Ficha de revisão: Fondamentaux de la dérivation en analyse

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation
2. Dérivabilité
3. Tangente et sécante
4. Nombre dérivé
5. Fonction dérivée
6. Limite du taux de variation
7. Coefficient directeur
8. Calcul de dérivées
9. Dérivées de fonctions usuelles
10. Non-dérivabilité

📖 1. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de la fonction $f$ entre deux points $a$ et $b$ est défini par la formule $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Il représente la pente de la droite sécante passant par les points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ sur la courbe $Cf$.
• Interprétation graphique : Le taux de variation correspond au coefficient directeur de la droite sécante (AB). Plus $a$ et $b$ sont proches, plus cette sécante se rapproche de la tangente en $A$.
• Lien avec la croissance/décroissance : Si $f$ est croissante sur $I$, alors le taux de variation entre $a$ et $b$ est positif. Si $f$ est décroissante, alors ce taux est négatif. (Proposition) : Si $f$ est croissante sur $I$, alors $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} > 0$. Si décroissante, alors $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 0$.
• Fonction affine : Si $f(x) = mx + p$, alors le taux de variation entre deux points est constant et égal à $m$.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation est la pente de la sécante reliant deux points de la courbe $Cf$.
• La limite du taux de variation lorsque $b$ tend vers $a$ donne le coefficient directeur de la tangente en $A$ (voir section 4).
• La relation entre le signe du taux de variation et la nature de la fonction (croissante ou décroissante) est fondamentale pour analyser le comportement de $f$.
• La formule $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ est symétrique, mais la limite quand $b \to a$ est essentielle pour définir la dérivabilité.

💡 À retenir

Le taux de variation entre deux points mesure la pente de la sécante et, en limitant ce taux lorsque les points se rapprochent, on obtient la pente de la tangente, clé pour étudier la croissance ou la décroissance de la fonction.

📖 2. Dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point a : La fonction f est dite dérivable en a si la limite du taux de variation de f entre a et x existe lorsque x tend vers a. Cette limite, appelée nombre dérivé de f en a, existe si et seulement si la limite suivante est finie :
  $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
  (source : Chapitre 7)

• Nombre dérivé f'(a) : Le nombre réel qui représente la limite du taux de variation de f entre a et x lorsque x tend vers a. Il est aussi le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en A(a, f(a)).
  (source : Chapitre 7)

• Expression alternative du nombre dérivé : En posant x = a + h, la limite du taux de variation s’écrit aussi :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
  Cette formulation est souvent utilisée pour calculer la dérivée en un point.
  (source : Chapitre 7)

• Lien entre dérivabilité et nombre dérivé : La dérivabilité en a est équivalente à l’existence de la limite du taux de variation, et cette limite est le nombre dérivé f'(a). Si cette limite n’existe pas, f n’est pas dérivable en a.
  (source : Chapitre 7)

• Tangente à la courbe en un point : La droite passant par A(a, f(a)) et ayant pour coefficient directeur f'(a), si ce dernier existe. Son équation est :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
  (source : Chapitre 7)

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point a se définit par l’existence de la limite du taux de variation $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
• La limite du taux de variation, si elle existe, est le nombre dérivé f'(a), qui représente la pente de la tangente à la courbe en A.
• La formule alternative utilisant h : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$, facilite le calcul de la dérivée en un point.
• La dérivabilité implique la continuité en a, mais la continuité ne garantit pas la dérivabilité (exemple de la fonction valeur absolue en 0).
• La tangente en A est la droite passant par A et de coefficient directeur f'(a), si cette limite existe.
• La limite du taux de variation est aussi la pente de la droite tangente, qui est une approximation locale de la courbe en ce point.
• La non-existence de cette limite traduit une discontinuité ou un point anguleux (exemple : valeur absolue en 0).
• La dérivabilité en un point est une condition nécessaire pour définir la tangente et étudier la croissance ou décroissance locale de la fonction.

💡 À retenir

La dérivabilité en un point correspond à l’existence d’une limite du taux de variation, qui est aussi la pente de la tangente à la courbe en ce point, permettant d’étudier localement le comportement de la fonction.

📖 3. Tangente et sécante

🔑 Notions clés & Définitions

• Sécante à Cf passant par A et M : Droite passant par deux points A et M de la courbe Cf, où A correspond à un point fixe et M à un point variable. La sécante est définie par la droite qui relie ces deux points (voir "Représentation graphique").
• Tangente à Cf en A : Droite limite des sécantes passant par A lorsque M tend vers A. Elle touche la courbe Cf en A sans la couper, représentant la direction instantanée de la courbe en ce point (voir "Définition").
• Représentation graphique : La sécante est une droite passant par A et M, et la tangente est la limite de cette droite lorsque M se rapproche de A. Sur le graphique, A est un point de la courbe Cf, et la tangente en A est la droite qui "tangent" la courbe en ce point.
• Limite des sécantes (voir "Définition de la tangente") : La droite tangente est la limite, lorsque M tend vers A, des sécantes passant par A et M. La limite est prise en termes de coefficient directeur, c’est-à-dire du taux de variation entre A et M.
• Coefficient directeur de la tangente : Limite du taux de variation de f entre a et x lorsque x tend vers a, notée lim_{x→a} (f(x) − f(a)) / (x − a). Cette limite, si elle existe, définit la pente de la tangente en A (voir "Nombre dérivé").
• Auteur : La notion de limite des sécantes pour définir la tangente est une approche classique en analyse, utilisée pour formaliser la dérivabilité (voir "Définition de la tangente").

📝 Points essentiels

• La sécante à la courbe Cf passant par A et M est la droite reliant ces deux points, dont le coefficient directeur est donné par le taux de variation (f(b) − f(a)) / (b − a). Elle dépend de la position de M par rapport à A.
• La tangente en A est définie comme la limite des sécantes lorsque M tend vers A, c’est-à-dire lorsque la distance entre M et A tend vers zéro. La limite du coefficient directeur des sécantes existe si et seulement si la fonction est dérivable en A, et cette limite est le nombre dérivé f′(a).
• La représentation graphique montre que la tangente touche la courbe Cf en A sans la couper, et qu’elle donne la direction instantanée de la courbe en ce point. La limite du coefficient directeur des sécantes est une notion fondamentale pour définir la dérivabilité.
• La limite du taux de variation, si elle existe, permet d’obtenir le nombre dérivé f′(a), qui est la pente de la tangente en A. La dérivabilité en un point implique l’existence de cette limite.
• La notion de limite des sécantes et de la tangente est une construction fondamentale en analyse, permettant de relier la géométrie à l’analyse.

💡 À retenir

La tangente à une courbe en un point est la limite des sécantes passant par ce point et un autre, lorsque ce dernier se rapproche de lui, et son coefficient directeur est le nombre dérivé en ce point.

📖 4. Nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé (f'(a)) : Limite du taux de variation de la fonction f entre a et x lorsque x tend vers a, si cette limite existe. (Définition)
  $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

• Lien entre nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente : Si la limite du taux de variation existe en a, alors le nombre dérivé f'(a) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf en A. La tangente en A a pour équation :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

• Dérivabilité en un point : La fonction f est dérivable en a si la limite du taux de variation existe. La limite est alors le nombre dérivé f'(a). (Démonstration dans le chapitre)

• Théorème (relation avec la tangente) : Si f est dérivable en a, alors la tangente à Cf en A a pour équation :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

• Formule alternative du nombre dérivé : En posant $h = x - a$, on a :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

📝 Points essentiels

• La définition du nombre dérivé en un point a repose sur la limite du taux de variation lorsque x tend vers a.
• La limite du taux de variation, si elle existe, donne le coefficient directeur de la tangente en A, ce qui relie la dérivation à la géométrie de la courbe.
• La formule de la tangente en A, $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, est une conséquence directe de cette limite.
• La dérivabilité en a implique que la limite du taux de variation est finie et unique.
• La limite peut ne pas exister si la fonction présente un angle ou un point anguleux (exemple : fonction valeur absolue en 0).

💡 À retenir

Le nombre dérivé en un point est la limite du taux de variation lorsque x approche a, et il représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.

📖 5. Fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée (ou dérivée) : La fonction $f'$ associée à une fonction $f$, définie sur un intervalle $I$, qui à chaque point $x \in I$ associe le nombre limite $f'(x)$ lorsque la limite du taux de variation existe. (Chapitre 7)

• Dérivabilité sur un intervalle : Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point $a \in I$. Cela implique que pour chaque $a \in I$, la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est finie. (Chapitre 7)

• Notion de limite du taux de variation : La dérivée en un point $a$ est la limite du taux de variation $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ lorsque $x$ tend vers $a$, si cette limite existe. Elle est notée $f'(a)$. (Chapitre 7)

• Exemple de fonction dérivée (fonctions usuelles) :

  • $f(x) = k$ (constante) : $f'(x) = 0$, domaine : $\mathbb{R}$.
  • $f(x) = x$ : $f'(x) = 1$, domaine : $\mathbb{R}$.
  • $f(x) = x^2$ : $f'(x) = 2x$, domaine : $\mathbb{R}$.
  • $f(x) = \frac{1}{x}$ : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$, domaine : $\mathbb{R}^*$.
  • $f(x) = \sqrt{x}$ : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, domaine : $\,]0, +\infty[$. (Chapitre 7)

• Fonction dérivée : La fonction $f'$ qui, à tout $x \in I$, associe la limite du taux de variation en ce point, si elle existe. La dérivée est définie pour tout $x$ où cette limite existe. (Chapitre 7)

📝 Points essentiels

• La dérivée $f'(a)$ en un point $a$ est la limite du taux de variation $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ lorsque $x \to a$. Si cette limite existe, $f$ est dite dérivable en $a$.
• La tangente à la courbe $Cf$ en $A(a, f(a))$ a pour coefficient directeur $f'(a)$, et son équation est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• La fonction dérivée $f'$ peut être calculée à partir des fonctions usuelles en utilisant la limite du taux de variation, avec des techniques de dérivation par limite.
• La dérivabilité sur un intervalle implique que la fonction est dérivable en chaque point de cet intervalle, et la fonction dérivée est alors définie sur cet intervalle.
• Exemples classiques :
  • $f(x) = k$ (constante) : $f'(x) = 0$.
  • $f(x) = x$ : $f'(x) = 1$.
  • $f(x) = x^n$ : $f'(x) = nx^{n-1}$.
  • $f(x) = \frac{1}{x}$ : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
  • $f(x) = \sqrt{x}$ : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. (Chapitre 7)

💡 À retenir

La fonction dérivée $f'$ représente la pente de la tangente à la courbe en chaque point où elle existe, permettant d'analyser la croissance, la décroissance et la forme locale de la fonction $f$.

📖 6. Limite du taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite du taux de variation : La limite, lorsque x tend vers a, du rapport (f(x) − f(a)) / (x − a). Elle représente la valeur à laquelle le taux de variation entre a et x se rapproche lorsque x approche a.
• Nombre dérivé : Le nombre réel f′(a) défini comme la limite du taux de variation de f entre a et x lorsque x tend vers a, si cette limite existe. Selon AUTEUR (date), c’est la base pour définir la dérivabilité en un point.
• Définition de la tangente : La droite passant par A(a, f(a)) dont le coefficient directeur est la limite du taux de variation lorsque x tend vers a. La tangente est ainsi la limite géométrique des sécantes passant par A et un point M(x, f(x)) lorsque M se rapproche de A.

📝 Points essentiels

• La limite du taux de variation en a, si elle existe, permet de définir le nombre dérivé f′(a).
• La dérivabilité en a est équivalente à l’existence de cette limite. La formule :
  $f′(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
• La limite du taux de variation est aussi la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe en A.
• La limite peut être calculée en posant x = a + h et en faisant tendre h vers 0 :
  $f′(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
• La tangente en A est la droite d’équation :
  $y = f′(a)(x - a) + f(a)$
• La limite du taux de variation est la base pour établir la dérivabilité et la définition géométrique de la tangente.

💡 À retenir

La limite du taux de variation en un point a, si elle existe, définit le nombre dérivé et la pente de la tangente à la courbe en ce point, établissant ainsi un lien essentiel entre la variation locale de la fonction et sa représentation graphique.

📖 7. Coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur d’une droite entre deux points :
  La pente ou le taux de variation entre deux points A(a, f(a)) et B(b, f(b)) d’une courbe Cf est défini par :
  $\text{coefficient directeur} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
  (source : chapitre 7)

• Lien entre coefficient directeur de la droite sécante et taux de variation :
  La pente de la droite sécante passant par A et M(x, f(x)) est le taux de variation de f entre a et x, soit :
  $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
  Plus M se rapproche de A, plus cette pente tend vers le coefficient directeur de la tangente en A, si cette limite existe.
  (source : chapitre 7)

• Lien entre coefficient directeur de la tangente et nombre dérivé :
  La pente de la tangente à Cf en A, appelée nombre dérivé de f en a, est la limite du coefficient directeur des secantes lorsque x tend vers a :
  $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
  Si cette limite existe, f est dérivable en a.
  (source : chapitre 7)

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur d’une droite entre deux points A(a, f(a)) et B(b, f(b)) est donné par $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
• La limite de cette pente lorsque B se rapproche de A (x tend vers a) définit la pente de la tangente en A, appelée le nombre dérivé f'(a).
• La dérivabilité en a est assurée si cette limite existe et est finie.
• La relation entre le coefficient directeur de la sécante et la tangente est fondamentale pour comprendre la notion de dérivée.
• La formule du nombre dérivé :
  $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
  est essentielle pour calculer la pente de la tangente en un point.

💡 À retenir

Le coefficient directeur d’une droite entre deux points devient la pente de la tangente en un point lorsque ces deux points se rapprochent, ce qui définit la notion de dérivée.

📖 8. Calcul de dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Nombre défini par la formule $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, représentant la pente de la droite sécante passant par A(a, f(a)) et B(b, f(b)). Selon PERROUX (date), c’est la mesure du changement de la fonction entre deux points.
• Dérivabilité en un point : La propriété qu’une fonction possède si la limite du taux de variation lorsque x tend vers a existe. Selon PERROUX (date), cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.
• Nombre dérivé : Limite du taux de variation $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, si elle existe, elle définit la pente de la tangente en a.
• Calcul par définition : Technique consistant à utiliser la limite du taux de variation pour déterminer la dérivée, notamment avec la substitution $x = a + h$ et en faisant tendre $h \to 0$.
• Fonction dérivée : La fonction $f'$ associée à une fonction $f$, définie sur un intervalle où $f$ est dérivable en tout point, selon PERROUX (date).

📝 Points essentiels

• La dérivée en un point $a$ est la limite du taux de variation $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, si cette limite existe.
• La tangente à la courbe en $A(a, f(a))$ a pour coefficient directeur $f'(a)$, la limite du taux de variation lorsque $x$ tend vers $a$.
• La formule alternative avec $h$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• La dérivabilité implique que la limite du taux de variation existe et est finie.
• La dérivée d’une fonction polynomiale $f(x) = k$ est nulle, celle de $f(x) = x$ est 1, et celle de $f(x) = x^n$ est $nx^{n-1}$, selon PERROUX (date).
• La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$, et celle de $f(x) = \sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$.
• La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ n’est pas dérivable en 0 à cause d’un angle, car la limite du taux de variation à gauche et à droite diffère.

💡 À retenir

La dérivée en un point est la limite du taux de variation lorsque x tend vers ce point, et elle permet de déterminer la pente de la tangente à la courbe en ce point, condition essentielle pour analyser la croissance, la décroissance et la concavité d’une fonction.

📖 9. Dérivées de fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : Fonction f(x) = k, où k est un réel fixe. AUTEUR (date) : La dérivée d'une fonction constante est nulle, c’est-à-dire f′(x) = 0 pour tout x dans son domaine de définition.

• Fonction identité : Fonction f(x) = x. AUTEUR (date) : Sa dérivée est constante et égale à 1, soit f′(x) = 1 pour tout x.

• Fonction puissance : Fonction f(x) = x^n, avec n entier naturel ou réel. AUTEUR (date) : La formule générale de la dérivée est f′(x) = nx^{n−1} pour tout x dans le domaine de dérivabilité, sauf éventuellement en 0 si n < 0.

• Fonction inverse : Fonction f(x) = 1/x. AUTEUR (date) : La dérivée est f′(x) = −1/x^2, pour tout x ≠ 0 dans son domaine de définition.

• Fonction racine carrée : Fonction f(x) = √x. AUTEUR (date) : La dérivée est f′(x) = 1/(2√x), pour tout x > 0.

• Domaine de définition et de dérivabilité : La fonction doit être définie et dérivable sur l’intervalle considéré. La dérivabilité dépend notamment du comportement aux points limites ou singularités (ex : √x en 0, 1/x en 0).

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une fonction constante est nulle, ce qui reflète l’absence de variation.

• La fonction identité a une dérivée constante de 1, indiquant une croissance linéaire.

• La formule générale pour la dérivée de x^n, avec n réel, est donnée par f′(x) = nx^{n−1}, sauf en cas de domaine restreint (ex : x^n avec n négatif ou fractionnaire).

• La dérivée de 1/x est négative et décroissante : f′(x) = −1/x^2, définie pour x ≠ 0.

• La racine carrée est dérivable uniquement pour x > 0, avec f′(x) = 1/(2√x).

• La connaissance des domaines de définition est essentielle pour appliquer ces formules, notamment pour √x (x > 0) et 1/x (x ≠ 0).

• La formule de dérivée de x^n s’obtient par la règle de puissance, généralisée à tout réel n.

💡 À retenir

Les dérivées des fonctions usuelles sont fondamentales pour analyser leur comportement local, avec des formules simples et des domaines de définition précis. La règle de puissance est la clé pour dériver toute fonction de la forme x^n, y compris les cas particuliers comme 1/x ou √x.

📖 10. Non-dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de non-dérivabilité en un point : Une fonction f n’est pas dérivable en un point a si la limite du taux de variation $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ n’existe pas ou n’est pas finie. Cela se traduit graphiquement par la présence d’un angle ou d’un point anguleux à la courbe en a.
• Exemple de la fonction valeur absolue : La fonction $f(x) = |x|$ n’est pas dérivable en $x=0$ car la limite du taux de variation à gauche (−1) et à droite (+1) n’est pas la même, ce qui crée un point anguleux.
• Interprétation graphique : La non-dérivabilité en un point est caractérisée par la présence d’un angle ou d’un point anguleux sur la courbe, indiquant une discontinuité dans la pente ou une cassure nette.
• Critère de non-dérivabilité : Si la limite du taux de variation à gauche et à droite en un point a des valeurs différentes, alors la fonction n’est pas dérivable en ce point.
• AUTEUR (source) : La présence d’un angle ou d’un point anguleux sur la courbe est une indication graphique de non-dérivabilité, illustrée par l’exemple de la fonction valeur absolue.

📝 Points essentiels

• La non-dérivabilité en un point se manifeste par l’absence de limite du taux de variation ou par une limite différente selon le sens (gauche ou droite).
• La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est un exemple classique : elle n’est pas dérivable en 0 à cause d’un angle formé par la courbe, avec une limite du taux de variation à gauche de -1 et à droite de +1.
• Sur le plan graphique, la non-dérivabilité correspond à un point anguleux ou un point où la courbe présente une cassure nette.
• La limite du taux de variation doit exister et être unique pour que la fonction soit dérivable en un point. Si cette limite n’existe pas ou si elle diffère selon le sens, la fonction est non dérivable en ce point.
• La non-dérivabilité ne concerne pas uniquement les points de discontinuité, mais aussi ceux où la pente change brutalement (angle ou cassure).

💡 À retenir

La non-dérivabilité en un point est caractérisée par l’absence de limite du taux de variation ou par un angle sur la courbe, comme illustré par la fonction valeur absolue en 0.

📊 Tableau de Synthèse Comparatif : Taux de Variation, Dérivabilité, Tangente et Nombre Dérivé

Concept	Définition / Expression	Interprétation / Rôle	Auteur / Référence
Taux de variation	$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$	Pente de la sécante entre A(a, f(a)) et B(b, f(b))	Notions classiques d’analyse
Limite du taux de variation	$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$	Coefficient directeur de la tangente en a	Chapitre 7, définition de la dérivabilité
Fonction affine	$f(x) = mx + p$	Taux de variation constant égal à $m$	Notions fondamentales
Nombre dérivé (f'(a))	Limite du taux de variation en a	Pente de la tangente en a	Chapitre 7, définition de la dérivabilité
Tangente en a	Droite $y = f'(a)(x - a) + f(a)$	Approximations locale, direction de la courbe	Définition géométrique

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le taux de variation entre deux points et la dérivée en un point : la première est une moyenne, la seconde une limite locale.
2. Croire que la continuité implique la dérivabilité : la fonction peut être continue mais non dérivable (exemple : valeur absolue en 0).
3. Oublier que la limite du taux de variation doit exister pour que la dérivée soit définie ; une limite nulle ou infinie ne suffit pas.
4. Confondre la tangente (limite des sécantes) et la sécante elle-même : la tangente est une limite, pas une droite passant par deux points distincts.
5. Négliger que la dérivabilité implique la continuité, mais pas l'inverse.
6. Se méfier des faux-amis : "limite" peut être mal interprétée comme limite finie ou infinie, selon le contexte.
7. Erreur fréquente dans le calcul de dérivées : oublier de vérifier la limite ou utiliser une formule inappropriée.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du taux de variation $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ et sa signification géométrique.
2. Savoir que la limite du taux de variation lorsque $b \to a$ donne le coefficient directeur de la tangente en a.
3. Maîtriser la formule du nombre dérivé $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
4. Être capable de calculer la dérivée d’une fonction en utilisant la limite du taux de variation.
5. Connaître la définition géométrique de la tangente : limite des sécantes lorsque M tend vers A.
6. Savoir que la dérivabilité en un point implique la continuité en ce point (Chapitre 7).
7. Identifier les fonctions non dérivables : points anguleux, discontinuités, etc. (exemple : valeur absolue en 0).
8. Savoir écrire l’équation de la tangente en un point : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
9. Connaître la relation entre la dérivée et la pente de la tangente.
10. Maîtriser la formule alternative pour la dérivée : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$.
11. Savoir que la dérivabilité en un point est une condition nécessaire pour définir une tangente.
12. Vérifier la limite du taux de variation pour déterminer si la fonction est dérivable en un point.