Тест: Analyse des racines du second degré — 12 въпроса

1. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

A. a(x-x1)(x-x2)

B. a(x-α)^2+β

C. (x-α)(x-β)

D. ax^2+bx+c

Answer: (B)

Обяснение

La forme canonique d’un polynôme du second degré s’écrit bien sous la forme a(x-α)^2+β avec α et β réels. Les autres écritures correspondent à la forme développée ou factorisée.

2. Dans la forme canonique de f(x)=ax^2+bx+c, à quoi est égal α ?

A. b^2-4ac

B. -Δ/(4a)

C. -b/(2a)

D. c/a

Answer: (C)

Обяснение

En complétant le carré, on obtient α=-b/(2a). La quantité -Δ/(4a) correspond plutôt à β.

3. Quel est le discriminant d’une équation du second degré ax^2+bx+c=0 ?

A. 4ac-b^2

B. b^2-4ac

C. (b-2a)^2-c

D. b^2+4ac

Answer: (B)

Обяснение

Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet de déterminer le nombre de solutions réelles.

4. Que peut-on conclure si le discriminant d’une équation du second degré est nul ?

A. L’équation n’admet aucune solution réelle

B. L’équation admet deux solutions réelles distinctes

C. L’équation admet une seule solution réelle

D. L’équation n’est pas du second degré

Answer: (C)

Обяснение

Si Δ=0, l’équation admet une solution unique, donnée par x0=-b/(2a). Les deux solutions distinctes apparaissent seulement quand Δ>0.

5. Quelle factorisation réelle correspond au cas où le discriminant est strictement positif ?

A. a(x-x0)^2

B. a(x-x1)(x-x2)

C. (x-x1)^2

D. a(x^2+x1x2)

Answer: (B)

Обяснение

Quand Δ>0, le polynôme se factorise en a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes. Le carré a lieu uniquement quand Δ=0.

6. Que devient un polynôme du second degré lorsque son discriminant est nul ?

A. Il s’écrit sous la forme a(x-x1)(x-x2) avec x1≠x2

B. Il admet deux racines réelles distinctes

C. Il s’écrit sous la forme a(x-x0)^2

D. Il ne peut pas être factorisé

Answer: (C)

Обяснение

Si Δ=0, les deux racines coïncident et le polynôme s’écrit a(x-x0)^2. Ce n’est donc pas un produit de deux facteurs distincts.

7. Qu’est-ce qu’une racine d’un polynôme du second degré ?

A. Un réel qui annule le polynôme

B. Le coefficient du terme en x

C. Le sommet de la parabole

D. Le discriminant de l’équation

Answer: (A)

Обяснение

Une racine est un réel x1 tel que f(x1)=0. C’est donc exactement une valeur qui annule le polynôme.

8. Combien de racines réelles un polynôme du second degré peut-il admettre au plus ?

A. Une seule

B. Deux

C. Trois

D. Une infinité

Answer: (B)

Обяснение

Un polynôme du second degré peut avoir au plus deux racines réelles. C’est une propriété fondamentale liée à son degré.

9. Si x1 est une racine d’un polynôme f, quel facteur lui correspond ?

A. x+x1

B. x-x1

C. a-x1

D. x1x

Answer: (B)

Обяснение

Si x1 annule f, alors le facteur associé est x-x1. C’est le lien direct entre racine et factorisation.

10. Si f(x)=a(x-x1)(x-x2), quelle est la somme des racines ?

A. -b/a

B. c/a

C. -c/a

D. b/a

Answer: (A)

Обяснение

Pour un polynôme ax^2+bx+c, la somme des racines vaut -b/a. Le produit, lui, vaut c/a.

11. Pour un polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c ayant deux racines réelles x1 et x2, quelle est la somme de ces racines ?

A. x1 + x2 = c/a

B. x1 + x2 = b/a

C. x1 + x2 = -c/a

D. x1 + x2 = -b/a

Answer: (D)

Обяснение

La somme des racines d’un trinôme ax²+bx+c vaut bien -b/a. Le quotient c/a correspond au produit des racines, pas à leur somme.

12. Si f(x)=ax²+bx+c possède deux racines réelles x1 et x2, que vaut leur produit ?

A. x1x2 = -c/a

B. x1x2 = c/a

C. x1x2 = b/a

D. x1x2 = -b/a

Answer: (B)

Обяснение

Le produit des racines d’un polynôme du second degré est égal à c/a. La somme, elle, est donnée par -b/a.