitesse tangentielle est constante si r est constant, et l'accélération radiale est centripète :
  $a_r = - \frac{v^2}{r}$

💡 À retenir

La vitesse et l'accélération en coordonnées cylindriques ou polaires nécessitent la dérivation des vecteurs unitaires mobiles, ce qui introduit des termes additionnels liés à la rotation du système de coordonnées. La décomposition en composantes radiale, tangentielle et verticale permet une analyse précise des mouvements cylindriques ou plans circulaires.

📖 10. Vitesse polaire & mouvement circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse polaire : La vitesse d’un point en coordonnées polaires, décomposée en composantes radiale (ṙ) et tangentielle (rϕ̇). La composante tangentielle est donnée par v_ϕ = rϕ̇, représentant la vitesse tangentielle au cercle de rayon r.
• Mouvement circulaire : Trajectoire où un point se déplace sur un cercle de rayon constant R. La vitesse tangentielle est constante, mais la vitesse vectorielle change de direction.
• Accélération radiale (centripète) : Composante de l’accélération dirigée vers le centre du cercle, notée a_r = -v² / R, responsable du changement de direction de la vitesse.
• Accélération tangentielle : Composante de l’accélération tangentielle, liée à la variation de la vitesse en grandeur, notée a_t = dv/dt.
• Relation entre vitesse et rayon de courbure : Pour une trajectoire plane, la vitesse tangentielle v est reliée au rayon de courbure R par v² = R * a_c, où a_c est l’accélération centripète.

📝 Points essentiels

• En coordonnées polaires, la vitesse s’écrit :
  $\vec{v} = ṙ \, \vec{e}_r + r \, ϕ̇ \, \vec{e}_ϕ$ où $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_ϕ$ sont des vecteurs unitaires mobiles.
• Lors d’un mouvement circulaire de rayon constant R, la vitesse tangentielle est :
  $v = R ϕ̇$ et l’accélération se décompose en :
  $\vec{a} = - \frac{v^2}{R} \, \vec{e}_r + dv/dt \, \vec{e}_ϕ$
• La vitesse angulaire ϕ̇ est liée à la vitesse tangentielle par :
  $v = R ϕ̇$
• La relation entre la vitesse et le rayon de courbure R dans une trajectoire plane est :
  $v^2 = R \times a_c$
• La trajectoire circulaire implique une accélération centripète dirigée vers le centre, nécessaire pour maintenir la trajectoire.

💡 À retenir

La vitesse polaire permet de décomposer le mouvement circulaire en composantes radiale et tangentielle, facilitant l’analyse des trajectoires planes. Lors d’un mouvement circulaire, la vitesse tangentielle est constante si la vitesse est uniforme, et l’accélération centripète assure la continuité de la trajectoire en modifiant la direction de la vitesse.

📖 11. Accélération & dérivation de la vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse : Vecteur qui décrit la rapidité et la direction du déplacement d’un point, noté $\vec{v}$. Elle est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}$.
• Accélération : Vecteur qui représente la variation de la vitesse dans le temps, noté $\vec{a}$. Elle est la dérivée du vecteur vitesse : $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$.
• Dérivation dans un référentiel : La dérivée d’un vecteur dépend du référentiel choisi. Si les vecteurs unitaires sont fixes, leur dérivée est nulle ; sinon, il faut dériver aussi les vecteurs mobiles.
• Vitesse en coordonnées cartésiennes : $\vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z$.
• Vitesse en coordonnées cylindriques : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z$, avec vecteurs unitaires mobiles $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_\theta$.
• Vitesse en coordonnées polaires : Cas particulier du plan, où $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta$, avec $r$ constant pour un mouvement circulaire.
• Vitesse en coordonnées sphériques : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + r\sin\theta \dot{\phi}\vec{e}_\phi$.

📝 Points essentiels

• La dérivation du vecteur position dans un référentiel fixe donne la vitesse ; dans un référentiel avec vecteurs mobiles, il faut aussi dériver ces vecteurs.
• En coordonnées cartésiennes, la vitesse est la somme des dérivées des coordonnées multipliées par leurs vecteurs unitaires fixes.
• En coordonnées cylindriques et polaires, les vecteurs unitaires $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_\theta$ sont mobiles, leur dérivée est donc non nulle : $\frac{d\vec{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\vec{e}_\theta$ et $\frac{d\vec{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\vec{e}_r$.
• La vitesse en coordonnées cylindriques : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{z}\vec{e}_z$.
• La vitesse en coordonnées polaires (plan) : $\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta$. Si $r$ est constant, la vitesse est tangentielle : $\vec{v} = R\dot{\theta}\vec{e}_\theta$.
• La décomposition de l’accélération en coordonnées curvilignes : composante radiale $\propto -v^2/R$ (radiale centripète) et composante tangentielle $\propto dv/dt$.

💡 À retenir

L’accélération d’un point en mouvement curviligne se décompose en une composante radiale, dirigée vers le centre de courbure, et une composante tangentielle, liée à la variation de la vitesse. La dérivation des vecteurs unitaires mobiles est essentielle pour exprimer précisément la vitesse et l’accélération dans ces systèmes de coordonnées.

📖 12. Accélération en coordonnées cylindriques & trajectoires circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : système de coordonnées (r, ϕ, z) où r est la distance au centre, ϕ l'angle dans le plan (Ox, Oy), et z la hauteur. Les vecteurs unitaires (er, eϕ, ez) sont mobiles, sauf ez qui est fixe.
• Vitesse en coordonnées cylindriques : vecteur dérivé du vecteur position, exprimé par ses composantes _r, r dϕ/dt, et dz/dt, avec dérivation des vecteurs unitaires.
• Accélération en coordonnées cylindriques : dérivée du vecteur vitesse, comprenant des termes radiaux, tangentiels, et de Coriolis, liés à la mobilité des vecteurs unitaires er et eϕ.
• Trajectoire circulaire : mouvement où le rayon r est constant, la vitesse tangentielle v = R dϕ/dt, et l’accélération se décompose en accélération radiale (-v²/R) et accélération tangentielle (R d²ϕ/dt²).
• Repère de Frenet : repère local (tangent, normal) pour analyser le mouvement le long d'une courbe plane, avec accélération décomposée en composantes tangentielle (dv/dt) et normale (v²/R).

📝 Points essentiels

• La vitesse en coordonnées cylindriques s'écrit :
  $\vec{v} = \dot{r} \, \vec{e}_r + r \, \dot{\varphi} \, \vec{e}_\varphi + \dot{z} \, \vec{e}_z$ où $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_\varphi$ sont mobiles, et leur dérivée est liée par :
  $\frac{d \vec{e}_r}{dt} = \dot{\varphi} \, \vec{e}_\varphi, \quad \frac{d \vec{e}_\varphi}{dt} = - \dot{\varphi} \, \vec{e}_r$
• La vitesse en coordonnées cylindriques dans le cas plan (z constant) :
  $\vec{v} = \dot{r} \, \vec{e}_r + r \, \dot{\varphi} \, \vec{e}_\varphi$
• La norme de la vitesse tangentielle pour un mouvement circulaire :
  $v = R \, \dot{\varphi}$
• L’accélération en coordonnées cylindriques :
  $\vec{a} = (\ddot{r} - r \, \dot{\varphi}^2) \, \vec{e}_r + (r \, \ddot{\varphi} + 2 \, \dot{r} \, \dot{\varphi}) \, \vec{e}_\varphi + \ddot{z} \, \vec{e}_z$
• Pour un mouvement circulaire uniforme :
  $\vec{a} = - \frac{v^2}{R} \, \vec{e}_r + \frac{dv}{dt} \, \vec{e}_\varphi$ avec accélération radiale centripète et accélération tangentielle.

💡 À retenir

L’accélération en coordonnées cylindriques se décompose en composantes radiale, tangentielle, et verticale, avec des vecteurs unitaires mobiles dont la dérivée introduit des termes de Coriolis. En trajectoire circulaire, l’accélération se simplifie en une composante centripète et une composante tangentielle, facilitant l’analyse du mouvement.

📊 Tableaux de Synthèse

Systèmes de coordonnées	Variables	Vecteurs unitaires	Expression du vecteur-position	Utilisation principale
Cartésiennes	x, y, z	$\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$	$\vec{OM} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z$	Mouvement général, trajectoires droites
Cylindriques	r, $\varphi$, z	$\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_z$	$\vec{OM} = r \vec{e}_r + z \vec{e}_z$	Trajectoires circulaires, cylindres
Polaires	r, $\varphi$	$\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi$	$\vec{OM} = r \vec{e}_r$	Mouvement circulaire en 2D
Sphériques	r, $\varphi$, $\theta$	$\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_\theta$	$\vec{OM} = r \vec{e}_r$	Mouvements en 3D complexes, géométrie sphérique

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre vecteurs unitaires mobiles et fixes, notamment en coordonnées cylindriques et polaires.
2. Négliger la dérivée des vecteurs unitaires mobiles lors du calcul de la vitesse ou de l’accélération.
3. Confusion entre coordonnées cylindriques et sphériques, notamment dans la définition des angles.
4. Oublier que la vitesse en coordonnées cylindriques ou polaires comporte une composante radiale et une composante tangentielle.
5. Mal interpréter la trajectoire : trajectoire plane vs en 3D, et leur représentation dans différents systèmes.
6. Confondre la dérivée du vecteur position et celle de ses composantes.
7. Utiliser des coordonnées inadaptées à la géométrie du mouvement, ce qui complique le calcul.
8. Négliger la différence entre référentiel fixe et mobile dans la description du mouvement.
9. Confondre la décomposition de l’accélération en composantes radiale et tangentielle.
10. Oublier que le repère de Frenet est spécifique aux trajectoires planes et nécessite une définition précise.

✅ Checklist Examen

1. Définir un référentiel et expliquer son importance en mécanique.
2. Expliquer la différence entre cinématique et dynamique.
3. Écrire l’expression de la vitesse en coordonnées cartésiennes.
4. Décrire la décomposition de la vitesse en coordonnées cylindriques.
5. Expliquer le rôle des vecteurs unitaires mobiles en coordonnées cylindriques.
6. Écrire la position d’un point en coordonnées sphériques.
7. Décrire la différence entre coordonnées polaires et cylindriques.
8. Expliquer comment dériver un vecteur position en coordonnées cylindriques.
9. Définir le repère de Frenet et son utilisation.
10. Calculer la vitesse tangentielle dans un mouvement circulaire.
11. Définir la composante radiale de l’accélération.
12. Identifier les principaux pièges lors de la dérivation des vecteurs en coordonnées mobiles.