Тест: Fonction exponentielle et ses propriétés — 12 въпроса

1. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle ?

A. La seule fonction continue sur ℝ telle que f(x+y)=f(x)+f(y)

B. Une fonction polynôme qui s’annule en 0 et en 1

C. La seule fonction dérivable sur ℝ telle que f’ = f et f(0) = 1

D. La fonction dérivée est constante et vaut 1 en tout point

Answer: (C)

Обяснение

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f’ = f et f(0)=1. Les autres propositions décrivent des propriétés qui ne correspondent pas à cette définition.

2. Quelle relation vérifie la fonction exponentielle pour tout réel x ?

A. exp’(x) = 0

B. exp’(x) = x·exp(x)

C. exp’(x) = exp(x) + 1

D. exp’(x) = exp(x)

Answer: (D)

Обяснение

La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même en tout réel. C’est une propriété centrale de sa définition et de ses variations.

3. Quelle identité algébrique est vraie pour tous réels x et y ?

A. exp(x−y) = exp(y)/exp(x)

B. exp(xy) = exp(x)+exp(y)

C. exp(x+y) = exp(x)+exp(y)

D. exp(x+y) = exp(x)·exp(y)

Answer: (D)

Обяснение

L’exponentielle transforme une somme en produit : exp(x+y)=exp(x)·exp(y). Le quotient concerne exp(x−y), pas exp(y−x).

4. Comment peut-on écrire exp(−x) pour tout réel x ?

A. 1/exp(x)

B. exp(x^2)

C. exp(x)

D. −exp(x)

Answer: (A)

Обяснение

On a exp(−x)=1/exp(x) pour tout réel x. Cela découle aussi du fait que exp(x) n’est jamais nul.

5. Comment est défini le nombre e ?

A. e = exp(−1)

B. e = exp(1)

C. e = exp(0)

D. e = 1/exp(1)

Answer: (B)

Обяснение

Le nombre e est l’image de 1 par la fonction exponentielle : e=exp(1). On a donc aussi exp(1)=e, avec e≈2,718.

6. Que désigne la notation e^x pour tout réel x ?

A. Le carré de e multiplié par x

B. L’écriture de exp(x+1)

C. L’écriture de exp(x)

D. La valeur de exp(1) élevée à x seulement si x est entier

Answer: (C)

Обяснение

Par convention, e^x est simplement une autre écriture de exp(x). Cette notation permet d’utiliser les mêmes règles de calcul pour les exponentielles.

7. La suite définie par u_n = e^(na) est de quel type ?

A. Une suite géométrique de raison a

B. Une suite géométrique de raison e^a

C. Une suite constante de raison 1

D. Une suite arithmétique de raison a

Answer: (B)

Обяснение

Pour tout réel a, la suite (e^(na)) est géométrique et sa raison est e^a. Le rapport entre deux termes consécutifs est donc constant.

8. Quel est le rapport entre deux termes consécutifs de la suite e^(na) ?

A. e^(n+a)

B. a^e

C. e^a

D. e^(a−n)

Answer: (C)

Обяснение

Dans la suite (e^(na)), on passe de e^(na) à e^((n+1)a) en multipliant par e^a. C’est précisément la raison de la suite géométrique.

9. Quel est le signe de e^x pour tout réel x ?

A. Strictement négatif

B. Positif seulement si x est positif

C. Strictement positif

D. Nul pour au moins une valeur de x

Answer: (C)

Обяснение

La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, donc e^x>0 pour tout réel x. Elle ne s’annule jamais.

10. Quelle affirmation décrit correctement la courbe de y = e^x ?

A. Elle passe par les points (0;1) et (1;e)

B. Elle est décroissante sur ℝ

C. Elle coupe l’axe des abscisses

D. Elle passe par les points (0;0) et (1;1)

Answer: (A)

Обяснение

Comme e^0=1 et e^1=e, la courbe passe par (0;1) et (1;e). De plus, elle ne coupe pas l’axe des abscisses car e^x est toujours strictement positif.

11. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=e^(ax+b) lorsque a et b sont des réels ?

A. (ax+b)·e^(ax+b)

B. a·(ax+b)·e^(ax+b)

C. a·e^(ax+b)

D. e^(ax+b)

Answer: (C)

Обяснение

On dérive une exponentielle composée en conservant l’expression exponentielle et en multipliant par la dérivée de l’exposant, ici a. Les autres propositions oublient le facteur de la dérivée intérieure ou ajoutent un facteur incorrect.

12. Si f(x)=e^(3x-2), quelle est l’expression de f’(x) ?

A. 3x·e^(3x-2)

B. e^(3x-2)

C. 3·e^(3x-2)

D. (3x-2)·e^(3x-2)

Answer: (C)

Обяснение

Ici, l’exposant est 3x−2, dont la dérivée vaut 3, donc f’(x)=3·e^(3x-2). La réponse e^(3x-2) oublie le facteur 3 issu de la dérivation de l’exposant.