Ficha de revisão: Analyse et approximation en analyse réelle

📋 Plan du Cours

1. Suites et limites
2. Dérivée et règles
3. Séries de Taylor
4. Fonctions élémentaires
5. Développements limités
6. Approximation numérique
7. Fonctions réciproques
8. Séries entières
9. Applications des DL

📖 1. Suites et limites

🔑 Notions clés & Définitions

Suite
Définition : Une suite (un) est une fonction N → R, n → un.
Source : Définition 1 (suite).

Limite d’une suite
Définition : La suite (un) converge vers une limite L si, pour tout ω > 0, il existe N ∈ ℕ tel que, pour tout n ≥ N, |un - L| < ω.
Source : Définition 2 (limite).

Suite de Cauchy
Définition : Une suite (un) est dite de Cauchy si, pour tout ω > 0, il existe N ∈ ℕ tel que, pour tout n, m ≥ N, |un - um| < ω.
Source : Définition 3 (suite de Cauchy).

Ensemble complet
Définition : Un ensemble est dit complet si toute suite de Cauchy dans cet ensemble converge vers un élément de cet ensemble.
Source : Définition 4 (ensemble complet).

Négligeabilité des suites
Définition : Une suite (un) est négligeable par rapport à une autre suite (vn), ne s’annulant pas à partir d’un certain point, si lim n→+∞ (un / vn) = 0.
Source : Définition 5 (suite négligeable).

Suites équivalentes
Définition : Deux suites (un) et (vn) sont équivalentes si lim n→+∞ (un / vn) = 1.
Source : Définition 6 (suite équivalente).

📝 Points essentiels

• La limite d’une suite est définie par la proximité arbitraire de ses termes avec un nombre L à partir d’un certain rang N, pour tout ε > 0.
• Une suite de Cauchy est caractérisée par la proximité entre ses termes, indépendamment de leur limite.
• L’ensemble des nombres réels R est construit pour que toute suite de Cauchy dans R converge vers un élément de R, ce qui fait de R un ensemble complet.
• La négligeabilité (notée o(vn)) indique que (un) devient insignifiante devant (vn) quand n → +∞.
• Deux suites sont équivalentes si leur rapport tend vers 1, ce qui implique qu’elles ont la même croissance asymptotique.

💡 À retenir

Une suite est une fonction dont la limite, si elle existe, est le point d’accroche de ses termes, et l’ensemble des réels est construit pour garantir que toute suite de Cauchy y converge, assurant ainsi la complétude de cet ensemble.

📖 2. Dérivée et règles

🔑 Notions clés & Définitions

Dérivée d’une fonction
AUTEUR (date) : La dérivée d’une fonction réelle $f$ en un point $x$ est la limite du quotient différentiel :
$\frac{df(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
si cette limite existe. Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Propriétés de la dérivation

• Linéarité : $\frac{d}{dx}(a f(x) + b g(x)) = a \frac{df(x)}{dx} + b \frac{dg(x)}{dx}$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}$.
• Dérivation d’un produit : $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = \frac{df(x)}{dx} g(x) + f(x) \frac{dg(x)}{dx}$.
• Dérivation en chaîne : $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \frac{df(y)}{dy}\big|_{y=g(x)} \times \frac{dg(x)}{dx}$.
• Dérivée d’une puissance : $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$.

Dérivation en chaîne
Pour deux fonctions $f$ et $g$ dérivables, la dérivée de la composition $f(g(x))$ est :
$\frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{df(y)}{dy}\big|_{y=g(x)} \times \frac{dg(x)}{dx}$

Dérivée d’un produit
Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors :
$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = \frac{df(x)}{dx} g(x) + f(x) \frac{dg(x)}{dx}$

Dérivée d’une puissance
Pour tout $n \in \mathbb{R}$, la dérivée de $x^n$ est :
$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

Dérivée en un point
La dérivée d’une fonction $f$ en un point $x$ est la limite du quotient différentiel lorsque $h \to 0$ :
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
si cette limite existe. La fonction est dite dérivable en ce point si cette limite est finie.

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une fonction en un point mesure la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• La propriété de linéarité permet de dériver des combinaisons linéaires de fonctions.
• La règle du produit permet de dériver le produit de deux fonctions dérivables.
• La règle de la chaîne permet de dériver la composition de deux fonctions dérivables.
• La dérivée d’une puissance est valable pour tout réel $n$, y compris négatif et fractionnaire, en utilisant la formule $n x^{n-1}$.
• La dérivée en un point est définie comme la limite du quotient différentiel, si cette limite existe.

💡 À retenir

La dérivée d’une fonction est la limite du quotient différentiel et permet de calculer la pente de la tangente en un point, avec des règles simples pour la dérivation de produits, de compositions et de puissances.

📖 3. Séries de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de Taylor-Young : AUTEUR (date) : Si une fonction $f$ est $n$ fois dérivable en un point $a$, alors elle peut s’écrire localement sous la forme d’un polynôme de degré $n$ (développement limité) plus un terme négligeable o($(x - a)^n$). La formule précise :
  $f(x) = f(a) + (x - a)f'(a) + \frac{(x - a)^2}{2!}f''(a) + \cdots + \frac{(x - a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + (x - a)^n \omega(x),$ où $\omega(x) \to 0$ quand $x \to a$.

• Série de Taylor : AUTEUR (date) : Si une fonction $f$ est infiniment dérivable en $a$, la série de Taylor est la somme infinie de ses dérivées en $a$, exprimée par :
  $f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k,$ dont la convergence dépend du rayon de convergence.

• Développements limités (DL) : Expression polynomiale approchant une fonction $f$ autour de $a$, avec un reste négligeable o($(x - a)^n$). Noté souvent DL$_n(a)$.

• Manipulation de o($x^n$) : Règles de manipulation pour les termes négligeables, notamment :

  • $o(x^n) + o(x^m) = o(x^{\min(n,m)})$
  • $o(x^n) \times o(x^m) = o(x^{n+m})$
  • Si $\varpi \to 0$, alors $\varpi o(x^n) = o(x^n)$.

• Applications aux limites : La formule de Taylor permet d’étudier le comportement local d’une fonction et d’évaluer des limites en utilisant ses développements limités.

📝 Points essentiels

• La formule de Taylor-Young permet d’écrire une fonction $f$ comme un polynôme de degré $n$ plus un terme négligeable, facilitant l’approximation locale.
• La série de Taylor est la somme infinie de termes dérivés évalués en $a$, avec un rayon de convergence qui détermine si la série représente la fonction dans un voisinage.
• La manipulation de o($x^n$) repose sur des règles précises permettant de simplifier et d’approximer des expressions complexes.
• La convergence de la série de Taylor dépend du rayon de convergence, qui peut être infini ou fini selon la fonction.

💡 À retenir

Les séries de Taylor offrent une approximation locale précise des fonctions différentiables, en exprimant celles-ci comme une somme infinie de termes dérivés, sous réserve de convergence. La formule de Taylor-Young formalise cette approximation avec un reste négligeable.

📖 4. Fonctions élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

Fonctions élémentaires : Fonctions courantes en analyse, telles que exponentielle, sinus, cosinus, logarithme, définies par des formules explicites ou des propriétés fondamentales.
Fonction dérivable : Fonction pour laquelle la dérivée existe en chaque point de son domaine. La dérivée en un point est la limite du quotient différentiel (II.1.3).
Domaine de définition : Ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie et où elle peut être dérivée si elle est dérivable.
Fonction inverse (ou réciproque) : Fonction g telle que g(f(x)) = x, lorsque f est bijective sur un intervalle (II.1.4).
Fonction réciproque : Fonction qui restitue l’argument d’une fonction f à partir d’une valeur donnée, sous réserve de bijection.
Dérivée d’une fonction réciproque : Si f(g(x)) = x, alors g'(x) = 1 / f'(g(x)) (II.1.4).
Fonction inverse : Fonction réciproque de f, notée g, qui existe si f est bijective sur un intervalle.
Fonction dérivable : Fonction pour laquelle la limite du quotient différentiel existe en chaque point de son domaine, permettant de calculer sa dérivée.

📝 Points essentiels

• Les fonctions élémentaires incluent notamment exp(x), sin(x), cos(x), ln(x).
• La dérivée d’une fonction est définie par la limite du quotient différentiel (II.1.3).
• La fonction inverse g(x) d’une fonction f(x) est telle que g(f(x)) = x, avec une condition de bijection pour garantir l’existence (II.1.4).
• La dérivée de la fonction réciproque g(x) est donnée par g'(x) = 1 / f'(g(x)), sous réserve que f'(g(x)) ≠ 0 (II.1.4).
• La fonction est dite dérivable si la limite du quotient différentiel existe en chaque point de son domaine.
• Le domaine de définition d’une fonction dépend de sa formule et de ses propriétés, notamment pour ln(x) (x > 0) ou exp(x) (tout R).

💡 À retenir

Les fonctions élémentaires sont fondamentales en analyse, et leur dérivabilité ainsi que la relation entre une fonction et sa réciproque jouent un rôle clé dans l’étude de leurs propriétés.

📖 5. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

Développements limités (DL) : Expression d'une fonction sous forme d'un polynôme dont le terme dominant est la valeur de la fonction en un point, complété par des termes en puissances de (x - a) et un reste de type o((x - a)^n) (II.2.1, II.2.10).

Formule de Taylor-Young : Résultat qui exprime une fonction n fois dérivable en un point a comme une somme finie de ses dérivées en a, plus un reste de type o((x - a)^n), permettant d’approcher la fonction localement (II.2.1).

Règles de manipulation de o(x^n) : Ensemble de propriétés permettant de combiner, additionner, multiplier ou diviser des termes o(x^n), notamment o(x^n) + o(x^m) = o(x^n) si m → n, et o(x^n)·o(x^m) = o(x^{n+m}) (II.2.2).

Série de Taylor : Somme infinie de termes dérivés en un point a, sous forme de séries, qui converge vers la fonction si la série est convergente, permettant une approximation infinie (II.2.3, II.2.8).

Développements limités (DL) : Expression polynomiale obtenue par la formule de Taylor jusqu’à un ordre n, avec un reste de type o((x - a)^n), qui approxime la fonction dans un voisinage de a (II.2.1, II.2.10).

Application des DL au calcul des limites : Utilisation des développements limités pour déterminer la limite d’une fonction en un point en remplaçant la fonction par son DL et en analysant le reste (II.2.6).

📝 Points essentiels

• Les DL permettent d’approcher une fonction localement par un polynôme, en utilisant ses dérivées en un point.
• La formule de Taylor-Young donne une expression précise avec un reste de type o((x - a)^n), permettant de contrôler l’erreur d’approximation.
• La manipulation des termes o(x^n) obéit à des règles spécifiques, facilitant la simplification et la combinaison d’approximations.
• La série de Taylor est une somme infinie de termes dérivés en un point, dont la convergence dépend du rayon de convergence.
• Le reste o((x - a)^n) indique que l’erreur d’approximation décroît plus vite que la puissance correspondante lorsque x tend vers a.
• Les DL sont particulièrement utiles pour calculer des limites, faire des approximations numériques ou analyser le comportement local d’une fonction.

💡 À retenir

Les développements limités offrent un outil puissant pour approcher et analyser localement une fonction à l’aide de polynômes, en contrôlant précisément l’erreur via le reste de type o((x - a)^n).

📖 6. Approximation numérique

🔑 Notions clés & Définitions

Approximation numérique : Ensemble des méthodes permettant d’obtenir une valeur approchée d’un nombre ou d’une fonction, en utilisant des calculs finis ou des séries convergentes, pour pallier l’impossibilité ou la difficulté d’obtenir une valeur exacte.

Méthodes d’approximation : Techniques visant à représenter ou calculer une valeur approchée d’une fonction ou d’un nombre en utilisant des outils tels que les développements limités, les séries de Taylor, ou d’autres procédés de manipulation de restes o(x^n). Ces méthodes exploitent la convergence des séries ou des suites pour garantir la précision de l’approximation.

Erreur d’approximation : Différence entre la valeur exacte et la valeur approchée. Elle peut être quantifiée par des restes comme o(x^n) ou O(x^n), qui indiquent la vitesse de convergence ou le degré de précision atteint par la méthode d’approximation.

Applications pratiques : Utilisation de techniques d’approximation dans le calcul de limites, l’évaluation de fonctions, ou la résolution numérique d’équations, notamment par le biais de développements limités ou de séries entières pour obtenir des résultats précis avec un nombre fini de calculs.

Méthodes de calcul numérique : Approches systématiques pour effectuer des approximations, telles que l’utilisation de séries de Taylor, la manipulation de restes o(x^n), ou la convergence de suites de Cauchy, permettant d’assurer la précision et la stabilité des résultats dans les calculs.

Convergence des méthodes : Propriété selon laquelle une suite ou une série d’approximations tend vers la valeur exacte lorsque le nombre de termes ou d’itérations augmente. La convergence est souvent assurée par la stabilité des suites de Cauchy ou par la limite des développements limités, garantissant que l’erreur tend vers zéro.

📝 Points essentiels

• La formule de Taylor-Young permet d’écrire une fonction f(x) autour d’un point a sous forme de polynôme + reste o((x - a)^n), facilitant l’approximation locale.
• La série de Taylor est une somme infinie de termes dérivés évalués en a, dont la convergence dépend du rayon de convergence.
• La manipulation des restes o(x^n) et O(x^n) est essentielle pour quantifier l’erreur d’approximation.
• La méthode de Newton-Raphson illustre une technique d’approximation pour résoudre des équations, en générant une suite de Cauchy qui converge vers la solution.
• La construction de nombres réels à partir de suites de Cauchy de rationnels illustre l’approche de l’approximation dans l’ensemble des nombres réels.
• La convergence des méthodes d’approximation repose sur la stabilité et la limite des suites ou séries associées, garantissant une précision croissante.

💡 À retenir

Les méthodes d’approximation numérique, basées sur la convergence de séries ou de suites, permettent d’obtenir des valeurs précises à partir de calculs finis, en quantifiant l’erreur grâce aux restes o(x^n) ou O(x^n).

📖 7. Fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction réciproque
Une fonction réciproque g(x) d’une fonction f(x) est une fonction qui restitue l’argument de f à partir d’une valeur donnée, telle que :
$g(f(x)) = x$
Elle est parfois appelée "fonction inverse", mais il faut faire attention à la terminologie pour éviter la confusion avec "l’inverse de f" (voir section 4). La fonction réciproque f(g(x)) = x, dans un domaine où ces compositions sont définies, indique que g est l’inverse de f.

Fonction inverse
Expression souvent utilisée pour désigner la fonction réciproque, sous réserve de préciser le contexte. Elle correspond à la même notion : une fonction qui "inverse" l’effet de f.

Dérivée d’une fonction réciproque
Si f est une fonction dérivable et bijective sur un intervalle, et si g est sa réciproque, alors :
$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$
Ce résultat découle de la dérivation en chaîne appliquée à la relation f(g(x)) = x.

Inversion de fonctions
Opération consistant à obtenir la fonction réciproque g(x) de f(x), en échangeant les rôles de x et y dans l’équation y = f(x), puis en résolvant pour x en fonction de y, sous réserve des conditions d’existence.

Conditions d’existence
Pour que la fonction réciproque g(x) de f(x) existe, il faut que :

• f soit bijective sur un certain intervalle (injective + surjective).
• f soit dérivable, et que sa dérivée f'(x) ne s’annule pas dans cet intervalle (pour garantir la différentiabilité de g).
• f soit strictement monotone pour assurer l’injectivité.

Propriétés des fonctions réciproques

• La réciproque d’une fonction strictement monotone est aussi strictement monotone.
• La dérivée de la réciproque g(x) est donnée par :
  $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$
• La relation entre les domaines et images : si f est définie sur un intervalle I, alors g est définie sur f(I), et vice versa.
• La bijectivité et la différentiabilité de f sur un intervalle assurent l’existence et la différentiabilité de g sur l’image de cet intervalle.

📖 8. Séries entières

🔑 Notions clés & Définitions

Séries de Taylor : Somme infinie de termes dérivés d’une fonction en un point, sous la forme $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$. Elle permet de représenter une fonction par une série infinie de polynômes autour d’un point $a$. La série de Taylor est une série entière si elle a un rayon de convergence positif.

Applications des séries entières : Utilisation pour approximer, étudier ou calculer des valeurs de fonctions en développements locaux, notamment pour des fonctions comme l’exponentielle, sinus, cosinus, logarithme, etc. La série de Taylor permet aussi d’obtenir des développements limités.

Représentation de fonctions par séries : Toute fonction infiniment dérivable peut être exprimée localement par une série de Taylor, sous réserve de convergence. La série de Taylor, si elle converge, donne une représentation exacte de la fonction dans un voisinage du point $a$.

Convergence des séries : La série $\sum_{k=0}^{\infty} u_k$ converge si la limite de ses sommes partielles existe. La convergence dépend du rayon de convergence, qui est la borne supérieure des valeurs de $|x|$ pour lesquelles la série converge.

Rayon de convergence : La distance maximale autour du point $a$ dans laquelle la série de Taylor converge. Elle est déterminée par le comportement asymptotique des termes de la série, notamment via le critère de d’Alembert ou de Cauchy.

📝 Points essentiels

• La série de Taylor d’une fonction $f$ en un point $a$ s’écrit : $\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$.
• La série est une série entière si son rayon de convergence est non nul, souvent infini pour des fonctions analytiques comme $e^x$.
• La convergence de la série de Taylor dépend du rayon de convergence, qui peut être infini ou fini.
• La série de Taylor permet de calculer des développements limités, en utilisant la formule de Taylor-Young, avec un terme d’erreur $o((x - a)^n)$.
• La série de Maclaurin est une série de Taylor centrée en 0 : $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$.
• La série de Taylor est utilisée pour approximer des fonctions comme $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, et $\ln x$ dans leur voisinage.

💡 À retenir

Les séries entières, notamment la série de Taylor, offrent une représentation locale précise des fonctions infiniment dérivables, sous réserve de convergence, et sont essentielles pour l’approximation et l’analyse locale des fonctions.

📖 9. Applications des DL

🔑 Notions clés & Définitions

• Applications des développements limités (DL) : Utilisation des DL pour approximer, analyser ou résoudre des problèmes liés au comportement local ou asymptotique d’une fonction, notamment pour calculer des limites ou étudier la précision d’une approximation.

• Calcul de limites (voir section 3) : Technique consistant à déterminer la valeur vers laquelle une fonction tend lorsque la variable approche un point donné, souvent en utilisant un développement limité pour simplifier l’analyse.

• Approximation de fonctions : Méthode consistant à représenter une fonction par un polynôme (développement limité ou série de Taylor) dans un voisinage d’un point, permettant une évaluation simplifiée ou numérique.

• Analyse asymptotique : Étude du comportement d’une fonction lorsque la variable tend vers l’infini ou un point singulier, en utilisant des DL pour décrire la croissance ou la décroissance de la fonction.

• Étude de comportements locaux : Analyse du comportement d’une fonction au voisinage d’un point précis, notamment en déterminant sa tangente ou sa convexité via ses DL.

• Utilisation dans la résolution de problèmes : Application des DL pour simplifier des expressions complexes, calculer des limites difficiles ou approcher des solutions en contexte mathématique ou physique.

📝 Points essentiels

• Les DL permettent d’écrire une fonction comme une somme finie de termes polynomiaux plus un reste négligeable (o ou O) dans un voisinage d’un point, souvent 0 ou a.

• La formule de Taylor-Young fournit une approximation précise d’une fonction dérivable n fois, avec un reste contrôlé par un terme o((x - a)^n).

• La série de Taylor, somme infinie de termes dérivés évalués en un point, sert à représenter analytiquement une fonction infiniment dérivable, avec un rayon de convergence.

• Les DL sont particulièrement utiles pour calculer des limites en transformant des expressions compliquées en polynômes ou séries, facilitant leur évaluation.

• La manipulation des termes o(x^n) et O(x^n) permet de simplifier ou d’ignorer les termes négligeables lors d’approximation ou d’analyse asymptotique.

• La formule de Taylor pour des fonctions classiques (exponentielle, sinus, cosinus, logarithme) permet d’obtenir des développements précis pour des études locales ou asymptotiques.

• La convergence d’une série de Taylor dépend du rayon de convergence, qui peut être infini (exponentielle) ou fini (certaines fonctions rationnelles).

💡 À retenir

Les développements limités sont des outils fondamentaux pour approximer localement ou asymptotiquement une fonction, facilitant le calcul de limites, l’analyse de comportements locaux et la résolution de problèmes complexes.

📊 Tableaux de Synthèse

Thème	Notions clés	Propriétés / Formules	Auteur / Source
Suites et limites	Suite, limite, suite de Cauchy, ensemble complet, négligeabilité, suites équivalentes	Convergence définie par proximité arbitraire, suite de Cauchy caractérise la complétude, suites équivalentes ont rapport tendant vers 1	Définition 1 à 6
Dérivée	Limite du quotient différentiel, dérivée en un point, dérivation de produits, de compositions, de puissances	$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, règles de dérivation (linéarité, produit, chaîne, puissance)	(II.1.3)
Séries de Taylor	Développement limité, série de Taylor, o($x^n$), rayon de convergence	Approximation locale par polynôme, série infinie, manipulation de o($x^n$)	(II.2.1)
Fonctions élémentaires	Exponentielle, sinus, cosinus, logarithme, fonctions inverses	Dérivées, domaines, fonctions inverses, formules explicites	(II.1.4)

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite d’une suite et limite d’une fonction en un point.
2. Oublier que la suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ converge, mais pas dans un espace non complet.
3. Confondre la dérivée d’une fonction avec la limite du quotient différentiel, notamment en cas de non-dérivabilité.
4. Mauvaise utilisation des règles de dérivation, notamment la règle de la chaîne pour des compositions complexes.
5. Confondre série de Taylor et développement limité : la série peut ne pas converger ou ne pas représenter la fonction.
6. Négliger le rayon de convergence d’une série de Taylor lors de l’approximation.
7. Confusion entre la fonction et sa fonction inverse, notamment pour la dérivée de l’inverse.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une suite, de sa limite, et celle d’une suite de Cauchy.
2. Savoir que l’ensemble $\mathbb{R}$ est complet grâce à la concept de suite de Cauchy.
3. Maîtriser la définition de la dérivée d’une fonction en un point et ses propriétés fondamentales.
4. Savoir appliquer la règle de dérivation du produit, de la chaîne, et de la puissance.
5. Connaître la formule de Taylor-Young et la série de Taylor, ainsi que leur utilisation pour l’approximation locale.
6. Savoir manipuler les termes o($x^n$) et appliquer les règles de manipulation.
7. Connaître les propriétés des fonctions élémentaires : exponentielle, sinus, cosinus, logarithme.
8. Savoir définir et calculer la dérivée d’une fonction inverse ou réciproque.
9. Être capable d’identifier le rayon de convergence d’une série de Taylor.
10. Connaître la formule de la dérivée d’une fonction réciproque : $g'(x) = 1 / f'(g(x))$.
11. Savoir distinguer une série convergente d’une série divergente.
12. Savoir utiliser la formule de Taylor pour étudier le comportement limite d’une fonction.