Quiz: Introduction aux lois de Bernoulli et binomiale — 14 perguntas

1. Quelle formule donne l’espérance d’une variable aléatoire prenant les valeurs x1,…,xn avec les probabilités pi correspondantes ?

A. La somme des pi multipliées par xi

B. La racine carrée de la somme des probabilités

C. La somme des xi divisée par n

D. La somme des écarts à l’espérance au carré

Answer: (A)

Explicação

L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités : E(X)=∑ pi xi. La simple moyenne des xi ne convient que si toutes les probabilités sont égales.

2. Comment se transforme l’écart-type d’une variable aléatoire X lorsqu’on remplace X par aX+b ?

A. Il ne change pas

B. Il est multiplié par a

C. Il est multiplié par la valeur absolue de a

D. Il est multiplié par a2

Answer: (C)

Explicação

La variance est multipliée par a2, donc l’écart-type, qui en est la racine carrée, est multiplié par |a|. Le terme b ne modifie pas la dispersion.

3. Quelle caractéristique définit une épreuve de Bernoulli ?

A. Une suite de n épreuves indépendantes

B. Une variable qui ne prend que les valeurs 0 et 1

C. Une expérience à deux issues, succès et échec

D. Une expérience avec plusieurs issues équiprobables

Answer: (C)

Explicação

Une épreuve de Bernoulli comporte exactement deux issues : succès et échec, de probabilités p et 1−p. La variable 0/1 décrit ensuite la loi de Bernoulli, pas l’épreuve elle-même.

4. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, quelles sont son espérance et sa variance ?

A. E(X)=p et V(X)=p2

B. E(X)=1−p et V(X)=p(1−p)

C. E(X)=0 et V(X)=p

D. E(X)=p et V(X)=p(1−p)

Answer: (D)

Explicação

Pour une variable de Bernoulli, la valeur 1 correspond au succès, donc E(X)=p. Sa variance vaut p(1−p), ce qui mesure la dispersion autour de cette moyenne.

5. Qu’est-ce qu’un schéma de Bernoulli d’ordre n ?

A. Une expérience unique avec deux issues

B. Une variable qui compte les succès dans n essais

C. Une loi où les probabilités changent à chaque épreuve

D. Une répétition de n épreuves de même probabilité de succès, indépendantes

Answer: (D)

Explicação

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. La notion de comptage des succès correspond plutôt à la loi binomiale.

6. Dans un schéma de Bernoulli, quelle condition est nécessaire pour que les répétitions aient bien la même structure probabiliste ?

A. Les épreuves doivent être indépendantes

B. Les épreuves doivent avoir des probabilités différentes

C. Les épreuves doivent être ordonnées dans le temps

D. Les épreuves doivent avoir plus de deux issues

Answer: (A)

Explicação

Les répétitions d’un schéma de Bernoulli doivent être indépendantes et identiques. Sans indépendance, on ne peut pas parler du même schéma au sens usuel.

7. Que compte une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n;p) ?

A. Le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes

B. La probabilité de succès à une seule épreuve

C. Le nombre d’issues possibles dans chaque épreuve

D. Le nombre total d’échecs dans n épreuves

Answer: (A)

Explicação

Une binomiale B(n;p) compte le nombre de succès obtenus dans n épreuves de Bernoulli indépendantes. Le paramètre p est la probabilité de succès à chaque épreuve.

8. Quelle expression donne P(X=k) pour une variable X suivant la loi binomiale B(n;p) ?

A. C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}

B. p^n(1−p)^k

C. np(1−p)

D. C(k,n)p^{n−k}(1−p)^k

Answer: (A)

Explicação

La probabilité binomiale est P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k} pour k entre 0 et n. Le coefficient binomial compte les chemins possibles ayant exactement k succès.

9. Si X suit une loi binomiale B(n;p), quelle est son espérance ?

A. np

B. n+p

C. np(1−p)

D. p

Answer: (A)

Explicação

Pour une binomiale B(n;p), l’espérance vaut np. C’est cohérent avec l’idée que chaque épreuve apporte en moyenne p succès.

10. Si X suit une loi binomiale B(n;p), quelle est son écart-type ?

A. √(np(1−p))

B. p(1−p)

C. np(1−p)

D. n√(p(1−p))

Answer: (A)

Explicação

La variance d’une binomiale est np(1−p), donc son écart-type est la racine carrée : √(np(1−p)). L’expression np(1−p) correspond à la variance, pas à l’écart-type.

11. Dans un diagramme en bâtons d’une loi binomiale, que représente la hauteur de chaque bâton ?

A. La probabilité P(X=k) associée à la valeur k

B. La variance np(1-p) de la variable aléatoire

C. Le nombre total d’épreuves n

D. L’espérance np de la variable aléatoire

Answer: (A)

Explicação

Dans un diagramme en bâtons d’une loi binomiale, chaque bâton est associé à une valeur k et sa hauteur est proportionnelle à P(X=k). Les autres propositions confondent la représentation graphique avec des paramètres ou des caractéristiques de la loi.

12. Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n;p), comment obtient-on l’intervalle de fluctuation centré au seuil de 95 % ?

A. En choisissant un intervalle symétrique de largeur 95 autour de np

B. En gardant uniquement les valeurs k pour lesquelles P(X=k) est maximale

C. En prenant l’intervalle [0;n], qui contient toujours toute la loi

D. En prenant les valeurs autour de l’espérance jusqu’à contenir 95 % de la probabilité, avec 2,5 % dans chaque queue

Answer: (D)

Explicação

Un intervalle centré à 95 % laisse 2,5 % de probabilité dans chaque queue, ce qui correspond à l’idée de contenir 95 % de la loi autour de la zone centrale. L’intervalle [0;n] est bien trivialement valable, mais il n’est pas centré ni informatif.

13. Dans un test de proportion fondé sur un intervalle de fluctuation à 95 %, quand doit-on rejeter l’hypothèse de départ ?

A. Lorsque la taille de l’échantillon est supérieure à 100

B. Lorsque la fréquence observée est en dehors de l’intervalle

C. Lorsque la fréquence observée est exactement égale à la probabilité attendue

D. Lorsque l’intervalle est centré sur l’espérance de la loi

Answer: (B)

Explicação

La règle de décision est simple : si la fréquence observée n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation à 95 %, on rejette l’hypothèse. Être centré sur l’espérance ou avoir un grand échantillon ne suffit pas à lui seul pour décider.

14. Que signifie un risque de 5 % dans une décision statistique basée sur un intervalle de fluctuation au seuil 95 % ?

A. La probabilité que l’hypothèse soit vraie

B. La probabilité d’obtenir exactement la fréquence attendue

C. La probabilité maximale de rejeter à tort l’hypothèse

D. La probabilité que l’intervalle soit vide

Answer: (C)

Explicação

Le risque de 5 % correspond à la probabilité maximale de conclure à tort contre l’hypothèse lorsque celle-ci est vraie. Il ne s’agit ni de la probabilité que l’hypothèse soit vraie, ni de la probabilité d’observer exactement une fréquence donnée.