a + ib avec a et b réels
Explicação
Un complexe s’écrit de façon unique sous la forme a + ib, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Les autres propositions ne correspondent pas à l’écriture algébrique standard.
(a + c) + i(b + d)
Explicação
La somme de deux complexes se fait composante par composante : on additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. L’expression avec les produits correspond au produit de deux complexes, pas à leur somme.
Lorsque Im(z) = 0
Explicação
Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Avoir Re(z)=0 caractérise au contraire un imaginaire pur.
λ Re(z)
Explicação
La partie réelle est linéaire par rapport à un facteur réel : Re(λz)=λRe(z). La même propriété vaut pour la partie imaginaire.
a - ib
Explicação
Le conjugué d’un complexe s’obtient en changeant le signe de la partie imaginaire seulement. La partie réelle reste inchangée.
z est réel si et seulement si z = z̄
Explicação
Un complexe est réel exactement lorsqu’il est égal à son conjugué. Être imaginaire pur correspond plutôt à la relation z = -z̄.
√(a² + b²)
Explicação
Le module est la norme associée au complexe, donnée par la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. Ce n’est pas simplement la somme ou la différence des coefficients.
|zz'| = |z||z'|
Explicação
Le module est multiplicatif : le module du produit est le produit des modules. Pour une somme, on a seulement l’inégalité triangulaire, et non l’égalité en général.
a + ib
Explicação
L’affixe du point M(a,b) est le complexe a + ib. Les coordonnées se lisent donc directement comme partie réelle puis partie imaginaire.
z' - z
Explicação
Le vecteur allant de M vers M' correspond à la différence des affixes : on soustrait l’affixe de départ à celle d’arrivée. Cette règle relie directement géométrie et calcul complexe.
a + ib
Explicação
L’affixe d’un point de coordonnées (a,b) est le complexe a + ib. Le coefficient de i correspond à la coordonnée imaginaire b.
z' - z
Explicação
L’affixe du vecteur allant de M vers M’ est la différence z’ − z. La somme correspondrait plutôt à l’affixe d’un autre vecteur obtenu par addition.
Ce sont les complexes z tels que |z| = 1
Explicação
L’ensemble U est défini par la condition |z| = 1. Ni la partie réelle ni la partie imaginaire n’ont à valoir 1.
Le conjugué de z
Explicação
Pour un complexe de module 1, on a 1/z = z̄. C’est une propriété spécifique de ces nombres, liée à l’identité |z| = 1.
cos θ = Re(z)/|z| et sin θ = Im(z)/|z|
Explicação
L’argument relie les coordonnées du complexe à son module par cos θ = Re(z)/|z| et sin θ = Im(z)/|z|. Les autres propositions confondent module et coordonnées.
arg(zz’) ≡ arg(z) + arg(z’) [2π]
Explicação
L’argument d’un produit est la somme des arguments, à 2π près. C’est l’une des règles fondamentales du calcul des arguments.
cos(θ + θ’) = cos θ cos θ’ - sin θ sin θ’
Explicação
La bonne formule d’addition est cos(θ + θ’) = cos θ cos θ’ − sin θ sin θ’. La version avec un signe plus correspond à une erreur classique.
(1 - cos(2θ)) / 2
Explicação
On a sin²θ = (1 − cos(2θ))/2. Cette identité provient de la formule de duplication du cosinus.
b² - 4ac
Explicação
Le discriminant est défini par ∆ = b² − 4ac. C’est lui qui permet de déterminer la nature des solutions.
Les deux solutions se confondent en une solution double
Explicação
Si ∆ = 0, les deux racines de l’équation coïncident : on parle de solution double. Ce n’est donc pas le cas de deux solutions distinctes.
b^2 - 4ac
Explicação
Le discriminant d’une équation az^2+bz+c=0 est bien ∆ = b^2 - 4ac. Les autres expressions ne correspondent pas à la formule du discriminant.
Elle admet une solution double
Explicação
Quand ∆ = 0, les deux solutions données par la formule se confondent : l’équation admet donc une solution double. Les deux solutions distinctes apparaissent seulement lorsque le discriminant est non nul.
Memorize as respostas com 22 flashcards sobre Introduction aux nombres complexes et leurs propriétés.
Écriture algébrique — définition ?
Représentation unique a+ib avec a,b réels.
Partie réelle — rôle ?
Partie réelle de z, la composante a.
Partie imaginaire — rôle ?
Partie imaginaire de z, la composante b.
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