Ficha de revisão: Mathématiques de Première

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et coefficients multiplicateurs
2. Statistique et information chiffrée
3. Nuages de points et ajustement
4. Probabilités et événements
5. Probabilités conditionnelles
6. Fonctions linéaires et affines
7. Modélisation quadratique
8. Évolutions exponentielles et graphiques

📖 1. Pourcentages et coefficients multiplicateurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Lors d'une augmentation de t %, la valeur finale vérifie $V_f=V_i\left(1+\frac{t}{100}\right)$.

📐 Formule — Lors d'une diminution de t %, la valeur finale vérifie $V_f=V_i\left(1-\frac{t}{100}\right)$.

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur est défini par $CM=\frac{V_f}{V_i}$ et le taux d'évolution décimal vaut $t=CM-1$.

• Pour des évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient et les pourcentages ne s'additionnent pas directement.

Compléments

📐 Formule — L'évolution réciproque d'un coefficient multiplicateur CM utilise le coefficient $CM_{réciproque}=\frac{1}{CM}$.

📖 2. Statistique et information chiffrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : D'une série ordonnée partage la série en deux groupes de même effectif, avec 50 % des valeurs inférieures ou égales à elle et 50 % supérieures ou égales à elle.

★ À maîtriser

📐 Formule — L'effectif total d'un tableau est la somme de tous ses effectifs et la fréquence d'une catégorie vérifie $f=\frac{\text{effectif de la catégorie}}{\text{effectif total}}$.

📐 Formule — La moyenne simple d'une série de n valeurs vérifie $\bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$.

📐 Formule — Avec des effectifs n_i associés aux valeurs x_i, la moyenne pondérée vérifie $\bar{x}=\frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$.

Compléments

📐 Formule — L'étendue d'une série est la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale : $\text{étendue}=\max-\min$.

💡 Astuce mémo

Effectifs → moyenne → médiane → étendue

📖 3. Nuages de points et ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représente des couples de données quantitatives sous la forme de points $(x_i;y_i)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le point moyen de n points est $G(\bar{x};\bar{y})$, où $\bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$ et $\bar{y}=\frac{y_1+\cdots+y_n}{n}$.

📐 Formule — Un ajustement affine modélise une relation par une fonction de la forme $y=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

📌 L'interpolation estime une valeur à l'intérieur de l'intervalle observé, tandis que l'extrapolation l'estime en dehors de cet intervalle et est généralement plus incertaine.

💡 Astuce mémo

Points → point moyen → droite → estimation

📖 4. Probabilités et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Comprise entre 0 et 1, avec $0\leq P(A)\leq 1$ ; une probabilité nulle correspond à un événement impossible et une probabilité égale à 1 à un événement certain.
• Intersection : $A\cap B$ représente la réalisation simultanée des événements A et B, c'est-à-dire « A et B ».

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité de l'événement contraire de A vérifie $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule — La probabilité de l'union de deux événements vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

📌 Si A et B sont incompatibles, alors $P(A\cap B)=0$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

💡 Astuce mémo

Intersection : et ; union : ou

📖 5. Probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque $P(B)\neq0$, la probabilité de A sachant B vérifie $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule — La probabilité d'une intersection peut s'écrire $P(A\cap B)=P(B)P_B(A)$.

• Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'une branche et on additionne les probabilités des branches correspondant à l'événement recherché.

📐 Formule — A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Compléments

📐 Formule — Si A et son contraire forment une partition, alors $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.

📖 6. Fonctions linéaires et affines

★ À maîtriser

📐 Formule — Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ et sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.

📐 Formule — Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

📐 Formule — Pour deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B), le coefficient directeur vaut $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une fonction affine, l'ordonnée à l'origine vérifie $f(0)=b$.

• La droite passant par A(2;5) et B(4;9) a pour coefficient directeur 2 et pour équation $f(x)=2x+1$.

📖 7. Modélisation quadratique

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction polynomiale du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$.

📐 Formule — Sous forme factorisée, un polynôme du second degré s'écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ et ses racines sont x_1 et x_2.

📐 Formule — Sous forme canonique, la fonction s'écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et le sommet de la parabole est $S(\alpha;\beta)$.

📌 Si a>0, la parabole est tournée vers le haut, décroît puis croît et possède un minimum ; si a<0, elle est tournée vers le bas, croît puis décroît et possède un maximum.

📖 8. Évolutions exponentielles et graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image et antécédent : Dans la relation $f(x)=y$, x est un antécédent de y et y est l'image de x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $u_n=u_0q^n$ lorsqu'une quantité est multipliée régulièrement par le même coefficient q.

📌 Si q>1, l'évolution exponentielle est croissante, tandis que si 0<q<1, elle est décroissante.

📐 Formule — Une hausse de t % par période correspond à $q=1+\frac{t}{100}$ et une baisse de t % à $q=1-\frac{t}{100}$.$$

📐 Formule — La fonction exponentielle de base a est $f(x)=a^x$ avec a>0 et a≠1 ; elle est croissante si a>1 et décroissante si 0<a<1.

📐 Formule — La variation absolue entre une valeur initiale V_i et une valeur finale V_f vaut $\Delta V=V_f-V_i$.

📐 Formule — Le taux d'évolution entre V_i et V_f vaut $t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$ et s'exprime en pourcentage en le multipliant par 100.

Compléments

📐 Formule — Les propriétés des puissances comprennent $a^0=1$, $a^{m+n}=a^ma^n$, $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

• La lecture d'un graphique consiste notamment à lire une valeur sur un axe, comparer des courbes, interpréter une pente, repérer une croissance ou une décroissance et détecter une représentation trompeuse.