Лист за преговор: Fondamentaux de l'Algèbre Linéaire

📋 Plan du Cours

1. Bases, familles libres et génératrices dans les espaces vectoriels
2. Somme directe et théorème de la dimension pour les sous-espaces vectoriels
3. Applications linéaires : définition, noyau, image et endomorphismes
4. Théorème de la dimension pour les applications linéaires
5. Calcul matriciel et formules de changement de base
6. Propriétés des déterminants et notations indicielles en physique
7. Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation des matrices
8. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton et décomposition de Jordan
9. Itération des matrices et systèmes différentiels linéaires
10. Espaces vectoriels euclidiens : produit scalaire, orthonormalisation et projections orthogonales
11. Matrices symétriques, matrices orthogonales et applications géométriques
12. Tracé de coniques et quadriques sous Matlab

📖 1. Bases, familles libres et génératrices dans les espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Structure algébrique formée d'un ensemble muni d'une addition vectorielle associative, commutative, possédant un élément neutre et des inverses, ainsi que d'une multiplication par un scalaire issue d'un corps K, satisfaisant les axiomes de compatibilité entre ces opérations.
• Famille génératrice : On a alors p = λ(x − + μx(x − 2)

📝 Points essentiels

• Une famille est libre si toute combinaison linéaire nulle implique que tous les coefficients sont nuls.
• Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire de cette famille.
• Une base est une famille à la fois libre et génératrice.
• Toute famille génératrice a une cardinalité au moins égale à la dimension de l'espace vectoriel.
• 2 On dit qu’une partie non vide F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si on a les deux propriétés suivantes (i) x + y ∈ F ∀x ∈ F, ∀y ∈ F.
• Une vérification immédiate montre que φ : K p → E est línéaire, et par conséquent F B = Im(φ) est un sous-espace vectoriel de E.

💡 À retenir

Comprendre la structure fondamentale des espaces vectoriels à travers les notions exclusives de base, familles libres et génératrices, qui permettent de caractériser complètement la dimension et la construction des espaces.

📖 2. Somme directe et théorème de la dimension pour les sous-espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme directe : Comme un polynôme non nul de degé inférieur ou égal à 2 possède au plus deux racines distinctes, on a p = 0 et E ∩ F
• Pour la somme de deux : Pour la somme de deux sous-espaces vectoriels, la dimension s'exprime par la formule du théorème de la dimension, et la somme est directe si leur intersection est réduite au vecteur nul.

📝 Points essentiels

• La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est l'ensemble des sommes x + y avec x ∈ F et y ∈ G.
• Alors E et F sont deux sous-espaces vectoriels de R 2 [x], et R 2 [x] = E ⊕ F.
• Si on a dim F = dim E, alors E = F.

💡 À retenir

Maîtriser la décomposition des espaces vectoriels en sous-espaces via la somme directe et l'impact précis sur la dimension, permettant une analyse fine des structures vectorielles.

📖 3. Applications linéaires : définition, noyau, image et endomorphismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Appelée projection de E sur F parallèlement à G , et on a P ◦ P = P.
• Applications linéaires : Récurrence immédiate montre que l’on a alors la propriété suivante (1.
• Espaces vectoriels : Ensembles munis d'une addition de vecteurs et d'une multiplication par un scalaire, vérifiant des axiomes spécifiques.

📝 Points essentiels

• Une application u : E → F est linéaire si elle respecte l'addition et la multiplication scalaire.
• Le noyau Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E constitué des vecteurs envoyés sur zéro.
• L'image Im(u) est un sous-espace vectoriel de F constitué des images des vecteurs de E.
• Un endomorphisme est une application linéaire de E dans lui-même.
• Il est clair que u est une application linéaire de R 3 dans R.
• Une application linéaire u : E → E est appellée un endomorphisme de E.

💡 À retenir

Une application u : E → F est linéaire si elle respecte l'addition et la multiplication scalaire.

📖 4. Théorème de la dimension pour les applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de la dimension pour : Énoncé fondamental qui établit que pour une application linéaire entre espaces vectoriels, la somme de la dimension du noyau et de la dimension de l'image est égale à la dimension de l'espace de départ, à condition que cet espace soit de dimension finie.

📝 Points essentiels

• Pour une application linéaire u : E → F avec E de dimension finie, dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E).
• Le théorème s'applique même si Ker(u) est ni nul ni égal à E.
• Donc F est de dimension finie, et dim(F ) = p ≤ n = dim(E).
• Il n’est pas de dimension finie.

💡 À retenir

La relation entre la dimension du noyau, de l'image et de l'espace initial permet de quantifier la perte ou la conservation d'information dans une application linéaire.

📖 5. Calcul matriciel et formules de changement de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul matriciel : L'ensemble des opérations algébriques sur les matrices, telles que l'addition, la multiplication, et l'inversion, utilisées pour représenter et manipuler les applications linéaires dans des bases données.
• Matrice associée à une application linéaire : La représentation matricielle d'une application linéaire obtenue en choisissant une base de départ et une base d'arrivée, permettant de décrire l'application par une matrice dont les coefficients dépendent de ces bases.
• Changement de base pour : Le processus qui permet de passer des coordonnées d'un vecteur exprimées dans une base donnée à celles dans une autre base, en multipliant par une matrice de passage spécifique.
• Formule de changement de base : L'expression mathématique qui relie les coordonnées ou la matrice d'une application linéaire dans une base à celles dans une autre base, en utilisant les matrices de passage correspondantes.

📝 Points essentiels

• Le calcul matriciel est l'outil principal pour manipuler les applications linéaires dans des bases données.
• La matrice associée à une application linéaire dépend du choix des bases de départ et d'arrivée.
• La formule de changement de base pour les coordonnées permet de passer d'une base à une autre via une matrice de passage.
• La formule de changement de base pour les applications linéaires exprime la matrice dans une nouvelle base en fonction de la matrice dans l'ancienne base et des matrices de passage.
• 3 Formule de changement de base pour les coordonnées de vecteurs 25 2.
• Si dim(F ) = dim(E), soit B une base de F.

💡 À retenir

Le calcul matriciel est l'outil principal pour manipuler les applications linéaires dans des bases données.

📖 6. Propriétés des déterminants et notations indicielles en physique

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrices carrées inversibles : Une matrice carrée dont le déterminant est non nul, ce qui assure l'existence d'une matrice inverse permettant de résoudre des systèmes linéaires associés.
• Méthode du pivot de Gauss : Une technique d'algèbre linéaire utilisant des opérations élémentaires sur les lignes pour simplifier une matrice, facilitant le calcul de son rang et de son déterminant.
• Notations indicielles de la Physique : Un système de notation employé en physique qui applique la convention de sommation sur les indices répétés pour simplifier l'expression et la manipulation des tenseurs.

📝 Points essentiels

• Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
• Les formules de Cramer permettent de résoudre un système linéaire via les déterminants.
• La méthode du pivot de Gauss est une technique pour calculer le rang et le déterminant d'une matrice.
• Les notations indicielles en physique utilisent la convention de sommation sur indices répétés pour simplifier les expressions tensoriales.

💡 À retenir

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

📖 7. Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation des matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire λ est une valeur propre d'une matrice A s'il existe un vecteur non nul v tel que la multiplication de A par v donne λ fois v, c'est-à-dire Av = λv.
• Dimension finie : Vectoriel E +
• Existe une famille : Si p < n, alors il existe une famille (ep+1 , .

📝 Points essentiels

• Le vecteur propre associé est un vecteur non nul satisfaisant Av = λv.
• Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
• La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre est au plus égale à la multiplicité de cette valeur propre.
• Les matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
• , ep , x) n’est pas libre,il existe une famille (λ 1 , .
• Dans ce cas toutes les bases de E ont le même nombre d’éléments, et ce nombre est appelé la dimension de E.

💡 À retenir

Comprendre comment les valeurs et vecteurs propres caractérisent la structure d'une matrice et permettent sa simplification par diagonalisation.

📖 8. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton et décomposition de Jordan

🔑 Notions clés & Définitions

• Comme u + : L'expression 'Comme u +' n'est pas définie dans le contenu source fourni.
• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est le polynôme défini par le déterminant det(A - λI), où λ est une variable scalaire et I la matrice identité.
• Polynôme minimal : Le polynôme minimal d'une matrice carrée A est le polynôme unitaire de plus bas degré qui annule A, c'est-à-dire dont l'évaluation en A donne la matrice nulle.
• Théorème de Cayley-Hamilton : On démontre directement au Chapitre 5 que p A (A)
• Décomposition de Jordan : On démontre directement au Chapitre 5 que p A (A)

📝 Points essentiels

• Une matrice nilpotente N satisfait N^k = 0 pour un certain entier k.
• Le polynôme caractéristique p_A d'une matrice carrée A est défini par det(A - λI).
• 78 5 Polynôme minimal, décomposition de Jordan 81 5.
• 5 Théorème de décomposition de Jordan .

💡 À retenir

Les outils algébriques avancés tels que le polynôme minimal, le théorème de Cayley-Hamilton et la décomposition de Jordan permettent de décomposer et d'analyser finement la structure des matrices carrées.

📖 9. Itération des matrices et systèmes différentiels linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Donc p : Dans le contexte des espaces vectoriels, un vecteur p appartenant à un sous-espace E est divisible par un polynôme donné si et seulement s'il existe un polynôme q tel que p = q multiplié par ce polynôme, ce qui permet d'exprimer p comme une combinaison linéaire des vecteurs générateurs de E.

📝 Points essentiels

• Le calcul des puissances d'une matrice est essentiel pour étudier ses itérations.
• Les systèmes différentiels linéaires du premier ordre peuvent être résolus via l'exponentielle de matrice.
• La résolution des systèmes différentiels linéaires repose sur la diagonalisation ou la décomposition de Jordan de la matrice associée.
• 1 Calcul des puissances d’une matrice .
• 3 Systèmes différentiels linéaires et exponentielles de matrices .

💡 À retenir

La théorie matricielle, notamment l'exponentielle de matrice, permet d'analyser les systèmes dynamiques linéaires et leurs itérations.

📖 10. Espaces vectoriels euclidiens : produit scalaire, orthonormalisation et projections orthogonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Une application bilinéaire, symétrique et positive définie sur un espace vectoriel, qui permet de définir une norme et une notion d'angle.
• Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : Une méthode constructive qui transforme une base quelconque d'un espace vectoriel euclidien en une base orthonormale.
• Espaces vectoriels euclidiens : Un corps K et soit u : E → F une application linéaire.

📝 Points essentiels

• Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire définissant une norme.
• Le produit scalaire satisfait la bilinéarité, la symétrie et la positivité.
• Le procédé de Gram-Schmidt permet de construire une base orthonormale à partir d'une base quelconque.
• La projection orthogonale sur un sous-espace est l'application linéaire qui associe à chaque vecteur son plus proche vecteur dans ce sous-espace.
• , en ) est une base de E, alors u(B) := (u(e1 ), .
• Donc Im(u) est un sous-espace vectoriel de F.

💡 À retenir

Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire définissant une norme.

📖 11. Matrices symétriques, matrices orthogonales et applications géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Une matrice symétrique est égale à sa transposée.
• Une matrice définie positive est une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

💡 À retenir

Comprendre le lien entre propriétés algébriques des matrices et leurs interprétations géométriques fondamentales.

📖 12. Tracé de coniques et quadriques sous Matlab

🔑 Notions clés & Définitions

• Notons que si E : Dans le contexte d'une décomposition d'un espace vectoriel E en somme directe de sous-espaces F et G, chaque élément x de E s'écrit de manière unique comme la somme d'un élément y de F et d'un élément z de G.
• Si Ker(u) : Le noyau d'une application linéaire u, noté Ker(u), est l'ensemble des vecteurs de l'espace de départ qui sont envoyés sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée.
• Conique : Une conique est une courbe plane définie par une équation polynomiale quadratique en deux variables, englobant des formes telles que le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole.

📝 Points essentiels

• Les coniques sont des courbes définies par des équations quadratiques en deux variables.
• 8 Tracé de quadriques sous Matlab .

💡 À retenir

Les coniques sont des courbes définies par des équations quadratiques en deux variables.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : 1e Année - Mathématiques Cours d’algèbre linéaire Edition 2008 Xavier Dussau, Jean Esterle, Fouad Zarouf et Rachid Zarouf 1 26 novembre 2008 1 I.Harlouchet-en eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire (Source: "1e Année - Mathématiques Cours d’algèbre linéaire Edition 2008 Xavier Dussau, Jean Esterle, Fouad Zarouf et Rachid Zarouf 1 26 novembre 2008 1 I.Harlouchet-en eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Cha- pitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats clas-")
2. Détail source à réviser : etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le calc (Source: "etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le calcul matriciel et on traite en détail des formules classiques concernant les changements de base. Au Chapitre 3 on rap- pelle les")
3. Détail source à réviser : caractéristique p A d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que p A (A) = 0 (théorème de Cayley- Hamilton) par la méthode des déte (Source: "caractéristique p A d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que p A (A) = 0 (théorème de Cayley- Hamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal q A d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute")
4. Détail source à réviser : grâce au théorème chinois pour les polynômes. Ces résultats sont appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels linéaires. On présente au Chapitre 7 la théorie des espaces v (Source: "grâce au théorème chinois pour les polynômes. Ces résultats sont appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels linéaires. On présente au Chapitre 7 la théorie des espaces vectoriels euclidiens (projections orthogonales, procédé d’orthogo- nalisation de Gram-Schmidt), et le Chapitre 8 est consacré aux matrices")
5. Détail source à réviser : la possibilité de faire des calculs effectifs, et quand c’était possible on a systématiquement utilisé le logiciel de calcul formel MUPAD. Ceci dit l’effectivité des calculs trouve vite ses limites en algèbre linéaire dè (Source: "la possibilité de faire des calculs effectifs, et quand c’était possible on a systématiquement utilisé le logiciel de calcul formel MUPAD. Ceci dit l’effectivité des calculs trouve vite ses limites en algèbre linéaire dès qu’on s’écarte de problèmes relevant de la méthode du pivot de Gauss : l’impossibilité de trouver des formules algébriques exactes")
6. Détail source à réviser : −2, −1, 0, 1 ou 2 comme valeur propre évidente. Aitzin solasa Algebra linealaren ikastaldi hau bederatzi kapituluz osatua da. Lehen kapi- tuluan definizioa oroitarazi eta frogapenik gabe espazio bektorialei eta aplikazio (Source: "−2, −1, 0, 1 ou 2 comme valeur propre évidente. Aitzin solasa Algebra linealaren ikastaldi hau bederatzi kapituluz osatua da. Lehen kapi- tuluan definizioa oroitarazi eta frogapenik gabe espazio bektorialei eta aplikazio linealei buruzko emaitza klasikoak (oinarri ezosoaren teorema, dimentsioaren teorema, etab.) emanak dira. Aplikazio injektibo,")
7. Détail source à réviser : formula klasiko batzu xeheki landuak dira. Hirugarren kapituluan, determinanteen pro- pietate nagusiak oroitaraziak dira, eta eranskinean Fisikako idazkeren sarrera bat egina da (indize errepikatuarekiko batuketaren hitz (Source: "formula klasiko batzu xeheki landuak dira. Hirugarren kapituluan, determinanteen pro- pietate nagusiak oroitaraziak dira, eta eranskinean Fisikako idazkeren sarrera bat egina da (indize errepikatuarekiko batuketaren hitzarmena, etab.). Laugar- ren kapituluan, A matrize karratuaren p A polinomio karakteristikoa aurkeztua da, eta matrizeen eta")
8. Détail source à réviser : da, eta Jordan-en deskonposaketa teorema frogatua : polinomio karakteristiko zatitua duen A matrize karratu oro era ba- karrean A = D + N forman idazten da, non D diagonalizagarria den, N nilpo- tentea eta DN = N D. D et (Source: "da, eta Jordan-en deskonposaketa teorema frogatua : polinomio karakteristiko zatitua duen A matrize karratu oro era ba- karrean A = D + N forman idazten da, non D diagonalizagarria den, N nilpo- tentea eta DN = N D. D eta N -ren kalkulu esplizitua polinomioendako teorema txinoari esker lortua da. Emaitza hauek matrizeen iterazioari eta sistema")
9. Détail source à réviser : eta zortzigarren kapitulua matrize karratu simetri- koei eta ortogonalei buruzkoa da, Geometriarako aplikazioez horniturik. Azken kapitulua Fisikako tentsore nozioari eskainia zaio. Algebra ikastaldian bezala, kalkulu er (Source: "eta zortzigarren kapitulua matrize karratu simetri- koei eta ortogonalei buruzkoa da, Geometriarako aplikazioez horniturik. Azken kapitulua Fisikako tentsore nozioari eskainia zaio. Algebra ikastaldian bezala, kalkulu eraginkorrak egiteko aukera azpimar- ratu da, eta ahal zenean MUPAD kalkulu formalaren programa sistematikoki erabili da. Dena den,")
10. Détail source à réviser : ze- hatzen aurkitzeko ezintasunak, eta Cartan-Tartaglia-ren formulen konplexuta- sunak, funtsean −2, −1, 0, 1 edo 2 balore propio nabaria duten 3 errenkadako eta 3 zutabeko matrize karratuez arduratzea ekartzen Table des (Source: "ze- hatzen aurkitzeko ezintasunak, eta Cartan-Tartaglia-ren formulen konplexuta- sunak, funtsean −2, −1, 0, 1 edo 2 balore propio nabaria duten 3 errenkadako eta 3 zutabeko matrize karratuez arduratzea ekartzen Table des matières 1 Espaces vectoriels,applications linéaires 1 1.1 Indépendance linéaire, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1")
11. Détail source à réviser : linéaires . . . . . 7 1.5 Annexe au Chapitre 1 : Application réciproque d’une bijection . 10 1.6 Les fonctions Arctg, Arccos et Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Chapitre 1 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . (Source: "linéaires . . . . . 7 1.5 Annexe au Chapitre 1 : Application réciproque d’une bijection . 10 1.6 Les fonctions Arctg, Arccos et Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Chapitre 1 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Matrices, changements de base 21")
12. Détail source à réviser : coordonnées de vecteurs 25 2.4 Formule de changement de base pour les applications linéaires . . 27 2.5 Chapitre 2 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . (Source: "coordonnées de vecteurs 25 2.4 Formule de changement de base pour les applications linéaires . . 27 2.5 Chapitre 2 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Déterminants, notations indicielles de la Physique 33 3.1 Propriétés des déterminants . . . . . . . . .")
13. Détail source à réviser : de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Déterminant d’un endomorphisme et d’une famille de vecteurs . 42 3.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7 Rang d’une fami (Source: "de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Déterminant d’un endomorphisme et d’une famille de vecteurs . 42 3.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7 Rang d’une famille de vecteurs, rang d’une application linéaire . 45 3.8 Annexe au Chapitre 3 : Introduction aux notations indicielles de la Physique .")
14. Détail source à réviser : . . . . . 54 4 Valeurs propres,vecteurs propres,diagonalisation 59 4.1 Introduction à la diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . 59 4.2 Polynôme caractéristique d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 61 iii (Source: ". . . . . 54 4 Valeurs propres,vecteurs propres,diagonalisation 59 4.1 Introduction à la diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . 59 4.2 Polynôme caractéristique d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 61 iii iv TABLE DES MATIÈRES 4.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4 Dimension d’un sous-espace propre")
15. Détail source à réviser : diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.7 Chapitre 4 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.8 Exercices sur le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 Polynôme mini (Source: "diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.7 Chapitre 4 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.8 Exercices sur le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 Polynôme minimal, décomposition de Jordan 81 5.1 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Polynôme minimal . . . . .")
16. Détail source à réviser : 5.5 Théorème de décomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.6 Un algorithme de calcul rapide pour la décomposition de Jordan 94 5.7 Chapitre 5 sous Mupad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5. (Source: "5.5 Théorème de décomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.6 Un algorithme de calcul rapide pour la décomposition de Jordan 94 5.7 Chapitre 5 sous Mupad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.8 Exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6 Itération, systèmes différentiels linéaires 109 6.1 Calcul")
17. Détail source à réviser : . . . 118 6.4 Chapitre 6 sous Mupad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.5 Exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7 Espaces vectoriels euclidiens 135 7.1 Produit scalaire (Source: ". . . 118 6.4 Chapitre 6 sous Mupad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.5 Exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7 Espaces vectoriels euclidiens 135 7.1 Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . 135 7.2 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 137 7.3")
18. Détail source à réviser : . . . . . . . . . . . . 144 8 Matrices symétriques, matrices orthogonales 147 8.1 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Source: ". . . . . . . . . . . . 144 8 Matrices symétriques, matrices orthogonales 147 8.1 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.4 Matrices définies positives . . . . . . .")
19. Détail source à réviser : coniques sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.8 Tracé de quadriques sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.9 Exercices sur le Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 TAB (Source: "coniques sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.8 Tracé de quadriques sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.9 Exercices sur le Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 TABLE DES MATIÈRES v 9 Les tenseurs en Physique (en préparation) 191 9.1 Coordonnées covariantes et contravariantes . . . . . . . . . . . .")
20. Détail source à réviser : vectoriels,applications linéaires 1.1 Indépendance linéaire, bases Définition 1.1.1 Un espace vectoriel E sur un corps K (on dit aussi un K- espace vectoriel) est un groupe abélien additif muni d’une loi de composition e (Source: "vectoriels,applications linéaires 1.1 Indépendance linéaire, bases Définition 1.1.1 Un espace vectoriel E sur un corps K (on dit aussi un K- espace vectoriel) est un groupe abélien additif muni d’une loi de composition externe (λ, x) " −→ λ.x de K × E dans E possédant les propriétés suivantes (i) (λ + μ).x = λ.x + μ.x ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, ∀μ ∈ K, (ii)")
21. Détail source à réviser : sous-espace vectoriel. Définition 1.1.2 On dit qu’une partie non vide F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si on a les deux propriétés suivantes (i) x + y ∈ F ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. (ii)λx ∈ F ∀λ ∈ K ∀x (Source: "sous-espace vectoriel. Définition 1.1.2 On dit qu’une partie non vide F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si on a les deux propriétés suivantes (i) x + y ∈ F ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. (ii)λx ∈ F ∀λ ∈ K ∀x ∈ F. Il est clair que si F est un sous-espace vectoriel de E alors F est lui-même un K-espace vectoriel pour la restriction à F de")
22. Détail source à réviser : ∈ K, ∀μ ∈ K, ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. 1 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS,APPLICATIONS LINÉAIRES Une récurrence immédiate montre que l’on a alors la propriété suivante (1.2) n∑ j=0 λ j xj ∈ F ∀n ≥ 1, ∀ x1 , . . . , xn ∈ F , ∀ λ 1 (Source: "∈ K, ∀μ ∈ K, ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. 1 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS,APPLICATIONS LINÉAIRES Une récurrence immédiate montre que l’on a alors la propriété suivante (1.2) n∑ j=0 λ j xj ∈ F ∀n ≥ 1, ∀ x1 , . . . , xn ∈ F , ∀ λ 1 , . . . , λ n ∈ K. D’autre part il est clair que l’on a la propriété suivante Proposition 1.1.3 Soit (E i )i∈I une famille quelconque de")
23. Détail source à réviser : l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A est un sous-espace vectoriel de E contenant A, qui est appelé le sous-espace vectoriel de E engendré par A, et qui est noté V ect(A). Définition 1.1.5 1 (Source: "l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A est un sous-espace vectoriel de E contenant A, qui est appelé le sous-espace vectoriel de E engendré par A, et qui est noté V ect(A). Définition 1.1.5 1) On dit qu’une famille (e1 , . . . , ek ) déléments d’un K-espace vectoriel E est libre (ou que les vecteurs e1 , . . . , ek sont")
24. Détail source à réviser : si pour tout x ∈ E il existe λ 1 , . . . , λ k ∈ K tels que x = λ 1 e1 + . . . + λ k ek . 3) On dit qu’une famille (e1 , . . . , ek ) d’éléments d’un K-espace vectoriel E est une base de E si elle est à la fois libre et (Source: "si pour tout x ∈ E il existe λ 1 , . . . , λ k ∈ K tels que x = λ 1 e1 + . . . + λ k ek . 3) On dit qu’une famille (e1 , . . . , ek ) d’éléments d’un K-espace vectoriel E est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice. On dit qu’un K-espace vectoriel E + = {0} est de dimension finie s’il existe une famille finie d’éléments de E qui est une")
25. Détail source à réviser : ce cas toutes les bases de E ont le même nombre d’éléments, et ce nombre est appelé la dimension de E. 2) Si dim(E) = n , et si (f1 , . . . , fk ) est une famille génératrice d’éléments de E alors k ≥ n. Si k = n, alors (Source: "ce cas toutes les bases de E ont le même nombre d’éléments, et ce nombre est appelé la dimension de E. 2) Si dim(E) = n , et si (f1 , . . . , fk ) est une famille génératrice d’éléments de E alors k ≥ n. Si k = n, alors (f1 , . . . , fk ) est une base de E. Si k > n, alors il existe une suite strictement croissante i1 , . . . , in d’entiers inférieurs ou")
26. Détail source à réviser : de E. Si p < n, alors il existe une famille (ep+1 , . . . , en ) de n − p éléments de E telle que (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en ) soit une base de E("théorème de la base incomplète"). On dira par convention que l’ (Source: "de E. Si p < n, alors il existe une famille (ep+1 , . . . , en ) de n − p éléments de E telle que (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en ) soit une base de E("théorème de la base incomplète"). On dira par convention que l’espace vectoriel réduit à {0} est de dimension nulle. 1.2. THÉORÈME DE LA DIMENSION POUR LA SOMME DE DEUX ESPACES VECTORIELS3 Corollaire")
27. Détail source à réviser : = {0} il n’y a rien à démontrer. Sinon toute famille libre d’éléments de F possède au plus n éléments, où n = dim(E). Soit p le plus grand entier pour lequel il existe une famille libre (e1 , . . . , ep ) de p éléments d (Source: "= {0} il n’y a rien à démontrer. Sinon toute famille libre d’éléments de F possède au plus n éléments, où n = dim(E). Soit p le plus grand entier pour lequel il existe une famille libre (e1 , . . . , ep ) de p éléments de F. On a p ≤ n. Soit x ∈ F. Comme la famille (e1 , . . . , ep , x) n’est pas libre,il existe une famille (λ 1 , . . . , λ p+1 )")
28. Détail source à réviser : p∑ j=1 − λ j λ p+1 ej . Ceci montre que (e1 , . . . , ep ) est génératrice. C’est donc une base de F . Donc F est de dimension finie, et dim(F ) = p ≤ n = dim(E). Si dim(F ) = dim(E), soit B une base de F. Alors B est un (Source: "p∑ j=1 − λ j λ p+1 ej . Ceci montre que (e1 , . . . , ep ) est génératrice. C’est donc une base de F . Donc F est de dimension finie, et dim(F ) = p ≤ n = dim(E). Si dim(F ) = dim(E), soit B une base de F. Alors B est une base de E, donc E = F. ♣ Exemple 1.1.8 1) Soit K un corps. On munit l’ensemble K n des familles (x1 , . . . , xn ) de n éléments de K des")
29. Détail source à réviser : ∀λ ∈ K, ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ K n . Posons ei = (δ i,j )1≤j≤n pour 1 ≤ i ≤ n. On vérifie facilement que K n est un K-espace vectoriel de dimension n et que (e1 , . . . , en ) est une base de K n . 2) Le plan vectoriel du (Source: "∀λ ∈ K, ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ K n . Posons ei = (δ i,j )1≤j≤n pour 1 ≤ i ≤ n. On vérifie facilement que K n est un K-espace vectoriel de dimension n et que (e1 , . . . , en ) est une base de K n . 2) Le plan vectoriel du Lycée est un espace vectoriel réel de dimension 2, et l’espace vectoriel du Lycée est un espace vectoriel réel de dimension 3. 3) Muni des")
30. Détail source à réviser : n’est pas de dimension finie. 5) Pour n ≥ 0, l’espace K n [x] des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K est un K-espace vectoriel de dimension n + 1, et la famille (1, x, . . . , xn ) est une bas (Source: "n’est pas de dimension finie. 5) Pour n ≥ 0, l’espace K n [x] des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K est un K-espace vectoriel de dimension n + 1, et la famille (1, x, . . . , xn ) est une base de K n [x]. 1.2 Théorème de la dimension pour la somme de deux espaces vectoriels Définition 1.2.1 Soient F et G deux sous-espaces")
31. Détail source à réviser : vectoriels de dimension finie d’un espace vectoriel E. Alors dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G). On dit que F et G sont en somme directe si F ∩ G = {0}. Dans ce cas tout x ∈ F + G s’ecrit de manière unique sous l (Source: "vectoriels de dimension finie d’un espace vectoriel E. Alors dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G). On dit que F et G sont en somme directe si F ∩ G = {0}. Dans ce cas tout x ∈ F + G s’ecrit de manière unique sous la forme x = y + z, avec y ∈ F, z ∈ G. Dans cette situation on écrit F ⊕ G au lieu de F + G. Exemple 1.2.3 On considère l’espace")
32. Détail source à réviser : de R 2 [x], et R 2 [x] = E ⊕ F. En effet pour p, q ∈ E, λ, μ ∈ R on a (λp + μq)(2) = λp(2) + μq(2) = 0, donc E est un sous-espace vectoriel de R 2 [x]. De même pour p, q ∈ F, λ, μ ∈ R on a (λp + μq)(1) = λp(1) + μq(1) = (Source: "de R 2 [x], et R 2 [x] = E ⊕ F. En effet pour p, q ∈ E, λ, μ ∈ R on a (λp + μq)(2) = λp(2) + μq(2) = 0, donc E est un sous-espace vectoriel de R 2 [x]. De même pour p, q ∈ F, λ, μ ∈ R on a (λp + μq)(1) = λp(1) + μq(1) = 0, et (λp + μq)(−1) = λp(−1) + μq(−1) = 0, donc F est un sous-espace vectoriel de R 2 [X]. Soit p ∈ E ∩ F. On a p(−1) = p(1) = p(2) =")
33. Détail source à réviser : − 2). On a u ∈ E et v ∈ E. Si λ ∈ R, μ ∈ R, et si λu + μv = 0 alors (λ + μx)(x − 2) = 0, donc λ + μx = 0 et λ = μ = 0. Donc la famille {u, v} est libre. Si p ∈ E, alors p est divisible par x−2 et il existe q ∈ R[x] tel q (Source: "− 2). On a u ∈ E et v ∈ E. Si λ ∈ R, μ ∈ R, et si λu + μv = 0 alors (λ + μx)(x − 2) = 0, donc λ + μx = 0 et λ = μ = 0. Donc la famille {u, v} est libre. Si p ∈ E, alors p est divisible par x−2 et il existe q ∈ R[x] tel que p = q(x−2). On a d ◦ (q)+d ◦ (x−2) = d ◦ (p) ≤ 2 donc d ◦ (q) ≤ 1, et q est de la forme q = λ+μx avec λ, μ ∈ R. On a alors p = λ(x − 2)")
34. Détail source à réviser : x + 1 qui sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, p est divisible par (x − 1)(x + 1) = w. On a donc p = qw, avec w ∈ R[x]. On a 2 ≥ d ◦ (p) = d ◦ (q)+d ◦ (w) = d ◦ (q)+2 donc d ◦ (q) = 0 ou q = 0, et le po (Source: "x + 1 qui sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, p est divisible par (x − 1)(x + 1) = w. On a donc p = qw, avec w ∈ R[x]. On a 2 ≥ d ◦ (p) = d ◦ (q)+d ◦ (w) = d ◦ (q)+2 donc d ◦ (q) = 0 ou q = 0, et le polynôme q est constant. Donc p = λw, avec λ ∈ R, et F est le sous-espace vectoriel de dimension 1 de R 2 [x] engendré par w. On a E ⊕ F ⊂ R")
35. Détail source à réviser : notion d’application linéaire. Définition 1.3.1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. On dit qu’une application u : E → F est linéaire si les deux propriétés suivantes sont vérifiées 1.3. APPLICATIONS LIN (Source: "notion d’application linéaire. Définition 1.3.1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. On dit qu’une application u : E → F est linéaire si les deux propriétés suivantes sont vérifiées 1.3. APPLICATIONS LINÉAIRES 5 1) u(x + y) = u(x) + u(y) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F. 2) u(λx) = λu(x) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K. Si u : E → F est linéaire , on appelle noyau de u")
36. Détail source à réviser : u : E → F est linéaire si et seulement si la condition suivante est vérifiée (1.4) u(λx + μy) = λu(x) + μu(y) ∀x, y ∈ E, ∀λ, μ ∈ K. Si A, B, C sont trois ensembles et si φ : A → B et ψ : B → C sont deux applications , la (Source: "u : E → F est linéaire si et seulement si la condition suivante est vérifiée (1.4) u(λx + μy) = λu(x) + μu(y) ∀x, y ∈ E, ∀λ, μ ∈ K. Si A, B, C sont trois ensembles et si φ : A → B et ψ : B → C sont deux applications , la composée ψ ◦ φ : A → C est l’application définie par la formule (1.5) (ψ ◦ φ)(x) = ψ(φ(x)) ∀x ∈ A. On a alors le résultat évident")
37. Détail source à réviser : u k−1 ◦ . . . ◦ u 1 : E k → E 1 est linéaire. Proposition 1.3.3 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et soit u : E → F une application linéaire. (i) Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E, et Im(u) est (Source: "u k−1 ◦ . . . ◦ u 1 : E k → E 1 est linéaire. Proposition 1.3.3 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et soit u : E → F une application linéaire. (i) Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E, et Im(u) est un sous-espace vectoriel de F. (ii) Si E est de dimension finie, et si B = (e1 , . . . , en ) est une base de E, alors u(B) := (u(e1 ), .")
38. Détail source à réviser : 2 u(x2 ) = 0, donc λ 1 x1 +λ 2 x2 ∈ Ker(u), et Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E. Soient maintenant y 1 , y2 ∈ Im(u) et λ 1 , λ2 ∈ K. Il existe x1 , x2 ∈ E tels que u(x1 ) = y 1 , u(x2 ) = y 2 , et on a λ 1 y 1 + (Source: "2 u(x2 ) = 0, donc λ 1 x1 +λ 2 x2 ∈ Ker(u), et Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E. Soient maintenant y 1 , y2 ∈ Im(u) et λ 1 , λ2 ∈ K. Il existe x1 , x2 ∈ E tels que u(x1 ) = y 1 , u(x2 ) = y 2 , et on a λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = λ 1 u(x1 ) + λ 2 u(x2 ) = u(λ 1 x1 + λ 2 x2 ) ∈ Im(u). Donc Im(u) est un sous-espace vectoriel de F. (ii) Si E est de dimension")
39. Détail source à réviser : ek ) = ∑n k=1 αk u(ek ). Donc u(B) est une famille génératrice de Im(u). Si on suppose de plus que Ker(u) = {0}, soient λ 1 , . . . , λ n ∈ K tels que λ 1 u(e1 )+. . .+λ n u(en ) = 0. On a u(λ 1 e1 +. . .+λ n en ) = λ 1 (Source: "ek ) = ∑n k=1 αk u(ek ). Donc u(B) est une famille génératrice de Im(u). Si on suppose de plus que Ker(u) = {0}, soient λ 1 , . . . , λ n ∈ K tels que λ 1 u(e1 )+. . .+λ n u(en ) = 0. On a u(λ 1 e1 +. . .+λ n en ) = λ 1 u(e1 )+. . .+λ n u(en ) = 0, donc λ 1 e1 + . . . + λ n en = 0. Comme Ker(u) = {0}, on obtient λ 1 e1 + . . . + λ n en = 0. Comme B est")
40. Détail source à réviser : D : p " −→ p ′ est un endomorphisme de C n [x] pour n ≥ 1. Le noyau de D est l’espace vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants, et l’image de D est égale à C n−1 [x]. 2) Les homothéties vectorielles et les (Source: "D : p " −→ p ′ est un endomorphisme de C n [x] pour n ≥ 1. Le noyau de D est l’espace vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants, et l’image de D est égale à C n−1 [x]. 2) Les homothéties vectorielles et les symétries vectorielles sont des endo- morphismes du plan vectoriel et de l’espace vectoriel de dimension 3 vus au Lycée. Les rotations")
41. Détail source à réviser : . . . + λ p ep } (λ1 ,...,λ p )∈K p l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de B. Alors F B est un sous- espace vectoriel de E, et F B = V ect(B). 4) Si E est un espace vectoriel et si F et G sont des sous-espac (Source: ". . . + λ p ep } (λ1 ,...,λ p )∈K p l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de B. Alors F B est un sous- espace vectoriel de E, et F B = V ect(B). 4) Si E est un espace vectoriel et si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G, l’application P = P F,G qui à x ∈ E associe l’unique y ∈ F tel que x − y ∈ G est un endomorphisme de")
42. Détail source à réviser : C n [x] | d ◦ (p) = 0}, qui est l’espace vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants.D’autre part Im(D) ⊂ C n−1 [x]. Si p = α0 + . . . + αn−1 xn−1 ∈ C n−1 [x], on a p = D(α0 x + α1 2 x2 + . . . + αn−1 n xn ) ∈ (Source: "C n [x] | d ◦ (p) = 0}, qui est l’espace vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants.D’autre part Im(D) ⊂ C n−1 [x]. Si p = α0 + . . . + αn−1 xn−1 ∈ C n−1 [x], on a p = D(α0 x + α1 2 x2 + . . . + αn−1 n xn ) ∈ Im(D), et par conséquent on a bien Im(D) = C n−1 [x]. Considérons maintenant une famille finie B = (e1 , . . . , ep ) d’éléments d’un")
43. Détail source à réviser : sous-espace vectoriel de E. D’autre part il est clair que F B ⊂ G si G est un sous-espace vectoriel de E contenant B. Par conséquent F B coincide avec le sous-espace vectoriel V ect(B) de E engendré par B. Considérons ma (Source: "sous-espace vectoriel de E. D’autre part il est clair que F B ⊂ G si G est un sous-espace vectoriel de E contenant B. Par conséquent F B coincide avec le sous-espace vectoriel V ect(B) de E engendré par B. Considérons maintenant deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E tels que E = F ⊕ G. Pour x ∈ E, il existe un unique couple (y, z) ∈ F")
44. Détail source à réviser : 1 (x1 − P (x1 )) + λ 2 (x2 − P (x2 )) ∈ G, et on a donc P (λ 1 x1 + λ 2 x2 ) = λ 1 P (x1 ) + λ 2 P (x2 ), ce qui montre que P est linéaire. On a Im(P ) ⊂ F. Si y ∈ F on a par définition P (y) = y, car y − 0 = y ∈ F, et y (Source: "1 (x1 − P (x1 )) + λ 2 (x2 − P (x2 )) ∈ G, et on a donc P (λ 1 x1 + λ 2 x2 ) = λ 1 P (x1 ) + λ 2 P (x2 ), ce qui montre que P est linéaire. On a Im(P ) ⊂ F. Si y ∈ F on a par définition P (y) = y, car y − 0 = y ∈ F, et y ∈ Im(P ), ce qui montre que Im(P ) = F. Donc si x ∈ E, on a P (x) ∈ F et P (P (x)) = P (x), ce qui montre que P ◦ P = P. Si z ∈ G on a z −")
45. Détail source à réviser : on a y = P F,G (x) et z = P G,F (x). Avec les notations ci-dessus, on obtient, si E = F ⊕ G, 1.4. THÉORÈME DE LA DIMENSION POUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES7 (1.6) P F,G + P G,F = IE , où IE : x " −→ x est l’application id (Source: "on a y = P F,G (x) et z = P G,F (x). Avec les notations ci-dessus, on obtient, si E = F ⊕ G, 1.4. THÉORÈME DE LA DIMENSION POUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES7 (1.6) P F,G + P G,F = IE , où IE : x " −→ x est l’application identité de E. 1.4 Théorème de la dimension pour les applica- tions linéaires On va maintenant démontrer un "théorème de la dimension" pour")
46. Détail source à réviser : = dim(E). Démonstration : Si Ker(u) = E, le résultat est évident. Si Ker(u) = {0}, il résulte de la proposition 1.13 (ii) que dim(E) = dim(Im(u)), et le résultat est encore vérifié. Supposons maintenant que Ker(u) + = {0 (Source: "= dim(E). Démonstration : Si Ker(u) = E, le résultat est évident. Si Ker(u) = {0}, il résulte de la proposition 1.13 (ii) que dim(E) = dim(Im(u)), et le résultat est encore vérifié. Supposons maintenant que Ker(u) + = {0} et Ker(u) + = E. Soit (e1 , . . . , ep ) une base de Ker(u). D’après le théorème de la base incomplète, il existe ep+1 , . . . , en ∈ E")
47. Détail source à réviser : G le de E engendré par ep+1 , .., en . Si x ∈ G ∩ Ker(u), il existe α1 , . . . , α p et β1 , . . . , βn−p ∈ K tels que x = α1 e1 + . . . αp ep = β1 ep+1 + . . . + βn−p en . On a alors α1 e1 + . . . αp ep − β1 ep+1 − . . (Source: "G le de E engendré par ep+1 , .., en . Si x ∈ G ∩ Ker(u), il existe α1 , . . . , α p et β1 , . . . , βn−p ∈ K tels que x = α1 e1 + . . . αp ep = β1 ep+1 + . . . + βn−p en . On a alors α1 e1 + . . . αp ep − β1 ep+1 − . . . − βn−p en = 0. Comme (e1 , . . . , en ) est une base de E, on a α1 = . . . = αp = β1 = . . . = βp = 0, et x = 0. Soit maintenant v la")
48. Détail source à réviser : . , u(en )) = (v(ep+1 ), . . . , v(en )) est libre. Donc (u(ep+1 ), . . . , u(en )) est une base de Im(u) et dim(Im(u)) = n − p. On a alors dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = n − p + p = n = dim(E), ce qui achève la démonstratio (Source: ". , u(en )) = (v(ep+1 ), . . . , v(en )) est libre. Donc (u(ep+1 ), . . . , u(en )) est une base de Im(u) et dim(Im(u)) = n − p. On a alors dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = n − p + p = n = dim(E), ce qui achève la démonstration. ♣ Exemple 1.4.2 Posons F := {(x, y, z) ∈ R 3 | x − 7y + 8z = 0}. Alors F est un sous-espace vectoriel de R 3 , et dim(F ) = 2. En effet")
49. Détail source à réviser : ESTIA 1e Année - Mathématiques Cours d’algèbre linéaire Edition 2008 Xavier Dussau, Jean Esterle, Fouad Zarouf et Rachid Zarouf 1 26 novembre 2008 1 I (Source: "ESTIA 1e Année - Mathématiques Cours d’algèbre linéaire Edition 2008 Xavier Dussau, Jean Esterle, Fouad Zarouf et Rachid Zarouf 1 26 novembre 2008 1 I")
50. Détail source à réviser : D. Un calcul explicite de D et N est obtenu grâce au théorème chinois pour les polynômes (Source: "D. Un calcul explicite de D et N est obtenu grâce au théorème chinois pour les polynômes")
51. Détail source à réviser : Lehen kapi- tuluan definizioa oroitarazi eta frogapenik gabe espazio bektorialei eta aplikazio linealei buruzko emaitza klasikoak (oinarri ezosoaren teorema, dimentsioaren teorema, etab (Source: "Lehen kapi- tuluan definizioa oroitarazi eta frogapenik gabe espazio bektorialei eta aplikazio linealei buruzko emaitza klasikoak (oinarri ezosoaren teorema, dimentsioaren teorema, etab")
52. Détail source à réviser : D. D eta N -ren kalkulu esplizitua polinomioendako teorema txinoari esker lortua da (Source: "D. D eta N -ren kalkulu esplizitua polinomioendako teorema txinoari esker lortua da")
53. Détail source à réviser : 4. mailatik gorako ekuazioen ebazteko formula algebraiko ze- hatzen aurkitzeko ezintasunak, eta Cartan-Tartaglia-ren formulen konplexuta- sunak, funtsean −2, −1, 0, 1 edo 2 balore propio nabaria duten 3 errenkadako eta 3 (Source: "4. mailatik gorako ekuazioen ebazteko formula algebraiko ze- hatzen aurkitzeko ezintasunak, eta Cartan-Tartaglia-ren formulen konplexuta- sunak, funtsean −2, −1, 0, 1 edo 2 balore propio nabaria duten 3 errenkadako eta 3 zutabeko matrize karratuez arduratzea ekartzen Table des matières 1 Espaces vectoriels,applications linéaires 1 1")
54. Détail source à réviser : 31 3 Déterminants, notations indicielles de la Physique 33 3.1 Propriétés des déterminants (Source: "31 3 Déterminants, notations indicielles de la Physique 33 3.1 Propriétés des déterminants")
55. Détail source à réviser : 62 4.4 Dimension d’un sous-espace propre et ordre de multiplicité d’une valeur propre (Source: "62 4.4 Dimension d’un sous-espace propre et ordre de multiplicité d’une valeur propre")
56. Détail source à réviser : 78 5 Polynôme minimal, décomposition de Jordan 81 5.1 Théorème de Cayley-Hamilton (Source: "78 5 Polynôme minimal, décomposition de Jordan 81 5.1 Théorème de Cayley-Hamilton")
57. Détail source à réviser : 130 7 Espaces vectoriels euclidiens 135 7.1 Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwartz (Source: "130 7 Espaces vectoriels euclidiens 135 7.1 Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwartz")
58. Détail source à réviser : 2 On dit qu’une partie non vide F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si on a les deux propriétés suivantes (i) x + y ∈ F ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. (ii)λx ∈ F ∀λ ∈ K ∀x ∈ F. Il est clair que si F est un sou (Source: "2 On dit qu’une partie non vide F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si on a les deux propriétés suivantes (i) x + y ∈ F ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. (ii)λx ∈ F ∀λ ∈ K ∀x ∈ F. Il est clair que si F est un sous-espace vectoriel de E alors F est lui-même un K-espace vectoriel pour la restriction à F de l’addition de E et du produit d’un élément...")
59. Détail source à réviser : F. Il est clair que si F est un sous-espace vectoriel de E alors F est lui-même un K-espace vectoriel pour la restriction à F de l’addition de E et du produit d’un élément de E par un élément de K (Source: "F. Il est clair que si F est un sous-espace vectoriel de E alors F est lui-même un K-espace vectoriel pour la restriction à F de l’addition de E et du produit d’un élément de E par un élément de K")
60. Détail source à réviser : 1) Pour qu’un K-espace vectoriel E + = {0} soit de dimension finie il faut et il suffit qu’il possède une famille génératrice finie (Source: "1) Pour qu’un K-espace vectoriel E + = {0} soit de dimension finie il faut et il suffit qu’il possède une famille génératrice finie")
61. Détail source à réviser : F. Démonstration : Si F = {0} il n’y a rien à démontrer (Source: "F. Démonstration : Si F = {0} il n’y a rien à démontrer")
62. Détail source à réviser : Si dim(F ) = dim(E), soit B une base de F. Alors B est une base de E, donc E = F. ♣ Exemple 1.1.8 1) Soit K un corps. On munit l’ensemble K n des familles (x1 , . . . , xn ) de n éléments de K des opérations suivantes (x (Source: "Si dim(F ) = dim(E), soit B une base de F. Alors B est une base de E, donc E = F. ♣ Exemple 1.1.8 1) Soit K un corps. On munit l’ensemble K n des familles (x1 , . . . , xn ) de n éléments de K des opérations suivantes (x1 , . . . , xn ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x1 + y 1 , . . . , xn + y n ) ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ K n , ∀(y 1 , . . . , y n ) ∈ K n , λ(x1 ,...")
63. Détail source à réviser : 2) Le plan vectoriel du Lycée est un espace vectoriel réel de dimension 2, et l’espace vectoriel du Lycée est un espace vectoriel réel de dimension 3. 3) Muni des opérations usuelles, C est un espace vectoriel réel de di (Source: "2) Le plan vectoriel du Lycée est un espace vectoriel réel de dimension 2, et l’espace vectoriel du Lycée est un espace vectoriel réel de dimension 3. 3) Muni des opérations usuelles, C est un espace vectoriel réel de dimension 2, et (1, i) est une base de C. 4) L’espace K[x] des polynômes sur un corps K est un K-espace vectoriel pour les opérations usuel...")
64. Détail source à réviser : F. En effet pour p, q ∈ E, λ, μ ∈ R on a (λp + μq)(2) = λp(2) + μq(2) = 0, donc E est un sous-espace vectoriel de R 2 [x] (Source: "F. En effet pour p, q ∈ E, λ, μ ∈ R on a (λp + μq)(2) = λp(2) + μq(2) = 0, donc E est un sous-espace vectoriel de R 2 [x]")
65. Détail source à réviser : On a d ◦ (q)+d ◦ (x−2) = d ◦ (p) ≤ 2 donc d ◦ (q) ≤ 1, et q est de la forme q = λ+μx avec λ, μ ∈ R. On a alors p = λ(x − 2) + μx(x − 2) = λu + μv et on voit que {u, v} est une famille génératrice de E. Par conséquent {u, (Source: "On a d ◦ (q)+d ◦ (x−2) = d ◦ (p) ≤ 2 donc d ◦ (q) ≤ 1, et q est de la forme q = λ+μx avec λ, μ ∈ R. On a alors p = λ(x − 2) + μx(x − 2) = λu + μv et on voit que {u, v} est une famille génératrice de E. Par conséquent {u, v} est une base de E et dim(E) = 2. Posons w = x2 − 1 ∈ F. Si p ∈ F alors p est divisible par x − 1 et x + 1 qui sont premiers entre eux...")
66. Détail source à réviser : K. On dit qu’une application u : E → F est linéaire si les deux propriétés suivantes sont vérifiées 1 (Source: "K. On dit qu’une application u : E → F est linéaire si les deux propriétés suivantes sont vérifiées 1")
67. Détail source à réviser : Démonstration (i) Si x1 , x2 ∈ Ker(u) , λ 1 , λ2 ∈ K, on a u(λ 1 x1 + λ 2 x2 ) = λ 1 u(x1 )+λ 2 u(x2 ) = 0, donc λ 1 x1 +λ 2 x2 ∈ Ker(u), et Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E. Soient maintenant y 1 , y2 ∈ Im(u) et (Source: "Démonstration (i) Si x1 , x2 ∈ Ker(u) , λ 1 , λ2 ∈ K, on a u(λ 1 x1 + λ 2 x2 ) = λ 1 u(x1 )+λ 2 u(x2 ) = 0, donc λ 1 x1 +λ 2 x2 ∈ Ker(u), et Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E. Soient maintenant y 1 , y2 ∈ Im(u) et λ 1 , λ2 ∈ K. Il existe x1 , x2 ∈ E tels que u(x1 ) = y 1 , u(x2 ) = y 2 , et on a λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = λ 1 u(x1 ) + λ 2 u(x2 ) = u(λ 1 x...")
68. Détail source à réviser : 2) Les homothéties vectorielles et les symétries vectorielles sont des endo- morphismes du plan vectoriel et de l’espace vectoriel de dimension 3 vus au Lycée (Source: "2) Les homothéties vectorielles et les symétries vectorielles sont des endo- morphismes du plan vectoriel et de l’espace vectoriel de dimension 3 vus au Lycée")
69. Détail source à réviser : 4) Si E est un espace vectoriel et si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G, l’application P = P F,G qui à x ∈ E associe l’unique y ∈ F tel que x − y ∈ G est un endomorphisme de E tel que Im(P ) (Source: "4) Si E est un espace vectoriel et si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G, l’application P = P F,G qui à x ∈ E associe l’unique y ∈ F tel que x − y ∈ G est un endomorphisme de E tel que Im(P ) = F et Ker(P ) = G. Cette application linéaire est appelée projection de E sur F parallèlement à G , et on a P ◦ P = P. En effet il est...")
70. Détail source à réviser : B. Considérons maintenant deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E tels que E = F ⊕ G (Source: "B. Considérons maintenant deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E tels que E = F ⊕ G")
71. Détail source à réviser : ÈME DE LA DIMENSION POUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES7 (1.6) P F,G + P G,F = IE , où IE : x " −→ x est l’application identité de E. 1.4 Théorème de la dimension pour les applica- tions linéaires On va maintenant démontrer (Source: "ÈME DE LA DIMENSION POUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES7 (1.6) P F,G + P G,F = IE , où IE : x " −→ x est l’application identité de E. 1.4 Théorème de la dimension pour les applica- tions linéaires On va maintenant démontrer un "théorème de la dimension" pour les appli- cations linéaires. Théorème 1.4.1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et s...")
72. Détail source à réviser : 0. Soit maintenant v la restriction de u à G , c’est à dire l’application v : G → F définie par la formule v(x) = u(x) pour x ∈ G (Source: "0. Soit maintenant v la restriction de u à G , c’est à dire l’application v : G → F définie par la formule v(x) = u(x) pour x ∈ G")
73. Détail source à réviser : P. En effet il est clair que D est linéaire et que Ker(D) = {p ∈ C n [x] | d ◦ (p) = 0}, qui est l’espace vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants (Source: "P. En effet il est clair que D est linéaire et que Ker(D) = {p ∈ C n [x] | d ◦ (p) = 0}, qui est l’espace vectoriel de dimension 1 formé des polynômes constants")
74. Détail source à réviser : Une vérification immédiate montre que φ : K p → E est línéaire, et par conséquent F B = Im(φ) est un sous-espace vectoriel de E. D’autre part il est clair que F B ⊂ G si G est un sous-espace vectoriel de E contenant B. P (Source: "Une vérification immédiate montre que φ : K p → E est línéaire, et par conséquent F B = Im(φ) est un sous-espace vectoriel de E. D’autre part il est clair que F B ⊂ G si G est un sous-espace vectoriel de E contenant B. Par conséquent F B coincide avec le sous-espace vectoriel V ect(B) de E engendré par B. Considérons maintenant deux sous-espaces vectoriel...")
75. Détail source à réviser : E. D’autre part il est clair que F B ⊂ G si G est un sous-espace vectoriel de E contenant B (Source: "E. D’autre part il est clair que F B ⊂ G si G est un sous-espace vectoriel de E contenant B")
76. Détail source à réviser : Considérons maintenant deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E tels que E = F ⊕ G. Pour x ∈ E, il existe un unique couple (y, z) ∈ F × G tel que x = y + z, et par conséquent l’application P = P F,G in (Source: "Considérons maintenant deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E tels que E = F ⊕ G. Pour x ∈ E, il existe un unique couple (y, z) ∈ F × G tel que x = y + z, et par conséquent l’application P = P F,G introduite ci-dessus est bien définie.Soient x1 , x2 ∈ E et soientλ 1 , λ2 ∈ K. On a λ 1 x1 + λ 2 x2 − λ 1 P (x1 ) − λ 2 P (x2 ) = λ 1 (x1...")
77. Détail source à réviser : z) ∈ F × G tel que x = y + z, et par conséquent l’application P = P F,G introduite ci-dessus est bien définie (Source: "z) ∈ F × G tel que x = y + z, et par conséquent l’application P = P F,G introduite ci-dessus est bien définie")
78. Détail source à réviser : Si y ∈ F on a par définition P (y) = y, car y − 0 = y ∈ F, et y ∈ Im(P ), ce qui montre que Im(P ) = F. Donc si x ∈ E, on a P (x) ∈ F et P (P (x)) = P (x), ce qui montre que P ◦ P = P. Si z ∈ G on a z − 0 = z ∈ G, donc P (Source: "Si y ∈ F on a par définition P (y) = y, car y − 0 = y ∈ F, et y ∈ Im(P ), ce qui montre que Im(P ) = F. Donc si x ∈ E, on a P (x) ∈ F et P (P (x)) = P (x), ce qui montre que P ◦ P = P. Si z ∈ G on a z − 0 = z ∈ G, donc P (z) = 0. Réciproquement si P (z) = 0, on a z = z − P (z) ∈ F, et par conséquent Ker(P ) = G. Notons que si E = F ⊕ G, et si (y, z) est l...")
79. Détail source à réviser : Réciproquement si P (z) = 0, on a z = z − P (z) ∈ F, et par conséquent Ker(P ) = G. Notons que si E = F ⊕ G, et si (y, z) est l’unique élément de F × G tel que x = y + z, on a y = P F,G (x) et z = P G,F (x). Avec les not (Source: "Réciproquement si P (z) = 0, on a z = z − P (z) ∈ F, et par conséquent Ker(P ) = G. Notons que si E = F ⊕ G, et si (y, z) est l’unique élément de F × G tel que x = y + z, on a y = P F,G (x) et z = P G,F (x). Avec les notations ci-dessus, on obtient, si E = F ⊕ G, 1.4. THÉORÈME DE LA DIMENSION POUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES7 (1.6) P F,G + P G,F = IE , où...")
80. Détail source à réviser : G. Notons que si E = F ⊕ G, et si (y, z) est l’unique élément de F × G tel que x = y + z, on a y = P F,G (x) et z = P G,F (x) (Source: "G. Notons que si E = F ⊕ G, et si (y, z) est l’unique élément de F × G tel que x = y + z, on a y = P F,G (x) et z = P G,F (x)")
81. Détail source à réviser : K. On a λ 1 x1 + λ 2 x2 − λ 1 P (x1 ) − λ 2 P (x2 ) = λ 1 (x1 − P (x1 )) + λ 2 (x2 − P (x2 )) ∈ G, et on a donc P (λ 1 x1 + λ 2 x2 ) = λ 1 P (x1 ) + λ 2 P (x2 ), ce qui montre que P est linéaire (Source: "K. On a λ 1 x1 + λ 2 x2 − λ 1 P (x1 ) − λ 2 P (x2 ) = λ 1 (x1 − P (x1 )) + λ 2 (x2 − P (x2 )) ∈ G, et on a donc P (λ 1 x1 + λ 2 x2 ) = λ 1 P (x1 ) + λ 2 P (x2 ), ce qui montre que P est linéaire")
82. Détail source à réviser : F. Si y ∈ F on a par définition P (y) = y, car y − 0 = y ∈ F, et y ∈ Im(P ), ce qui montre que Im(P ) = F (Source: "F. Si y ∈ F on a par définition P (y) = y, car y − 0 = y ∈ F, et y ∈ Im(P ), ce qui montre que Im(P ) = F")
83. Détail source à réviser : p. On a alors dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = n − p + p = n = dim(E), ce qui achève la démonstration (Source: "p. On a alors dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = n − p + p = n = dim(E), ce qui achève la démonstration")
84. Détail source à réviser : Alors F est un sous-espace vectoriel de R 3 , et dim(F ) = 2. En effet posons u(x, y, z) = x − 7y + 8z pour (x, y, z) ∈ R 3 . Il est clair que u est une application linéaire de R 3 dans R. Comme u + = 0 on a dim(Im(u)) ≥ (Source: "Alors F est un sous-espace vectoriel de R 3 , et dim(F ) = 2. En effet posons u(x, y, z) = x − 7y + 8z pour (x, y, z) ∈ R 3 . Il est clair que u est une application linéaire de R 3 dans R. Comme u + = 0 on a dim(Im(u)) ≥ 1, donc dim(Im(u)) = 1 puisque Im(u) ⊂ R. Comme F = Ker(u), F est un sous-espace vectoriel de R 3 et dim(F ) = dim(R 3 ) − dim(Im(u)) = 2.")
85. Détail source à réviser : Il est clair que u est une application linéaire de R 3 dans R. Comme u + = 0 on a dim(Im(u)) ≥ 1, donc dim(Im(u)) = 1 puisque Im(u) ⊂ R. Comme F = Ker(u), F est un sous-espace vectoriel de R 3 et dim(F ) = dim(R 3 ) − di (Source: "Il est clair que u est une application linéaire de R 3 dans R. Comme u + = 0 on a dim(Im(u)) ≥ 1, donc dim(Im(u)) = 1 puisque Im(u) ⊂ R. Comme F = Ker(u), F est un sous-espace vectoriel de R 3 et dim(F ) = dim(R 3 ) − dim(Im(u)) = 2.")
86. Détail source à réviser : 1) λx + μy ∈ F ∀λ ∈ K, ∀μ ∈ K, ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. 1 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS,APPLICATIONS LINÉAIRES Une récurrence immédiate montre que l’on a alors la propriété suivante (1.2) n∑ j=0 λ j xj ∈ F ∀n ≥ 1, ∀ x1 , . . . (Source: "1) λx + μy ∈ F ∀λ ∈ K, ∀μ ∈ K, ∀x ∈ F, ∀y ∈ F. 1 2 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS,APPLICATIONS LINÉAIRES Une récurrence immédiate montre que l’on a alors la propriété suivante (1.2) n∑ j=0 λ j xj ∈ F ∀n ≥ 1, ∀ x1 , . . . , xn ∈ F , ∀ λ 1 , . . . , λ n ∈ K. D’autre part il est clair que l’on a la propriété suivante Proposition 1.1.3 Soit (E i )i∈I une fami...")
87. Détail source à réviser : 3 Soit (E i )i∈I une famille quelconque de sous-espaces vecto- riels d’un espace vectoriel E. Alors ∩i∈I E i est un sous-espace vectoriel de E. Corollaire 1.1.4 Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit A une par (Source: "3 Soit (E i )i∈I une famille quelconque de sous-espaces vecto- riels d’un espace vectoriel E. Alors ∩i∈I E i est un sous-espace vectoriel de E. Corollaire 1.1.4 Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit A une partie non vide de E. Alors l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A est un sous-espace vectoriel de E contenant...")
88. Détail source à réviser : E. Alors l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A est un sous-espace vectoriel de E contenant A, qui est appelé le sous-espace vectoriel de E engendré par A, et qui est noté V ect(A) (Source: "E. Alors l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A est un sous-espace vectoriel de E contenant A, qui est appelé le sous-espace vectoriel de E engendré par A, et qui est noté V ect(A)")
89. Détail source à réviser : 4) L’espace K[x] des polynômes sur un corps K est un K-espace vectoriel pour les opérations usuelles (Source: "4) L’espace K[x] des polynômes sur un corps K est un K-espace vectoriel pour les opérations usuelles")
90. Détail source à réviser : 5) Pour n ≥ 0, l’espace K n [x] des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K est un K-espace vectoriel de dimension n + 1, et la famille (1, x, (Source: "5) Pour n ≥ 0, l’espace K n [x] des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K est un K-espace vectoriel de dimension n + 1, et la famille (1, x,")
91. Détail source à réviser : 2 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace vectoriel E. Alors dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G). On dit que F et G sont en somme directe si F ∩ G = {0}. Dans ce cas tout x ∈ F + (Source: "2 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace vectoriel E. Alors dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G). On dit que F et G sont en somme directe si F ∩ G = {0}. Dans ce cas tout x ∈ F + G s’ecrit de manière unique sous la forme x = y + z, avec y ∈ F, z ∈ G. Dans cette situation on écrit F ⊕ G au lieu de F + G. Exemple 1.2...")
92. Détail source à réviser : APPLICATIONS LINÉAIRES 5 1) u(x + y) = u(x) + u(y) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F. 2) u(λx) = λu(x) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K. Si u : E → F est linéaire , on appelle noyau de u l’ensemble Ker(u) := {x ∈ E | u(x) = 0}, et on appelle image de u l’en (Source: "APPLICATIONS LINÉAIRES 5 1) u(x + y) = u(x) + u(y) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F. 2) u(λx) = λu(x) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K. Si u : E → F est linéaire , on appelle noyau de u l’ensemble Ker(u) := {x ∈ E | u(x) = 0}, et on appelle image de u l’ensemble Im(u) := u(E) = {u(x)} x∈E . Une application linéaire u : E → E est appellée un endomorphisme de E. Il est clair qu’une applicatio...")
93. Détail source à réviser : K. Si u : E → F est linéaire , on appelle noyau de u l’ensemble Ker(u) := {x ∈ E | u(x) = 0}, et on appelle image de u l’ensemble Im(u) := u(E) = {u(x)} x∈E (Source: "K. Si u : E → F est linéaire , on appelle noyau de u l’ensemble Ker(u) := {x ∈ E | u(x) = 0}, et on appelle image de u l’ensemble Im(u) := u(E) = {u(x)} x∈E")
94. Détail source à réviser : E. Il est clair qu’une application u : E → F est linéaire si et seulement si la condition suivante est vérifiée (1 (Source: "E. Il est clair qu’une application u : E → F est linéaire si et seulement si la condition suivante est vérifiée (1")
95. Détail source à réviser : K. Si A, B, C sont trois ensembles et si φ : A → B et ψ : B → C sont deux applications , la composée ψ ◦ φ : A → C est l’application définie par la formule (1 (Source: "K. Si A, B, C sont trois ensembles et si φ : A → B et ψ : B → C sont deux applications , la composée ψ ◦ φ : A → C est l’application définie par la formule (1")
96. Détail source à réviser : 3) Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit B = (e1 , (Source: "3) Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit B = (e1 ,")

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des sous-espaces et bases

Propriété	Définition
Famille libre	Aucune combinaison linéaire nulle sauf coefficients nuls
Famille génératrice	Tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire
Base	Famille libre et génératrice

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre famille libre et famille génératrice, qui ont des propriétés opposées.
2. Supposer qu'une famille de vecteurs est une base sans vérifier qu'elle est à la fois libre et génératrice.
3. Oublier que la somme directe nécessite que l'intersection des sous-espaces soit réduite au vecteur nul.
4. Confondre la dimension d'un espace avec la cardinalité d'une famille génératrice.
5. Utiliser la formule de changement de base sans vérifier la compatibilité des bases.
6. Confondre matrices symétriques et matrices orthogonales.
7. Supposer que tout espace euclidien possède une base orthonormale sans appliquer Gram-Schmidt.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier si une famille est libre en testant les combinaisons linéaires.
2. Vérifier si une famille est génératrice en exprimant un vecteur arbitraire.
3. Vérifier si une famille est une base en confirmant qu'elle est à la fois libre et génératrice.
4. Utiliser la formule de la somme directe pour décomposer un espace en sous-espaces.
5. Appliquer la formule de la dimension pour des sous-espaces en somme directe.
6. Calculer la matrice associée à une application linéaire dans une base donnée.
7. Utiliser la formule de changement de base pour transformer une matrice dans une nouvelle base.
8. Vérifier si une matrice est inversible en calculant son déterminant.
9. Diagonaliser une matrice en trouvant ses valeurs propres et vecteurs propres.
10. Appliquer la décomposition de Jordan pour une matrice non diagonalisable.
11. Calculer l'exponentielle d'une matrice pour résoudre un système différentiel.
12. Utiliser Gram-Schmidt pour orthonormaliser une base.