Quiz: Dénombrer et Récurrence en Ensembles Finis — 10 perguntas

1. Quel est le principe de base pour calculer la cardinalité de l'union de deux ensembles finis disjoints ?

A. Card(E ∪ F) = Card(E) - Card(F)

B. Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F) - Card(E ∩ F)

C. Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F)

D. Card(E ∪ F) = Card(E) × Card(F)

Answer: (C)

Explicação

Lorsque deux ensembles E et F sont disjoints, leur union ne comporte pas d'éléments en commun, donc la cardinalité de l'union est simplement la somme des cardinalités : Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F).

2. Quelle est la formule pour calculer le nombre d’éléments dans le produit cartésien d’ensembles E et F ?

A. Card(E × F) = Card(E) + Card(F)

B. Card(E × F) = Card(E) × Card(F)

C. Card(E × F) = Card(E) − Card(F)

D. Card(E × F) = max(Card(E), Card(F))

Answer: (B)

Explicação

La formule du produit cartésien indique que le nombre d'éléments dans E × F est le produit des cardinaux, c'est-à-dire Card(E) × Card(F). C'est une propriété fondamentale qui reflète la construction des couples possibles.

3. Comment calcule-t-on le nombre d'arrangements de k éléments parmi n éléments distincts ?

A. A_n k = n! / k!

B. A_n k = n^k

C. A_n k = n! / (n-k)!

D. A_n k = n! / (k! (n-k)! )

Answer: (C)

Explicação

Le nombre d'arrangements sans répétition de k éléments parmi n est donné par A_n k = n! / (n-k)! car on choisit et ordonne k éléments parmi n, sans remise.

4. Quelle est la valeur de Card(E^k) si Card(E) = 4 et k = 3 ?

A. 64

B. 12

C. 16

D. 7

Answer: (A)

Explicação

Card(E^k) représente le nombre de k-uplets possibles, qui est égal à Card(E)^k. Donc ici, 4^3 = 64.

5. Quelle est la méthode utilisée pour démontrer une propriété concernant une suite définie par récurrence ?

A. Initialiser la propriété pour un cas de base, puis prouver qu'elle est héréditaire

B. Calculer directement tous les termes

C. Faire une approximation numérique

D. Utiliser la formule de la moyenne

Answer: (A)

Explicação

La démonstration par récurrence consiste à vérifier la propriété pour un cas de base (initialisation), puis à montrer que si elle est vraie pour un certain n, alors elle l'est aussi pour n+1 (hérédité).

6. Comment s’appelle la méthode de démonstration qui commence par établir la propriété pour une valeur initiale, puis suppose qu’elle est vraie pour n et démontre qu’elle l’est pour n+1 ?

A. Démonstration par contraposée

B. Preuve par contrainte

C. Récurrence ou induction

D. Démonstration par l’absurde

Answer: (C)

Explicação

Cette méthode est appelée récurrence ou induction, elle consiste à prouver d’abord la base, puis l’étape héréditaire, permettant d’étendre la propriété à tous les entiers n.

7. Si deux ensembles E et F sont disjoints, comment peut-on calculer Card(E ∪ F) ?

A. Card(E) + Card(F)

B. Max(Card(E), Card(F))

C. Card(E) × Card(F)

D. Card(E) + Card(F) - 2 × Card(E ∩ F)

Answer: (A)

Explicação

Pour deux ensembles disjoints, leur union a pour cardinal la somme de leurs cardinaux, car il n’y a pas d’intersection à soustraire.

8. Quelle formule donne le nombre d’arrangements sans remise de k éléments parmi n ?

A. A_n k = n! / (n−k)!

B. A_n k = n^k

C. A_n k = n! / k!

D. A_n k = n × (n−1) × ... × (n−k+1)

Answer: (A), (D)

Explicação

La formule des arrangements sans remise est A_n k = n! / (n−k)! ; elle correspond aussi au produit n × (n−1) × ... × (n−k+1).

9. Quel est le nombre de permutations d’un ensemble de 6 éléments ?

A. 720

B. 120

C. 36

D. 7200

Answer: (A)

Explicação

Le nombre de permutations d’un ensemble de n éléments est n!, donc pour 6 éléments, c’est 6! = 720.

10. Quelle est l’une des suites par récurrence évoquées dans la fiche, concernant une exponentielle ?

A. u_n = 2^n − 1

B. u_n = n^2 + 1

C. u_n = 3^n + n

D. u_n = n! / 2^n

Answer: (A)

Explicação

La fiche donne l’exemple de la suite u_n = 2^n − 1 comme étant démontrée par récurrence, ce qui illustre une progression exponentielle simple.