Тест: Indépendance en probabilités élémentaires — 12 въпроса

1. Dans quel cas deux événements A et B, de probabilités strictement positives, sont-ils indépendants ?

A. Quand P(A)=P(B)

B. Quand P(A∩B)=0

C. Quand A et B sont incompatibles

D. Quand la réalisation de A ne modifie pas la probabilité de B

Answer: (D)

Обяснение

Deux événements sont indépendants si connaître la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Cela se traduit notamment par l’égalité entre la probabilité conditionnelle et la probabilité simple.

2. Si P(A)>0 et P(B)>0, quelle égalité caractérise aussi l’indépendance de A et B ?

A. P(B|A)=P(B)

B. P(A∪B)=P(A)+P(B)

C. P(A∩B)=P(A)

D. P(A∩B)=P(A)×P(B)

Answer: (A)

Обяснение

Pour des événements de probabilités non nulles, l’indépendance équivaut à P(B|A)=P(B). L’égalité P(A∩B)=P(A)×P(B) relève aussi de l’indépendance, mais ici on demande l’égalité avec la probabilité conditionnelle.

3. Pourquoi l’ajout de deux jokers fait-il échouer l’indépendance entre tirer un roi et tirer un trèfle ?

A. Parce que P(T) devient nulle

B. Parce que les événements deviennent incompatibles

C. Parce que P(R∩T) devient égale à 1

D. Parce que P(R) change alors que P_T(R) reste identique

Answer: (D)

Обяснение

Avec deux jokers, P(R) passe à 3/16 tandis que P_T(R) reste à 1/8, donc l’égalité nécessaire n’est plus vérifiée. L’indépendance est alors rompue.

4. Dans le jeu de 32 cartes sans jokers, quelle conclusion tire-t-on du fait que la probabilité de tirer un roi sachant qu’on a tiré un trèfle est égale à la probabilité de tirer un roi ?

A. Les événements « tirer un roi » et « tirer un trèfle » sont indépendants

B. Les deux événements sont nécessairement égaux

C. Les événements « tirer un roi » et « tirer un trèfle » sont incompatibles

D. L’événement « tirer un roi » est impossible

Answer: (A)

Обяснение

Quand la probabilité conditionnelle d’obtenir un roi sachant qu’on a tiré un trèfle est égale à la probabilité simple d’obtenir un roi, cela montre que savoir qu’il y a eu trèfle ne change pas la probabilité du roi. C’est précisément la situation d’indépendance.

5. Que signifie qu’un lancer de dé puis un lancer de pièce forme deux épreuves indépendantes ?

A. Le résultat du dé ne modifie pas la probabilité des résultats de la pièce

B. La pièce dépend du nombre obtenu au dé

C. Les probabilités changent à chaque lancer

D. Les deux épreuves donnent forcément le même résultat

Answer: (A)

Обяснение

Deux épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l’une ne modifie pas les probabilités de l’autre. C’est exactement le cas d’un lancer de dé suivi d’un lancer de pièce.

6. Pourquoi un tirage en urne avec remise, répété plusieurs fois, est-il un exemple d’épreuves identiques et indépendantes ?

A. Parce que les tirages deviennent dépendants après la première répétition

B. Parce que les probabilités restent les mêmes à chaque répétition

C. Parce que le nombre de boules diminue à chaque tour

D. Parce que la boule tirée est remplacée par une boule différente

Answer: (B)

Обяснение

La remise conserve la composition de l’urne, donc les probabilités restent identiques d’un tirage à l’autre. L’indépendance est alors maintenue entre les répétitions.

7. Dans un arbre pondéré de deux tirages avec remise, que représente le deuxième niveau de l’arbre ?

A. Le total des issues possibles

B. La probabilité d’obtenir exactement deux boules blanches

C. Les probabilités des tirages suivants grâce à l’indépendance

D. Une probabilité conditionnelle différente à chaque branche

Answer: (C)

Обяснение

Le deuxième niveau repart des mêmes probabilités parce que les tirages sont indépendants. Il ne s’agit pas ici d’introduire une nouvelle probabilité conditionnelle.

8. Avec 3 boules blanches et 2 boules rouges, quelles sont les probabilités de tirer une blanche puis une rouge, dans cet ordre ?

A. 0,48

B. 0,36

C. 0,40

D. 0,24

Answer: (D)

Обяснение

On a P(B)=3/5=0,6 et P(R)=2/5=0,4, donc P(B;R)=0,6×0,4=0,24. L’ordre compte dans l’issue de l’arbre.

9. Dans deux tirages successifs avec remise, quelle issue correspond à l’événement « deux boules blanches » ?

A. (R;B)

B. (R;R)

C. (B;R)

D. (B;B)

Answer: (D)

Обяснение

L’événement « deux boules blanches » correspond à l’issue ordonnée (B;B). Les autres issues décrivent d’autres séquences de tirage.

10. Quelle valeur correspond à l’événement « au moins une boule blanche » dans l’exemple donné ?

A. 0,36

B. 0,84

C. 0,16

D. 0,48

Answer: (B)

Обяснение

« Au moins une blanche » regroupe toutes les issues sauf (R;R), soit 0,24 + 0,36 + 0,24 = 0,84. On exclut seulement la séquence sans aucune boule blanche.

11. Que représente l’intersection de deux événements A et B ?

A. Le fait que A empêche B de se réaliser

B. Le fait que A et B aient la même probabilité

C. Le fait que A ou B se réalise

D. Le fait que A et B se réalisent simultanément

Answer: (D)

Обяснение

L’intersection A ∩ B correspond à la réalisation simultanée des deux événements. Ce n’est pas une alternative « ou » ni une comparaison de probabilités.

12. Comment calcule-t-on la probabilité de A ∩ B lorsque A et B sont indépendants ?

A. En additionnant P(A) et P(B)

B. En soustrayant P(A) de P(B)

C. En divisant P(A) par P(B)

D. En multipliant P(A) par P(B)

Answer: (D)

Обяснение

Pour deux événements indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit des probabilités : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). L’addition correspond à une autre situation et ne convient pas ici.