Groupe — définition ?
Ensemble avec loi associative, neutre, inverses.
Sous-groupe — propriété ?
Partie non vide stable par produit et inverse.
Ordre d’un élément — définition ?
Plus petit n tel que x^n = e.
Groupe cyclique — caractéristique ?
Engendré par un seul élément.
Théorème de Lagrange — conclusion ?
L’ordre d’un sous-groupe divise celui du groupe.
Morphisme de groupes — propriété ?
Respecte la loi de composition.
Groupe de permutations — taille ?
n! pour Sn.
Décomposition en cycles — principe ?
Permutation décomposée en cycles disjoints.
Signature — rôle ?
Classement en permutation paire ou impaire.
Sous-groupe trivial — contenu ?
Uniquement l’élément neutre.
Ordre d’un élément fini — valeur ?
Un entier positif, le plus petit k avec x^k=e.
Groupe cyclique — sous-groupes ?
Tous cycliques, ordre divise celui du groupe.
Permutation non abélienne — condition ?
Sn pour n≥3.
Support d’un cycle — définition ?
Eléments déplacés par le cycle.
Conjugué d’un cycle — conservation ?
Longueur du cycle, structure cyclique.
Groupe alterné — composition ?
Permutations paires dans Sn.
Classe à gauche — définition ?
Ensemble {g · h : h ∈ H}.
Indice d’un sous-groupe — formule ?
[G : H] = |G|/|H| (si fini).
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1. Comment peut-on vérifier si un ensemble H d’un groupe G est un sous-groupe en utilisant la propriété caractéristique ?
2. Quel est le rôle principal de la signature d'une permutation dans la structure du groupe ?
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