Ficha de revisão: Fondements de l’analyse réelle

📋 Plan du Cours

1. Construction des réels
2. Corps ordonné et valeur absolue
3. Bornes, maximum et minimum
4. Borne supérieure et théorème d’existence
5. Intervalles de R
6. Partie entière et densité
7. Suites et convergence
8. Limites et opérations
9. Limites infinie et valeurs d’adhérence
10. Fonctions monotones et composition
11. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

📖 1. Construction des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement décimal : Le développement décimal d’un réel est une écriture à l’aide d’un signe, d’une partie entière et d’une suite infinie de chiffres entre 0 et 9.
• Développement décimal propre : Un développement décimal propre est un développement décimal dont la suite des chiffres n’est jamais définitivement égale à 9 à partir d’un rang.
• Ensemble R : L’ensemble R est identifié à l’ensemble des développements décimaux propres, ce qui permet de modéliser les réels sans partir d’une définition abstraite.
• Propriété d’Archimède : La propriété d’Archimède affirme qu’en prenant un multiple entier d’un réel strictement positif, on peut dépasser n’importe quel réel positif.

📝 Points essentiels

• Le nombre 1 admet deux écritures décimales, par exemple $0.999999\ldots=1$, ce qui justifie de prendre une convention pour une unique écriture par réel.
• Un développement décimal propre impose que pour tout $N$ il existe un rang $n\ge N$ où le chiffre n’est pas 9.
• Une écriture d’un réel comme développement décimal propre permet d’identifier chaque réel à une suite de chiffres sans ambiguïté, mais rend l’addition et la multiplication difficiles à définir directement.
• Les opérations $+$ et $\times$ sur $R$ sont introduites pour étendre celles des rationnels et vérifier les axiomes du corps, notamment associativité, commutativité, neutres, opposés, inverses et distributivité.
• La propriété d’Archimède garantit que pour $a,b>0$ il existe $n$ tel que $na>b$, ce qui permet ensuite des arguments de construction par dichotomie.
• Si $(S_n)_n$ est une suite de segments emboîtés, alors leur intersection $\bigcap_n S_n$ est non vide, donc il existe un réel appartenant à tous les segments.

💡 Astuce mémo

Décimal propre : jamais « tous des 9 pour toujours » à partir d’un rang (il reste toujours un chiffre différent de 9 après chaque $N$).

📖 2. Corps ordonné et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps totalement ordonné : Un corps totalement ordonné est un ensemble avec une addition et une multiplication vérifiant les propriétés algébriques, et un ordre total compatible avec ces opérations.
• Relation d’ordre total : Une relation d’ordre total sur R compare toute paire de réels et vérifie réflexivité, transitivité et antisymétrie.
• Valeur absolue : La valeur absolue |x| est définie par |x|=x si x≥0 et |x|=−x si x<0, ce qui mesure la distance à 0 via |x−y|.
• Inégalité triangulaire : L’inégalité triangulaire exprime que la valeur absolue d’une somme ou différence est au plus la somme des valeurs absolues des termes.

📝 Points essentiels

• L’ordre ≤ sur R est total et satisfait réflexivité, transitivité et antisymétrie, donc x≤y ou y≤x pour tout x,y.
• La compatibilité avec l’addition impose que si x≤y alors x+a≤y+a pour tout a dans R.
• La compatibilité avec la multiplication impose que si x≥0 et y≥0 alors xy≥0.
• L’inégalité triangulaire donne notamment |x−z|≤|x−y|+|y−z| pour tous x,y,z dans R.
• L’inégalité triangulaire inversée impose ||x|−|y||≤|x−y| pour tous x,y dans R.

💡 Astuce mémo

Inégalité triangulaire : « distance directe ≤ distance par étape » : |x−z| ≤ |x−y| + |y−z|.

📖 3. Bornes, maximum et minimum

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un majorant de $A\subset\mathbb R$ est un réel $M$ tel que tout $x\in A$ vérifie $x\le M$.
• Minorant : Un minorant de $A\subset\mathbb R$ est un réel $m$ tel que tout $x\in A$ vérifie $x\ge m$.
• Plus grand élément : Un plus grand élément de $A$ est un réel appartenant à $A$ qui majore tous les éléments de $A$.
• Plus petit élément : Un plus petit élément de $A$ est un réel appartenant à $A$ qui minore tous les éléments de $A$.
• Partie bornée : Une partie $A\subset\mathbb R$ est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• Une partie $A$ est bornée si et seulement s’il existe un réel $M>0$ tel que pour tout $x\in A$, on ait $|x|\le M$.
• Si $A$ admet un plus grand élément, alors cet élément est nécessairement un majorant de $A$.
• Sur $[0,1[$, aucun réel $M$ ne peut être un plus grand élément car tout candidat $M<1$ admet un point $\frac{M+1}{2}$ supérieur à $M$ dans $[0,1[$.
• Le plus grand élément (si il existe) est unique : si $M_1$ et $M_2$ sont tous deux plus grands éléments de $A$, alors $M_1=M_2$.
• De même, le plus petit élément (si il existe) est unique.

💡 Astuce mémo

max = sommet : il appartient à $A$ et dépasse tous les autres; min = plancher.

📖 4. Borne supérieure et théorème d’existence

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : La borne supérieure d’une partie $A$ est le plus petit réel qui est majorant de $A$.
• sup(A) : $\sup(A)$ désigne la borne supérieure de $A$ lorsqu’elle existe.
• Unicité de la borne supérieure : Si deux réels sont tous les deux des bornes supérieures de $A$, alors ils sont égaux.
• Propriété de la borne supérieure pour $\mathbb R$ : Toute partie de $\mathbb R$ non vide et majorée admet une borne supérieure.

📝 Points essentiels

• On peut écrire $\max(A)$ seulement si l’existence du plus grand élément pour $A$ est déjà assurée par le contexte ou une démonstration.
• Un réel $M$ est borne supérieure de $A$ s’il est majorant de $A$ et si tout majorant $S$ vérifie $S\ge M$.
• Si $M_1$ et $M_2$ sont bornes supérieures de $A$, alors $M_1=M_2$.
• Si $A$ n’est pas majorée, alors $A$ ne peut pas admettre de borne supérieure, et si $A=\varnothing$ il n’y a aucune borne supérieure.
• Théorème : toute partie non vide et majorée de $\mathbb R$ admet une borne supérieure.
• Le théorème n’identifie pas directement $\sup(A)$ : il garantit seulement l’existence d’un tel réel.

💡 Astuce mémo

Majorant minimal : la borne supérieure est le « plus petit majorant » ; donc elle est unique.

📖 5. Intervalles de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de R : Un intervalle de R est une partie de R où, si deux réels x<y appartiennent à l’ensemble, alors tout réel z entre x et y appartient aussi à l’ensemble.
• Intervalle ouvert : Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme ]a,b[, ]-∞,b[, ]a,+∞[ (ou vide ou R), avec a<b pour les formes non vides.
• Segment : Un segment est un intervalle de la forme [a,b] avec a≤b.
• Intervalle fermé-borné : Un intervalle fermé-borné est de la forme [a,b] avec a<b, c’est l’un des cas classés pour un intervalle borné ayant ses deux extrémités incluses.

📝 Points essentiels

• La définition “intervalle” s’écrit : pour tous (x,y) dans I² et tout z de R, si x≤z≤y alors z∈I.
• Z n’est pas un intervalle car 0 et 1 y sont, mais 1/3 vérifie 0≤1/3≤1 sans appartenir à Z.
• Si I1 et I2 sont des intervalles de R, alors I1∩I2 est aussi un intervalle de R.
• La liste exhaustive des intervalles de R est : [a,b], [a,b[, ]a,b], ]a,b[, [a,+∞[, ]a,+∞[, ]-∞,b], ]-∞,b[, R, et ∅.
• Un intervalle non vide et borné I est inclus dans [a,b] où a=inf(I) et b=sup(I), puis on distingue selon l’inclusion ou non de a et de b les formes [a,b], [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[.

💡 Astuce mémo

Intervalle = “pas de trou” entre deux points : tout ce qui est entre reste dedans.

📖 6. Partie entière et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière d’un réel $x$, notée $E(x)$, est l’unique entier naturel tel que $E(x)\le x < E(x)+1$.
• Densité : Une partie de $\mathbb R$ est dense si tout intervalle ouvert contient au moins un élément de cet ensemble.
• **Sous-groupe $\mathbb Z+2\pi\mathbb Z** : L’ensemble$\mathbb Z+2\pi\mathbb Z$regroupe les nombres s’écrivant comme$k+2\pi m$avec$k,m\in\mathbb Z$, et il est dense dans$\mathbb R$.

📝 Points essentiels

• Dans la recherche d’un rang pour la convergence de $(1/n)$, on choisit souvent $N=E(1/" )+1$ pour garantir $n>1/"$ dès que $n\ge N$.
• Pour montrer que $\sin(n)$ admet toutes les valeurs de $[-1,1]$ comme valeurs d’adhérence, on utilise la densité de $\mathbb Z+2\pi\mathbb Z$ dans $\mathbb R$.
• Si $\mathbb Z+2\pi\mathbb Z$ est dense, alors $n$ peut se rapprocher arbitrairement d’angles donnant $\sin$ aussi proche de $1$ ou de $-1$ qu’on veut.

💡 Astuce mémo

E(x) = entier du bas : $E(x)\le x<E(x)+1$; densité = tout intervalle (même petit) contient un point.

📖 7. Suites et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite qui tend vers 1 : Une suite $({u_n})$ tend vers $1$ si, pour tout réel $A<1$, il existe un rang à partir duquel tous les $u_n$ sont strictement entre $A$ et $1$.
• Opérations sur les limites : On regroupe des règles permettant de déduire la limite d’une expression à partir des limites des suites qui la composent.
• Limite infinie : Quand une suite diverge vers $+\infty$ (ou $-\infty$ selon le contexte), on applique des règles spécifiques pour déterminer le comportement des sommes et produits.

📝 Points essentiels

• Si $u_n\to 1$ et $v_n\to 0$, alors $v+u=v_n$ converge vers $1$.
• Si $u_n\to \ell$ et $v_n\to \ell'$, alors $u_n+v_n\to \ell+\ell'$ et $u_nv_n\to \ell\ell'$.
• Si $u_n\to \ell$ et $\ell\neq 0$, alors $\frac1{u_n}$ converge et $\frac1{u_n}\to \frac1\ell$.
• Si $u_n\to +\infty$ et $v_n$ est minorée, alors $u_n+v_n\to +\infty$.
• Si $u_n\to +\infty$ et $v_n\ge a$ à partir d’un certain rang avec $a>0$, alors $u_nv_n\to +\infty$.

📖 8. Limites et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite inférieure : La limite inférieure d’une suite bornée est la plus grande valeur que la suite approche pour la plupart des rangs, vue par inf sur les queues.
• Limite supérieure : La limite supérieure d’une suite bornée est la plus petite valeur qui majorise la suite à l’approche, vue par sup sur les queues.
• Sous-additivité de limsup : La limite supérieure d’une somme vérifie une inégalité de type sous-additif, pas une égalité en général.
• Sur-additivité de liminf : La limite inférieure d’une somme vérifie une inégalité de type sur-additif, pas une égalité en général.

📝 Points essentiels

• Si $(a_n)$ est bornée, alors pour un réel $\alpha\ge 0$, on a $\liminf (\alpha a_n)=\alpha\,\liminf (a_n)$ et $\limsup (\alpha a_n)=\alpha\,\limsup (a_n)$, avec inversion des rôles si $\alpha\le 0$.
• Pour des suites bornées $(a_n)$ et $(b_n)$, on a $\limsup (a_n+b_n)\le \limsup a_n+\limsup b_n$ et $\liminf a_n+\liminf b_n\le \liminf (a_n+b_n)$.
• Pour tout $n$ assez grand, si $a_n\ge 0$ et $b_n\ge 0$, alors $\lim (a_n b_n)$ encadre bien le produit des limites supérieure et inférieure des deux suites via $\liminf a_n\,\liminf b_n\le \liminf (a_n b_n)\le \limsup (a_n b_n)\le \limsup a_n\,\limsup b_n$.
• En particulier, $\limsup (a_n+b_n)$ n’est pas toujours égal à $\limsup a_n+\limsup b_n$.
• Si les suites sont positives à partir d’un certain rang, alors $\liminf (a_n b_n)$ et $\limsup (a_n b_n)$ se contrôlent par les produits des bornes inférieures et supérieures correspondantes.

💡 Astuce mémo

Somme : limsup a le dernier mot (inégalité) ; liminf a le premier mot (inégalité). Produit : quand c’est $\ge 0$, liminf/limsup se multiplient bien.

📖 9. Limites infinie et valeurs d’adhérence

🔑 Notions clés & Définitions

• Non-majorée : Une partie A de R est non-majorée si aucun réel M ne majore tous les éléments de A.
• Valeur d’adhérence : Une valeur d’adhérence d’une suite (ou d’une partie) est un réel que la suite peut approcher via des sous-suites (ou que la partie atteint à proximité arbitraire).
• Point adhérent : Un réel x est adhérent à une partie D si tout voisinage de x intersecte D.
• Limite vers +1 : Dire que f tend vers +1 en x0 signifie que f devient arbitrairement grande quand on s’approche de x0 en restant dans le domaine de f.

📝 Points essentiels

• Une partie A non vide de R est non-majorée si et seulement s’il existe une suite (a_n) d’éléments de A qui tend vers +1 et, inversement, une telle suite empêche A d’être majorée.
• Une partie A non vide de R est non-minorée si et seulement s’il existe une suite (b_n) d’éléments de A qui tend vers 1, et l’existence d’une telle suite empêche A d’être minorée.
• Un point x est adhérent à D si et seulement si pour tout ε>0, l’ensemble D \ ]x-ε,x+ε[ est non vide.
• Un point x est adhérent à D si et seulement s’il existe une suite (u_n) de D qui converge vers x.
• Si f tend vers +1 en x0 et si f est définie en x0, alors x0 ne peut pas appartenir à D : on doit nécessairement avoir x0 ∈ Adh(D) \ D, faute de quoi f serait bornée au voisinage par f(x0).
• Si f tend vers +1 en x0, alors f ne peut pas être majorée.

💡 Astuce mémo

Adhérence : « tout ε coupe D » (ou bien : « il existe une suite de D qui converge vers x »).

📖 10. Fonctions monotones et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition des limites : Règle qui permet de déduire la limite de $g(f(u))$ à partir de celles de $f(u)$ puis de $g(y)$.
• Limite d’une composition : En pratique, on remplace $u$ par $f(u)$ dans la limite de $g$ lorsque $f(u)$ tend vers le bon point d’adhérence de $g$.
• Monotonie stricte : Propriété d’une fonction où les valeurs augmentent ou diminuent strictement, ce qui entraîne l’injectivité.
• Bijection continue : Cas où une fonction continue est une bijection entre deux intervalles, ce qui impose une structure forte sur sa variation et sur sa réciproque.

📝 Points essentiels

• Si $f(u)\to_{u\to x_0} y_0$ et $g(y)\to_{y\to y_0} \ell$, alors $g(f(u))\to_{u\to x_0} \ell$.
• Si $f$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.
• Si $f$ est une fonction continue et bijective entre deux intervalles $I$ et $J$, alors $f$ est strictement monotone.
• Sous les mêmes hypothèses, la bijection réciproque $f^{-1}:J\to I$ est continue sur $J$.
• L’image d’une fonction continue sur un intervalle est un intervalle, donc poser que l’on a une bijection vers un intervalle ne perd pas de généralité.

💡 Astuce mémo

Composition des limites : d’abord $f$ “amène” vers $y_0$, puis $g$ “chasse” vers $\ell$.

📖 11. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une fonction continue qui change de signe sur deux points possède au moins un zéro entre ces points.
• Point d’annulation : Un point d’annulation est un réel c tel que la fonction vérifie f(c)=0, ce que le théorème garantit entre a et b si les hypothèses sont réunies.
• Image d’une fonction continue : L’image Im(f) d’une fonction continue sur un intervalle est un intervalle, donc elle ne “saut” aucune valeur comprise entre deux valeurs prises.
• Continuité comme hypothèse essentielle : La continuité est une condition indispensable pour conclure à l’existence d’un zéro, car sans continuité l’égalité f(c)=0 peut être fausse même si f(a) et f(b) ont des signes opposés.

📝 Points essentiels

• Si f est continue sur un intervalle I et si f(a)f(b)≤0 pour a,b∈I, alors il existe c∈[a,b] tel que f(c)=0.
• Le théorème garantit l’existence d’au moins une solution à l’équation f(x)=0 entre a et b, et cette solution peut être non unique.
• Si la fonction n’est pas continue, la conclusion “il existe c avec f(c)=0” peut échouer même lorsque f(a) et f(b) ont des valeurs de signe différent.
• Si f est continue sur un intervalle I, alors Im(f) est un intervalle : pour toute valeur w comprise entre deux valeurs prises par f, l’équation f(x)=w a au moins une solution dans I.
• Pour trouver une solution à f(x)=x, on étudie g(x)=f(x)−x sur [0,1] : g(0)≥0 et g(1)≤0 suffisent pour obtenir c tel que g(c)=0, donc f(c)=c.

💡 Astuce mémo

Changement de signe + continuité ⇒ Zéro entre deux points : f(a)f(b)≤0 donne un c avec f(c)=0.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Borne supérieure vs plus grand élément

Types d’intervalles (formes)','columns' : [

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « développement décimal » avec « développement décimal propre » : un décimal propre vérifie qu’à partir de tout rang il reste un chiffre ≠ 9.
2. Dire que max(A) existe dès qu’on peut parler de sup(A) : en général, sup(A) n’est pas dans A (ex : [0,1[).
3. Oublier que la borne supérieure caractérise aussi « assez près » d’un côté : sup(A)=M impose ∀ε>0 ∃x∈A avec x> M−ε (pas x≥M−ε).
4. Se tromper sur l’inégalité triangulaire inversée : elle porte sur ||x|−|y|| et pas sur |x−y|−||x|−|y||.
5. Pour la partie entière, oublier le cas négatif : E(−7.00001)=−8 car on prend l’entier ≤ x.
6. Croire que « limites strictes » passent à la limite : les inégalités strictes deviennent en général des inégalités larges.
7. Prendre limsup(a_n+b_n)=limsup(a_n)+limsup(b_n) : c’est faux en général (seulement des inégalités).

✅ Checklist Examen

1. Donner la définition de développement décimal et de développement décimal propre, puis expliquer pourquoi 1 admet deux écritures décimales.
2. Identifier R comme l’ensemble des développements décimaux propres et préciser ce que garantit la propriété d’Archimède.
3. Définir la valeur absolue et établir les conséquences de l’inégalité triangulaire (en particulier |x−z|≤|x−y|+|y−z| et |||x|−|y|||≤|x−y|).
4. Définir majorant, minorant, partie bornée, puis reformuler la caractérisation « bornée ⇔ ∃M>0, ∀x∈A, |x|≤M ».
5. Définir plus grand élément / plus petit élément et rappeler l’unicité sous réserve d’existence.
6. Définir borne supérieure et borne inférieure (sup/inf), puis énoncer et utiliser la caractérisation par les ε : ∀ε>0 ∃x∈A, x>sup(A)−ε.
7. Connaître la classification exhaustive des intervalles de R et savoir écrire [a,b], [a,b[, ]a,b[, ]a,+∞[, etc.
8. Manipuler la partie entière E(x) via l’encadrement E(x)≤x<E(x)+1, y compris pour x négatif, et relier E à une inégalité du type 1/n<ε.
9. Utiliser la définition de convergence d’une suite : ∀ε>0 ∃N ∀n≥N, |u_n−ℓ|<ε, et les règles d’opérations (somme, produit, inverse si ℓ≠0).
10. Savoir la définition et l’interprétation de liminf/limsup (via inf/sup des queues) et les propriétés clés : limsup(a_n+b_n)≤limsup a_n+limsup b_n et liminf a_n+liminf b_n≤liminf(a_n+b_n).
11. Relier valeur d’adhérence, suite extraite convergente, et densité (point adhérent : tout ε coupe D ; densité : tout intervalle ouvert contient un point).
12. Montrer qu’une fonction ne peut pas avoir de limite en un point en exhibant deux suites vers le point dont les images ont des limites différentes, et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (continuité + changement de signe).