Fonction exponentielle : définitions et propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Premières conséquences
3. Dérivée de exp(ax+b
4. Propriétés de l'exponentielle
5. Notation e et puissances
6. Variation et tangente
7. Exercices d'application

📖 1. Définition de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction exponentielle exp : La fonction exponentielle exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit égale à elle-même et que exp(0)=1.
• condition f' = f : La condition f' = f impose que la pente de la fonction soit toujours proportionnelle à sa valeur, ce qui caractérise exp avec une condition initiale.

📝 Points essentiels

• Il existe une unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0)=1, et cette fonction est notée exp.
• Si f est dérivable sur ℝ, vérifie f' = f et f(0)=1, alors f ne s’annule jamais sur ℝ.

📖 2. Premières conséquences

🔑 Notions clés & Définitions

• exp'(x) = exp(x) : La dérivée de la fonction exponentielle coïncide avec la fonction elle-même sur tout ℝ.
• exp(0) = 1 : La fonction exponentielle vaut 1 au point 0, ce qui sert de valeur de référence.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel x, exp(x) est défini et exp(0)=1.
• Pour tout réel x, exp'(x)=exp(x).
• Pour tout réel x, exp(x) ≠ 0.
• Pour tout réel x, exp(-x)=1/exp(x).

📖 3. Dérivée de exp(ax+b

🔑 Notions clés & Définitions