Лист за преговор: Analyse de la stabilité des systèmes asservis

📋 Plan du Cours

1. Stabilité systèmes asservis
2. Critère théorique stabilité
3. Critère pratique stabilité
4. Marge de gain
5. Marge de phase
6. Diagrammes de Bode
7. Fonction de transfert
8. Polynôme caractéristique

📖 1. Stabilité systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système : Capacité d’un système à revenir à son état d’équilibre après une perturbation, sans oscillations ou divergences.
• Fonction de transfert : Expression mathématique représentant la relation entre la sortie et l’entrée d’un système en régime permanent, généralement en domaine de Laplace.
• Polynôme caractéristique : Polynôme dont les racines déterminent la stabilité du système ; il est extrait du dénominateur de la fonction de transfert.
• Critère de stabilité (théorique) : Un système est stable si toutes les racines du polynôme caractéristique ont une partie réelle strictement négative.
• Critère du revers (marges de stabilité) : Méthode pratique utilisant les diagrammes de Bode pour évaluer la stabilité en vérifiant les marges de gain et de phase.
• Marge de gain (MG) : Différence en dB entre le gain actuel et le gain critique où la phase est -180°, indiquant la distance à la stabilité critique.
• Marge de phase (Mφ) : Différence en degrés entre la phase réelle du système à la fréquence de gain unitaire et -180°, indiquant la sécurité par rapport à la stabilité.

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système asservi dépend de la position des pôles de sa fonction de transfert : ils doivent avoir une partie réelle négative.
• La fonction de transfert d’un système bouclé s’écrit : $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{D(p)}{1 + D(p) R(p)}$, où $D(p)$ est la fonction de transfert de la chaîne directe et $R(p)$ celle de la boucle de retour.
• La stabilité pratique s’évalue via les diagrammes de Bode en utilisant les marges de gain et de phase pour assurer une sécurité suffisante contre l’instabilité.
• La marge de gain MG est généralement fixée à 10 dB, et la marge de phase à 45°, pour garantir une stabilité robuste.
• La méthode du critère du revers permet d’évaluer rapidement la stabilité en vérifiant la distance entre la courbe de la FTBO et le point critique (-1, 0 dB) sur le diagramme de Bode.

💡 À retenir

La stabilité d’un système asservi repose sur la localisation des pôles dans le plan complexe, et peut être assurée en vérifiant que la marge de gain et la marge de phase restent positives sur le diagramme de Bode, garantissant ainsi une robustesse face aux perturbations.

📖 2. Critère théorique stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système asservi : Capacité du système à revenir à son état d’équilibre après une perturbation, sans oscillations ou divergences. Un système stable possède tous ses pôles dans le demi-plan gauche du plan complexe.
• Polynôme caractéristique : Polynôme dont les racines (pôles du système) déterminent la stabilité. La stabilité requiert que toutes les racines aient une partie réelle strictement négative.
• Fonction de transfert (H(p)) : Expression mathématique représentant la relation entre sortie et entrée d’un système en domaine complexe. Elle permet d’analyser la stabilité via ses pôles.
• Critère de stabilité théorique : La stabilité est assurée si le polynôme caractéristique a tous ses racines dans le demi-plan gauche (partie réelle négative).
• Critère du Revers (marges de gain et phase) : Méthode pratique utilisant les diagrammes de Bode pour garantir une stabilité robuste en conservant des marges de sécurité (marge de gain MG et marge de phase Mφ).

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système bouclé dépend de la position de ses pôles, issus du polynôme caractéristique.
• La fonction de transfert globale s’écrit :
  $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{D(p)}{1 + D(p) \cdot R(p)}$ où $D(p)$ est la fonction de transfert de la chaîne directe et $R(p)$ celle de la boucle de retour.
• La stabilité est vérifiée en analysant le polynôme caractéristique :
  $\Delta(p) = 1 + D(p) \cdot R(p)$ qui doit avoir toutes ses racines dans le demi-plan gauche.
• La méthode pratique consiste à utiliser la diagramme de Bode pour vérifier que la marge de gain MG et la marge de phase Mφ respectent les seuils (ex : MG > 10 dB, Mφ > 45°).

💡 À retenir

La stabilité d’un système asservi se garantit si le polynôme caractéristique a toutes ses racines dans le demi-plan gauche, ce que l’on peut vérifier à l’aide des marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode pour assurer une stabilité robuste.

📖 3. Critère pratique stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système asservi : capacité du système à revenir à son état d’équilibre après une perturbation, sans oscillations ou divergence.
• Critère théorique de stabilité : condition basée sur les pôles du système, qui doivent avoir une partie réelle strictement négative pour garantir la stabilité.
• Polynôme caractéristique : dénominateur de la fonction de transfert d’un système, dont les racines (pôles) déterminent la stabilité.
• Critère du revers (marges de stabilité) : méthode pratique utilisant les diagrammes de Bode pour évaluer la stabilité en termes de marges de gain et de phase.
• Marge de gain (MG) : différence en dB entre le gain actuel et le gain critique où la phase est -180°, permettant de mesurer la distance à la stabilité.
• Marge de phase (Mφ) : différence en degrés entre la phase réelle du système à la fréquence de gain unitaire et -180°, indiquant la sécurité contre l’instabilité.

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système bouclé dépend de la position des pôles : ils doivent avoir une partie réelle négative.
• La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit : $H(p) = \frac{D(p)}{1 + D(p) R(p)}$, où le dénominateur est le polynôme caractéristique.
• La stabilité pratique s’évalue via les diagrammes de Bode :
  • La marge de gain MG doit être positive (souvent ≥ 10 dB).
  • La marge de phase Mφ doit être positive (souvent ≥ 45°).
• La distance entre la courbe de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) et le point critique (-1 + j0) en Bode indique la sécurité du système.
• En cas de marges faibles ou négatives, le système est proche de l’instabilité et doit être ajusté.

💡 À retenir

La stabilité pratique d’un système asservi s’assure par des marges de gain et de phase suffisantes sur la courbe de Bode, garantissant une robustesse face aux perturbations et variations de paramètres.

📖 4. Marge de gain

🔑 Notions clés & Définitions

• Marge de gain (MG) : La différence, exprimée en décibels (dB), entre le gain à la fréquence où la phase est de -180° et le gain unitaire (0 dB). Elle indique la robustesse du système face à une augmentation du gain.

• Marge de phase (Mφ) : La différence en degrés entre la phase réelle du système et -180° à la fréquence où le gain est de 0 dB. Elle mesure la tolérance aux déphasages qui pourraient rendre le système instable.

• Diagramme de Bode : Représentation graphique du module et de la phase d’une fonction de transfert en fonction de la fréquence (ω). Utilisé pour analyser la stabilité et les marges.

• Critère du revers : Méthode pratique pour vérifier la stabilité en utilisant les marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode, en s’assurant que le système reste stable avec une marge suffisante.

• Polynôme caractéristique : Polygone formé par le dénominateur de la fonction de transfert, dont les racines (pôles) doivent avoir une partie réelle négative pour assurer la stabilité.

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système asservi dépend de la position des pôles du polynôme caractéristique : ils doivent avoir une partie réelle strictement négative.
• La marge de gain indique combien le gain peut augmenter avant que le système ne devienne instable ; une marge typique est de 10 dB.
• La marge de phase indique la tolérance en phase avant que le système ne devienne instable ; une valeur courante est de 45°.
• Sur le diagramme de Bode, la marge de gain est la distance en dB entre le point où la phase est -180° et le gain unitaire, tandis que la marge de phase est la différence en degrés entre la phase réelle au gain unitaire et -180°.
• Ces marges permettent d’évaluer la robustesse du système face aux variations de paramètres ou perturbations.

💡 À retenir

La marge de gain et la marge de phase sont des indicateurs essentiels pour garantir la stabilité pratique d’un système asservi, en assurant une tolérance suffisante face aux incertitudes et perturbations. Leur analyse via le diagramme de Bode permet de vérifier rapidement si le système dispose d’un « coussin » de stabilité.

📖 5. Marge de phase

🔑 Notions clés & Définitions

• Marge de phase (Mφ) : La différence en degrés entre la phase réelle du système à la fréquence où le gain en boucle ouverte est égal à 1 (0 dB) et la phase critique de -180°. Elle indique la tolérance en phase avant que le système ne devienne instable.
• Critère du revers : Méthode pratique pour évaluer la stabilité en utilisant les marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode.
• Diagramme de Bode : Représentation graphique du module et de la phase d’une fonction de transfert en fonction de la fréquence logarithmique.
• Point critique : Fréquence où le gain en boucle ouverte est égal à 1 (0 dB).
• Phase critique : Phase à la fréquence où le gain en boucle ouverte est égal à 1, généralement -180°.
• Stabilité : Condition où tous les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle négative, assurant un comportement non oscillatoire ou amorti.

📝 Points essentiels

• La marge de phase est une mesure de la distance en phase entre la point critique (-180°) et la phase réelle du système à la fréquence de gain unitaire.
• Une marge de phase positive (ex : > 0°) indique un système stable avec une certaine tolérance.
• La stabilité pratique nécessite une marge de phase suffisante (souvent ≥ 45°) pour éviter la proximité à l’instabilité.
• Sur le diagramme de Bode, la marge de phase se lit à la fréquence où le gain est de 0 dB : la différence entre la phase à cette fréquence et -180°.
• La marge de phase est essentielle pour évaluer la robustesse du système face aux variations de paramètres.

💡 À retenir

La marge de phase mesure la distance en phase entre la phase réelle du système à la fréquence critique et le seuil d’instabilité, permettant d’évaluer la robustesse de la stabilité. Une marge de phase positive assure une stabilité avec une tolérance aux perturbations.

📖 6. Diagrammes de Bode

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de Bode : Représentation graphique en amplitude (en dB) et en phase (en degrés) de la fonction de transfert d’un système en fonction de la fréquence (ω en rad/s).
• Marge de gain (MG) : Différence en dB entre le gain à la fréquence de phase -180° et le point où la phase est -180°, indiquant la tolérance de stabilité en gain.
• Marge de phase (Mφ) : Différence en degrés entre la phase réelle à la fréquence de gain unitaire (module = 1) et -180°, indiquant la tolérance de stabilité en phase.
• Critère de stabilité (critère du revers) : Un système est stable si, sur le diagramme de Bode, la marge de gain est positive et la marge de phase est positive, c’est-à-dire que le diagramme de Bode ne croise pas le point critique (-180° et 0 dB) simultanément.
• Polynôme caractéristique : Polynôme dont les racines déterminent la stabilité du système ; racines à partie réelle négative = système stable.

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système asservi se vérifie via le diagramme de Bode en analysant la marge de gain et la marge de phase.
• La marge de gain MG est positive si le diagramme de Bode ne croise pas le -180° en dessous de 0 dB, assurant une stabilité robuste.
• La marge de phase Mφ doit être positive pour garantir une stabilité en présence de perturbations ou variations de paramètres.
• La méthode consiste à tracer les diagrammes de Bode, puis à lire les marges en identifiant le point où la phase atteint -180° (pour MG) et le gain unitaire (pour Mφ).
• La stabilité est assurée si MG > 0 et Mφ > 0.

💡 À retenir

Les diagrammes de Bode permettent d’évaluer la stabilité d’un système en vérifiant que les marges de gain et de phase restent positives, garantissant une stabilité robuste face aux variations.

📖 7. Fonction de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert (H(p)) : Représentation mathématique d’un système linéaire et invariant dans le temps, exprimant la relation entre la sortie et l’entrée en domaine de Laplace. Elle est généralement sous la forme d’un rapport de deux polynômes en p :
  $H(p) = \frac{Y(p)}{X(p)}$
• Polynôme caractéristique : Polynôme du dénominateur de la fonction de transfert, dont les racines (pôles) déterminent la stabilité du système.
  $\Delta(p) = b_0 + b_1 p + \dots + b_m p^m$
• Stabilité d’un système : Condition où tous les pôles de la fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative, assurant une réponse sans oscillations infinies.
• Marge de gain (MG) : Distance en dB entre la fréquence de gain unitaire et la fréquence où la phase est -180°, indiquant la robustesse du système face aux variations de gain.
• Marge de phase (Mφ) : Différence en degrés entre la phase réelle du système à la fréquence de gain unitaire et -180°, mesurant la tolérance aux déphasages.

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert permet d’étudier la réponse dynamique d’un système en domaine complexe, facilitant l’analyse de stabilité et de performance.
• La stabilité se détermine via le polynôme caractéristique : si toutes ses racines ont une partie réelle négative, le système est stable.
• La méthode pratique pour évaluer la stabilité consiste à analyser la diagramme de Bode de la fonction de transfert en utilisant les marges de gain et de phase :
  • La marge de gain indique la tolérance en gain avant que le système devienne instable.
  • La marge de phase indique la tolérance en phase avant que le système ne devienne instable.
• La stabilité d’un système asservi dépend de la position des pôles et de la configuration du diagramme de Bode.

💡 À retenir

La fonction de transfert est un outil clé pour analyser la stabilité et la performance d’un système linéaire ; sa stabilité repose sur la position des pôles et la configuration des marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode.

📖 8. Polynôme caractéristique

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme caractéristique : Polygone de degré n associé à un système linéaire, dont les racines (pôles) déterminent la stabilité du système. Il s’écrit généralement sous la forme :
  $\Delta(p) = b_0 + b_1 p + b_2 p^2 + \dots + b_m p^m$
• Stabilité d’un système : Un système est stable si tous ses pôles (racines du polynôme caractéristique) ont une partie réelle strictement négative.
• Critère de stabilité : Vérification que toutes les racines du polynôme caractéristique ont un réel négatif, souvent via le critère de Routh-Hurwitz ou l’analyse du diagramme de Bode.
• Marge de gain et marge de phase : Marges de sécurité en fréquence pour assurer la stabilité pratique d’un système, liées à la position des pôles et à la réponse en fréquence.

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit :
  $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{D(p)}{1 + D(p) R(p)}$ où le dénominateur $1 + D(p) R(p)$ est le polynôme caractéristique.
• La stabilité dépend des racines du polynôme caractéristique : si toutes ont une partie réelle négative, le système est stable.
• La stabilité pratique s’évalue via les marges de gain et de phase sur le diagramme de Bode, en vérifiant la distance au point critique $z = -1$ (module 1, phase -180°).
• La méthode de Routh-Hurwitz permet de déterminer la stabilité sans calculer explicitement les racines.

💡 À retenir

Le polynôme caractéristique, dont la stabilité dépend des racines, est la clé pour analyser la stabilité d’un système. La vérification de la position de ses racines via des critères comme Routh-Hurwitz ou l’analyse en fréquence permet d’assurer la stabilité en pratique, en tenant compte des marges de sécurité.

📊 Tableaux de Synthèse

Critère / Concept	Définition / Formule / Caractéristique	Condition de stabilité
Stabilité d’un système	Capacité à revenir à l’équilibre après perturbation, sans oscillation ou divergence	Pôles dans le demi-plan gauche (réel < 0)
Fonction de transfert	$H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$	Expression en Laplace, dépend des pôles et zéro
Polynôme caractéristique	Dénominateur de $H(p)$, racines = pôles	Racines dans le demi-plan gauche (réel < 0)
Critère théorique	Tous les pôles ont partie réelle négative	Vérification analytique ou graphique
Critère pratique (marges)	Marges de gain (MG) et phase (Mφ) sur Bode	MG > 10 dB, Mφ > 45°
Marge de gain	Différence en dB entre le gain actuel et critique à phase -180°	MG positif, typiquement ≥ 10 dB
Marge de phase	Différence en degrés entre phase à gain unitaire et -180°	Mφ positif, typiquement ≥ 45°
Diagramme de Bode	Graphique module et phase en fonction de fréquence	Utilisé pour déterminer marges
Fonction de transfert (bouclée)	$H(p) = \frac{D(p)}{1 + D(p) R(p)}$	Polygone caractéristique $1 + D(p) R(p)$ doit avoir racines stables
Polynôme caractéristique	$\Delta(p) = 1 + D(p) R(p)$	Racines dans le demi-plan gauche

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre stabilité théorique (pôles dans le demi-plan gauche) et stabilité pratique (marges positives).
2. Négliger l’impact des marges de gain et phase sur la robustesse du système.
3. Croire qu’un système avec des pôles dans le plan droit est stable — c’est une erreur fondamentale.
4. Confondre la fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée.
5. Oublier que la marge de gain positive ne garantit pas une stabilité absolue si la marge de phase est faible.
6. Ignorer la différence entre stabilité locale (analyse analytique) et stabilité pratique (diagrammes de Bode).
7. Utiliser la seule position des pôles pour juger de la stabilité, sans considérer les marges.

✅ Checklist Examen

• Vérifier que tous les pôles du polynôme caractéristique ont une partie réelle négative.
• Savoir écrire la fonction de transfert d’un système en boucle fermée.
• Connaître la formule et l’interprétation de la marge de gain.
• Connaître la formule et l’interprétation de la marge de phase.
• Savoir lire un diagramme de Bode pour déterminer les marges.
• Comprendre la différence entre stabilité théorique et pratique.
• Savoir utiliser le critère du revers pour évaluer la stabilité.
• Être capable d’identifier les pôles à partir de la fonction de transfert.
• Vérifier que le critère de stabilité est respecté en utilisant le critère de Routh-Hurwitz si nécessaire.
• Savoir comment ajuster un système pour améliorer ses marges.
• Connaître la relation entre la position des pôles et la réponse temporelle.
• Vérifier que la marge de gain est supérieure à 10 dB.