Analyse des racines du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique du second degré
2. Discriminant et résolution
3. Factorisation selon le discriminant
4. Racines d’un polynôme du second degré
5. Factorisation et racines
6. Somme et produit des racines

📖 1. Forme canonique du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta$ associé à $f(x)=ax^2+bx+c$ vaut $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Tout polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ s’écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour des réels $\alpha,\beta$.
• En complétant le carré, on obtient $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$.
• Après calcul, $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$ donne directement la forme canonique.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré : $-\dfrac{b}{2a}$ se glisse au centre du carré, et $-\dfrac{\Delta}{4a}$ est le “décalage” final.

📖 2. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant Δ : Le discriminant d’une équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$) est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Solution unique : Une équation du second degré admet une solution unique lorsque son discriminant vaut $\Delta=0$.

📝 Points essentiels