Fondamentaux de la Continuité et Limites

📋 Plan du Cours

1. Notion de continuité
2. Limite en un point
3. Continuité en a
4. Propriétés des fonctions continues
5. Théorème des valeurs intermédiaires
6. Applications du TVI
7. Monotonie et valeurs intermédiaires
8. Algorithmes de recherche de racines
9. Algorithme de balayage
10. Algorithme de dichotomie

📖 1. Notion de continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité intuitive : La fonction f est continue sur un intervalle I si sa courbe représentative peut être tracée en un seul morceau, sans sauts ni trous, ce qui signifie qu'il n'y a pas de discontinuités visibles sur la courbe (source : chapitre 6, section I.1).
• Continuité en un point a (définition intuitive) : La fonction f est continue en a si, pour tout point M de la courbe Cf d’abscisse x, lorsque x approche a, le point M se rapproche du point A de la courbe Cf d’abscisse a, c’est-à-dire que la courbe ne présente pas de saut à ce point.
• Définition formelle de la continuité en a : La fonction f est continue en a si et seulement si la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a), soit :
  $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
  (source : chapitre 6, section I.1).
• Proximité des points M et A : Sur la courbe, la notion de proximité entre deux points M (d’abscisse x) et A (d’abscisse a) se traduit par la distance entre leurs coordonnées qui devient arbitrairement petite lorsque x approche a. La continuité implique que le point M se rapproche du point A…