Тест: Fonction exponentielle : définitions et propriétés — 13 въпроса

1. Quelle est la caractérisation de la fonction exponentielle ?

A. C’est toute fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'(x)=x et f(0)=1

B. C’est la fonction dérivable sur ℝ qui s’annule en 0 et dont la dérivée vaut 0

C. C’est l’unique fonction continue sur ℝ dont la dérivée est constante égale à 1

D. C’est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit égale à elle-même et que sa valeur en 0 soit 1

Answer: (D)

Обяснение

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'=f et exp(0)=1. Les autres propositions confondent cette définition avec celle d’une fonction affine ou avec une condition erronée sur la dérivée.

2. Que peut-on conclure d’une fonction dérivable f sur ℝ vérifiant f'=f et f(0)=1 ?

A. Elle est nécessairement périodique

B. Elle est forcément strictement décroissante

C. Elle peut s’annuler en certains points de ℝ

D. Elle ne s’annule jamais sur ℝ

Answer: (D)

Обяснение

Le cours indique que toute fonction vérifiant f'=f et f(0)=1 ne s’annule jamais sur ℝ. Cela exclut l’existence de zéros et rend fausses les autres affirmations.

3. Quelle relation est une conséquence directe de la définition de la fonction exponentielle ?

A. exp'(x)=x·exp(x) pour tout réel x

B. exp'(x)=exp(x) pour tout réel x

C. exp(x) est toujours négative

D. exp(0)=0 pour tout réel x

Answer: (B)

Обяснение

La dérivée de l’exponentielle coïncide avec la fonction elle-même sur tout ℝ. En revanche, le facteur x n’apparaît pas dans cette dérivée, et exp(0)=1.

4. Quelle propriété vaut pour tout réel x concernant la valeur de l’exponentielle ?

A. exp(x) est toujours inférieure ou égale à 1

B. exp(x) est égale à x pour tout x

C. exp(x) peut être nulle pour certains x

D. exp(x) est strictement positive

Answer: (D)

Обяснение

Le cours précise que exp(x) ne s’annule jamais et qu’elle est toujours strictement positive. Cela exclut la nullité et les bornes fixes proposées dans les autres réponses.

5. Si g(x)=exp(ax+b) avec a et b réels, quelle est sa dérivée ?

A. g'(x)=(a+b)×exp(ax+b)

B. g'(x)=exp(ax+b)

C. g'(x)=b×exp(ax+b)

D. g'(x)=a×exp(ax+b)

Answer: (D)

Обяснение

Pour une exponentielle d’argument affine, la dérivée conserve l’exponentielle et multiplie par le coefficient directeur a. Le terme b ne devient pas un facteur multiplicatif.

6. Quelle est la dérivée de g(x)=exp(2x+5) ?

A. (2x+5)×exp(2x+5)

B. exp(2x+5)

C. 2×exp(2x+5)

D. 5×exp(2x+5)

Answer: (C)

Обяснение

En appliquant la règle de dérivation de exp(ax+b), on obtient g'(x)=a×exp(ax+b), donc ici 2×exp(2x+5). Le 5 joue seulement le rôle de constante dans l’argument.

7. Quelle propriété relie exp(x+y) aux exponentielles séparées ?

A. exp(x+y)=exp(x−y)

B. exp(x+y)=exp(x)/exp(y)

C. exp(x+y)=exp(x)×exp(y)

D. exp(x+y)=exp(x)+exp(y)

Answer: (C)

Обяснение

L’exponentielle transforme une somme en produit : exp(x+y)=exp(x)exp(y). Les autres propositions confondent cette propriété avec l’addition, la division ou la différence.

8. Quelle égalité est correcte pour tout réel x et tout entier relatif n ?

A. exp(nx)=exp(x^n)

B. exp(nx)=[exp(x)]^n

C. exp(nx)=n×exp(x)

D. exp(nx)=exp(x)+n

Answer: (B)

Обяснение

Le cours donne la règle exp(nx)=[exp(x)]^n pour tout entier relatif n. Il ne s’agit ni d’une addition, ni d’une multiplication par n, ni d’une puissance portant sur x.

9. Comment définit-on le nombre e ?

A. Comme exp(0)

B. Comme la dérivée de exp en 0

C. Comme l’inverse de exp(1)

D. Comme exp(1)

Answer: (D)

Обяснение

Le nombre e est défini par e=exp(1). Le cours rappelle aussi qu’il est approximativement égal à 2,72.

10. Quel est le sens de variation de la fonction exponentielle sur ℝ ?

A. Elle est constante

B. Elle est strictement croissante

C. Elle est strictement décroissante

D. Elle croît seulement sur les positifs

Answer: (B)

Обяснение

Comme sa dérivée vaut e^x et que e^x>0 pour tout réel x, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Les autres propositions contredisent ce signe de la dérivée.

11. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe y=e^x au point d’abscisse 0 ?

A. y=x+1

B. y=e x

C. y=x

D. y=1

Answer: (A)

Обяснение

Au point A(0;1), on a e^0=1 et la pente vaut e^0=1, donc la tangente a pour équation y=x+1. L’équation y=1 ne serait qu’une droite horizontale.

12. Dans la dérivation d’un produit uv, quelle formule faut-il utiliser ?

A. (uv)'=u+v

B. (uv)'=u'v+uv'

C. (uv)'=u'v-uv'

D. (uv)'=u'v'

Answer: (B)

Обяснение

La dérivée d’un produit est donnée par la règle (uv)'=u'v+uv'. C’est la formule utilisée dans les exercices d’application du cours.

13. Pour étudier le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle, que faut-il regarder ?

A. Le signe de la fonction elle-même uniquement

B. Le signe de sa dérivée sur l’intervalle

C. La limite de la fonction en l’infini

D. Sa valeur en un seul point de l’intervalle

Answer: (B)

Обяснение

Le cours rappelle que le sens de variation se déduit du signe de la dérivée sur l’intervalle étudié. La valeur en un point ou la seule limite à l’infini ne suffit pas.