Тест: Fonctions exponentielles et croissance — 10 въпроса

1. Que désigne la racine n-ième positive de c ?

A. Le nombre négatif x tel que x^n=c

B. Le nombre positif x tel que x^n=c

C. Le nombre x tel que x+c=n

D. Le quotient c/n

Answer: (B)

Обяснение

Par définition, la racine n-ième de c est le nombre positif x vérifiant x^n=c. Cette solution positive est unique lorsque c>0 et n≥1.

2. Quelle formule donne le taux d’évolution moyen par période à partir du taux global sur n périodes ?

A. t_moyen=(1+t_global)-1

B. t_moyen=(1+t_global)×n-1

C. t_moyen=t_global^n-1

D. t_moyen=(1+t_global)^{1/n}-1

Answer: (D)

Обяснение

Le taux moyen est le taux appliqué à chaque période pour retrouver le même coefficient global, d’où la formule t_moyen=(1+t_global)^{1/n}-1. Les autres propositions ne rétablissent pas correctement l’effet cumulé.

3. Quel est l’effet d’un facteur k positif sur le sens de variation de x↦k×a^x ?

A. Il rend la fonction constante

B. Il ne change pas le sens de variation

C. Il transforme toujours la fonction en fonction décroissante

D. Il inverse le sens de variation

Answer: (B)

Обяснение

Multiplier par un réel positif k conserve le sens de variation de la fonction. L’inversion du sens se produirait avec un facteur négatif, ce qui n’est pas le cas ici.

4. Que représente la fonction f(x)=k×a^x quand on la considère sur tous les réels ?

A. Une fonction forcément décroissante

B. Le prolongement de la suite u(n)=k×a^n

C. Le quotient de deux suites géométriques

D. Une fonction définie seulement pour les entiers

Answer: (B)

Обяснение

La fonction k×a^x prolonge la suite géométrique u(n)=k×a^n en la définissant pour tout réel x. Elle n’est pas forcément décroissante, car son sens de variation dépend de a et de k.

5. Quelle notation est équivalente à la racine n-ième de c ?

A. n/c

B. 1/c^n

C. c^{1/n}

D. c^n

Answer: (C)

Обяснение

La racine n-ième se note c^{1/n} ou encore √[n]{c}. Les autres écritures ne représentent pas cette notion.

6. Quelle égalité traduit la règle du produit de puissances de même base ?

A. (a^x)^y=a^{x+y}

B. a^x/a^y=a^{xy}

C. a^x×a^y=a^{x+y}

D. a^x+a^y=a^{xy}

Answer: (C)

Обяснение

Quand on multiplie deux puissances de même base, on additionne les exposants : a^x×a^y=a^{x+y}. La division, elle, conduit à une différence d’exposants.

7. Combien vaut l’expression (3^{2,5})^2 ?

A. 3^1,25

B. 3^4,5

C. 6^2,5

D. 3^5

Answer: (D)

Обяснение

La règle de la puissance d’une puissance donne (a^x)^y=a^{xy}, donc (3^{2,5})^2=3^{5}. La proposition 3^4,5 correspondrait à une addition d’exposants, ce qui est गलत.

8. Si une quantité augmente de 20 % en 10 ans, quel est son taux moyen annuel approximatif ?

A. 20 % par an

B. 2,00 % par an

C. 0,20 % par an

D. 1,84 % par an

Answer: (D)

Обяснение

On applique t_moyen=(1+0,2)^{1/10}-1, ce qui donne environ 0,0184, soit 1,84 % par an. Le 20 % correspond au taux global sur 10 ans, pas au taux annuel moyen.

9. Dans quel cas la fonction f(x)=a^x est-elle décroissante sur [0 ; +∞[ ?

A. Quand a=1 uniquement

B. Quand 0<a<1

C. Quand a>1

D. Quand a<0

Answer: (B)

Обяснение

Si 0<a<1, les valeurs de a^x diminuent quand x augmente, donc la fonction est décroissante. Si a>1, elle est au contraire croissante.

10. Quelle est la forme générale d’une fonction exponentielle de base a ?

A. f(x)=a·x avec a réel quelconque

B. f(x)=a+x avec a strictement positif

C. f(x)=a^x avec a strictement positif

D. f(x)=x^a avec a strictement positif

Answer: (C)

Обяснение

Une fonction exponentielle de base a s’écrit f(x)=a^x avec a>0. Les autres écritures correspondent à une puissance variable, à une fonction affine ou à une simple somme.