Ficha de revisão: Programme de mathématiques MP2I MPSI

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et compétences mathématiques
2. Raisonnement et vocabulaire ensembliste
3. Calcul algébrique et trigonométrie
4. Nombres complexes
5. Calcul différentiel et intégral
6. Nombres réels et suites
7. Limites continuité dérivabilité convexité
8. Arithmétique des entiers relatifs
9. Structures algébriques usuelles
10. Matrices et systèmes linéaires
11. Polynômes et fractions rationnelles
12. Analyse asymptotique
13. Espaces vectoriels et dimension
14. Applications linéaires et affine
15. Matrices et changements de bases
16. Permutations et déterminants
17. Intégration sur un segment
18. Dénombrement et probabilités

📖 1. Objectifs et compétences mathématiques

★ À maîtriser

• La formation mathématique en classe préparatoire vise à fournir un solide bagage de connaissances, de concepts et de méthodes, à développer l'intuition, l'imagination, le raisonnement et la rigueur, et à promouvoir une attitude de questionnement et de recherche.

• Les six compétences mathématiques sont:

  • chercher et mettre en œuvre des stratégies
  • modéliser
  • représenter
  • raisonner et argumenter
  • calculer et utiliser le langage symbolique
  • communiquer à l'écrit et à l'oral

• L'année est découpée en deux semestres et le programme se répartit en trois champs : algèbre, analyse et probabilités.

Compléments

📌 Les situations dont la gestion manuelle relève seulement de la technicité doivent être traitées à l'aide d'outils de calcul formel ou numérique.

💡 Astuce mémo

Chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer : CMR2C

📖 2. Raisonnement et vocabulaire ensembliste

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d'équivalence : une relation binaire dont les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble sous-jacent

📝 Points essentiels

📌 Une implication relie une condition à une conséquence, tandis que la contraposition remplace cette implication par celle de la négation de la conséquence vers la négation de la condition.

• Les modes de raisonnement au programme sont:

  • la disjonction des cas
  • la contraposition
  • l'absurde
  • l'analyse-synthèse

• Le raisonnement par récurrence peut être:

  • simple
  • double
  • forte

📌 Une application associe à chaque élément de son ensemble de départ un unique élément de son ensemble d'arrivée, tandis qu'une bijection est une application à la fois injective et surjective possédant une réciproque.

💡 Astuce mémo

Proposition → implication → preuve → récurrence

📖 3. Calcul algébrique et trigonométrie

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule du binôme dans R s'écrit $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

• L'algorithme du pivot transforme un système linéaire par échanges de lignes, multiplications d'une ligne par un scalaire non nul et additions d'un multiple d'une ligne à une autre.

• L'inégalité triangulaire sur les réels est $|x+y|\leq |x|+|y|$.

📐 Formule — Pour tout réel x, l'inégalité trigonométrique vérifie $|\sin(x)|\leq |x|$.

Compléments

• La partie entière d'un réel x, notée ⌊x⌋, est le plus grand entier inférieur ou égal à x.

📖 4. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : $z=re^{i\theta}$ avec r>0, où r est son module et θ un argument

★ À maîtriser

• Pour tout nombre complexe z, son module vérifie $|z|^2=z\overline z$.

📐 Formule — Les formules d'Euler sont $\cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$ et $\sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$.

• Les cas particuliers des similitudes directes sont:
  • les translations
  • les homothéties
  • les rotations

Compléments

• Les racines n-ièmes de l'unité sont représentées géométriquement par les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

💡 Astuce mémo

Le plan complexe associe à chaque nombre un point, un vecteur et un cercle centré par le module

📖 5. Calcul différentiel et intégral

★ À maîtriser

📐 Formule — Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit $y'+a(x)y=b(x)$, où a et b sont continues sur un intervalle.

• La méthode de variation de la constante détermine les solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à partir de l'équation homogène associée.

📐 Formule — Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s'écrit $y''+ay'+by=f(x)$.

• Pour une fonction continue f, la fonction $x\mapsto\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt$ a pour dérivée f.

Compléments

• L'intégration par parties et le changement de variable sont deux techniques fondamentales de calcul intégral.

💡 Astuce mémo

Dériver → intégrer → résoudre une équation différentielle

📖 6. Nombres réels et suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : son plus petit majorant, et toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure

★ À maîtriser

📌 Une suite convergente possède une limite finie et est nécessairement bornée, tandis qu'une suite divergente ne converge pas vers une limite finie.

• Le théorème de la limite monotone affirme qu'une suite monotone et bornée converge.

Compléments

• Si les suites extractions (u2n) et (u2n+1) tendent vers la même limite ℓ, alors la suite (un) tend vers ℓ.

📐 Formule — Pour la récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ avec a différent de 1, une solution constante est un point fixe de l'application affine associée.

💡 Astuce mémo

Borne supérieure → convergence monotone → limite

📖 7. Limites continuité dérivabilité convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité : La dérivabilité en un point signifie que la fonction admet un nombre dérivé en ce point et entraîne sa continuité en ce point.
• Fonction convexe : une fonction qui vérifie, pour tous x,y dans I et λ dans [0,1], $f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$

📝 Points essentiels

• Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'une fonction continue sur un intervalle prend toute valeur comprise entre deux valeurs qu'elle atteint.

• Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

• L'inégalité des accroissements finis indique que si |f′| est majorée par K, alors f est K-lipschitzienne.

💡 Astuce mémo

Limite → continuité → dérivabilité → convexité

📖 8. Arithmétique des entiers relatifs

★ À maîtriser

• Le théorème de la division euclidienne décompose tout entier selon un quotient et un reste soumis à une condition de positivité et de degré inférieur au diviseur.

• L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers par divisions euclidiennes successives.

• Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1, et le théorème de Bézout caractérise cette propriété par l'existence de deux coefficients entiers dont la combinaison linéaire vaut 1.

• Tout entier naturel non nul admet une décomposition en produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Compléments

• Les congruences modulo un entier sont compatibles avec l'addition et la multiplication.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → PGCD → Bézout → nombres premiers → congruences

📖 9. Structures algébriques usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe : un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, possédant un élément neutre et dans lequel tout élément est inversible
• Morphisme de groupes : une application qui respecte les lois de groupe, et son noyau est le sous-groupe des éléments envoyés sur l'élément neutre
• Anneau : une structure algébrique unitaire munie de deux lois, l'addition et la multiplication, liées par la distributivité
• Corps : un anneau commutatif dont tout élément non nul est inversible

💡 Astuce mémo

Loi → groupe → anneau → corps

📖 10. Matrices et systèmes linéaires

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un système linéaire s'écrit sous forme matricielle $AX=B$.

• Le système AX=B est compatible si et seulement si B est une combinaison linéaire des colonnes de A.

• Les solutions d'un système compatible AX=B sont les vecteurs X0+Y, où X0 est une solution particulière et Y parcourt les solutions du système homogène associé.

📌 Pour n≥2, l'anneau des matrices carrées n'est pas commutatif, car le produit matriciel peut dépendre de l'ordre des facteurs.

• Une matrice carrée est inversible si elle possède une matrice inverse, et son inverse peut être calculé par opérations élémentaires ou par résolution du système AX=Y.

💡 Astuce mémo

Opérations élémentaires → pivot → résolution et inversibilité

📖 11. Polynômes et fractions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : un élément de K[X], avec K égal à R ou C, caractérisé notamment par son degré, son coefficient dominant et son éventuel caractère unitaire
• Division euclidienne : Pour deux polynômes A et B de K[X] avec B non nul, il existe un unique couple de polynômes Q et R tel que A=BQ+R et deg(R)<deg(B).

★ À maîtriser

• Le théorème de la division euclidienne s'applique aux polynômes et permet de diviser un polynôme par un autre selon un quotient et un reste de degré inférieur au diviseur.

• Un nombre a est une racine d'un polynôme P si et seulement si P est divisible par X−a.

• Le nombre de racines d'un polynôme non nul est majoré par son degré.

• Si x₁,...,xn sont des éléments distincts de K et y₁,...,yn des éléments de K, il existe un unique polynôme P appartenant à Kₙ₋₁[X] tel que P(xᵢ)=yᵢ pour tout i.

Compléments

• Les formules de Viète relient les coefficients d'un polynôme scindé à la somme et au produit de ses racines.

📌 Toute fraction rationnelle possède une forme irréductible, obtenue en simplifiant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

💡 Astuce mémo

Diviser → factoriser → dériver → décomposer

📖 12. Analyse asymptotique

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Un développement limité à l’ordre n d’une fonction en un point représente cette fonction par un polynôme de degré au plus n plus un reste négligeable devant la puissance correspondante.

★ À maîtriser

📌 La relation f(x)=o(g(x)) signifie que f est négligeable devant g au voisinage du point considéré, tandis que f(x)∼g(x) signifie que leur quotient tend vers 1.

📐 Formule — La formule de Stirling s’écrit $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ lorsque n tend vers +∞.

Compléments

• Les croissances comparées en +∞ placent les puissances de logarithme avant les puissances de x, elles-mêmes avant les exponentielles.

💡 Astuce mémo

o domine la négligeabilité, ∼ conserve l’équivalence

📖 13. Espaces vectoriels et dimension

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Une partie d’un espace vectoriel qui contient le vecteur nul et qui est stable par combinaison linéaire.
• Base : Une famille à la fois génératrice et libre, de sorte que tout vecteur possède une unique décomposition dans cette famille.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux sous-espaces F et G de dimension finie, la formule de Grassmann est $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$.

Compléments

• Les dimensions de Kⁿ, Kₙ[X] et Mₙ,ₚ(K) sont respectivement n, n+1 et np.

💡 Astuce mémo

Engendrer → extraire → compléter → coordonner

📖 14. Applications linéaires et affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Projecteur : Un endomorphisme p vérifiant p²=p.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si E est de dimension finie n et u appartient à L(E,F), le théorème du rang donne $n=\dim(\ker u)+\operatorname{rg}(u)$.

📌 Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul, tandis que la surjectivité concerne l’égalité de l’image avec l’espace d’arrivée.

Compléments

• L’ensemble des solutions d’une équation linéaire u(x)=a est soit vide, soit un sous-espace affine dirigé par le noyau de u.

💡 Astuce mémo

Noyau et image → rang → dimension des solutions

📖 15. Matrices et changements de bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrices semblables : Lorsqu’elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

★ À maîtriser

• Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul, si et seulement si ses colonnes engendrent Kⁿ, si et seulement si son rang vaut n.

Compléments

• Le calcul de l’inverse d’une matrice peut se faire par opérations élémentaires ou par résolution du système AX=Y.

📐 Formule — La trace est invariante par similitude et vérifie $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$.

💡 Astuce mémo

Équivalence classe par le rang, similitude conserve l’endomorphisme

📖 16. Permutations et déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Signature : L’unique morphisme de groupes de Sₙ vers {−1,1} qui envoie toute transposition sur −1.
• Déterminant : La valeur de l’unique forme n-linéaire alternée qui vaut 1 sur cette base.

📝 Points essentiels

• Toute permutation se décompose de manière unique en produit de cycles à supports disjoints, à l’ordre des cycles près.

📐 Formule — Pour une matrice carrée A, la comatrice vérifie $A\,\operatorname{Com}(A)^\top=\operatorname{Com}(A)^\top A=\det(A)I_n$.

💡 Astuce mémo

Permutation des colonnes → changement de signe du déterminant

📖 17. Intégration sur un segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité uniforme : Lorsque tout ε positif admet un même δ positif valable pour tous les points de son domaine.

★ À maîtriser

• Pour une fonction continue par morceaux sur [a,b], les sommes de Riemann convergent vers son intégrale lorsque n tend vers +∞.

📐 Formule — La relation de Chasles s’écrit $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt$.

Compléments

• Toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives, et la dérivée de x↦∫ₐˣf(t)dt vaut f(x).

💡 Astuce mémo

Sommes de Riemann → intégrale → primitive

📖 18. Dénombrement et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(B)>0, la probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B).
• Produit scalaire : Une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel réel.
• Gradient : Le vecteur formé par ses dérivées partielles et indique la direction dans laquelle f croît le plus vite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble de cardinal n est $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

📐 Formule — L’espérance d’une variable aléatoire X est $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}xP(X=x)$.

📐 Formule — La variance vérifie $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ et, pour des variables décorrélées, $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.

📐 Formule — L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit $|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|$.

• L’algorithme de Gram-Schmidt transforme une famille libre en une famille orthonormée engendrant les mêmes sous-espaces successifs.

• Le terme général d’une série convergente tend vers 0, mais cette condition n’est pas suffisante pour assurer la convergence.

📐 Formule — La série géométrique converge si et seulement si |z|<1, et sa somme vaut $\sum_{n=0}^{+\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$.

• Une série numérique absolument convergente est convergente.

• L’existence des dérivées partielles en un point n’entraîne pas la continuité de la fonction en ce point.

📐 Formule — La dérivée selon un vecteur u vérifie $D_uf(x_0,y_0)=\langle\nabla f(x_0,y_0),u\rangle$.

📌 Tout extremum local d’une fonction de classe C¹ sur un ouvert de R² est un point critique.

Compléments

• Le projeté orthogonal de x sur un sous-espace F est l’unique élément de F qui réalise la distance de x à F.

💡 Astuce mémo

Modéliser les issues → compter → calculer les probabilités