Тест: Introduction à la dérivation — 9 въпроса

1. Quelle expression correspond au taux d’accroissement de f entre a et a+h ?

A. (f(a+h)−f(a))/h

B. (f(a)−f(a+h))/h

C. f(a+h)−f(a)

D. (f(a)+f(a+h))/h

Answer: (A)

Обяснение

Le taux d’accroissement mesure la variation de la fonction entre a et a+h, rapportée à h. Les autres propositions oublient la division correcte ou inversent le signe.

2. Qu'est-ce que le nombre dérivé en un point a d'une fonction f ?

A. La limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0.

B. La variation de la fonction entre a et a+h.

C. La valeur de la fonction en a.

D. La pente de la courbe en a.

Answer: (A)

Обяснение

Le nombre dérivé en a est défini comme la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0, s'il existe. La réponse 1 correspond à cette définition, contrairement aux autres qui décrivent d'autres notions.

3. Quand dit-on qu’une fonction est dérivable en a ?

A. Quand la limite de (f(a+h)−f(a))/h existe quand h tend vers 0

B. Quand la pente de la tangente est nulle en a

C. Quand f(a+h)−f(a) vaut toujours 0

D. Quand f(a) est définie pour tout h

Answer: (A)

Обяснение

La dérivabilité en a signifie que le taux d’accroissement admet une limite lorsque h tend vers 0, et cette limite est f'(a). Le fait que la pente soit nulle n’est qu’un cas particulier.

4. Quelle formule définit le taux d’accroissement d’une fonction f en un point a ?

A. (f(a+h)−f(a))/a

B. f(a+h)−f(a)

C. (f(a+h)−f(a))/f(a)

D. (f(a+h)−f(a))/h

Answer: (D)

Обяснение

Le taux d’accroissement en a est défini par la formule (f(a+h)−f(a))/h, qui mesure la variation de la fonction entre a et a+h, divisée par h.

5. Quelle est la forme de l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y=f(a)x+f'(a)

B. y=f'(a)(x−a)+f(a)

C. y=f'(a)x+f(a)

D. y=f(a)(x−a)+f'(a)

Answer: (B)

Обяснение

La tangente passe par le point (a,f(a)) et a pour coefficient directeur f'(a), d’où la forme y=f'(a)(x−a)+f(a). Les autres formules ne garantissent pas le bon point de passage.

6. Quel est le rôle principal de la dérivée d'une fonction en un point a ?

A. Elle indique la concavité de la courbe en a.

B. Elle mesure la variation instantanée de la fonction en ce point.

C. Elle permet de calculer l'aire sous la courbe entre 0 et a.

D. Elle donne la valeur exacte de la fonction en a.

Answer: (B)

Обяснение

La dérivée en un point a représente la pente de la tangente à la courbe en ce point, ce qui correspond à la variation instantanée de la fonction. Les autres options concernent des concepts différents ou incorrects.

7. Pour f(x)=x^2 en a=3, quelle est l’équation de la tangente ?

A. y=6x−6

B. y=3x−6

C. y=6x−9

D. y=3x−9

Answer: (C)

Обяснение

On a f'(x)=2x, donc f'(3)=6, et la tangente s’écrit y=6(x−3)+9, soit y=6x−9. C’est la droite de pente 6 passant par le point (3,9).

8. Quand la formule du produit (uv)' = u'v + v'u est-elle généralement introduite dans l'apprentissage du calcul différentiel ?

A. Après avoir maîtrisé la dérivation d'une somme

B. Avant d'étudier la dérivation d'une composée

C. Lors de l'introduction de la dérivée d'un quotient

D. Après avoir appris la règle de la dérivée d'une puissance

Answer: (A)

Обяснение

La formule du produit est généralement introduite après avoir maîtrisé la dérivation d'une somme, car elle s'appuie sur la linéarité de la dérivation, mais avant la dérivation d'une composée ou d'un quotient.

9. En quoi la dérivée d’un quotient diffère-t-elle de la dérivée d’un produit ?

A. La dérivée d’un quotient est toujours positive, alors que celle d’un produit peut être négative ou positive.

B. La dérivée d’un quotient ne dépend pas des dérivées des fonctions composantes, contrairement à celle d’un produit.

C. La dérivée d’un quotient utilise une formule avec une différence au numérateur et un carré au dénominateur, tandis que celle d’un produit combine les dérivées de chaque facteur selon une règle spécifique.

D. La dérivée d’un quotient est calculée en divisant la dérivée du numérateur par celle du dénominateur, alors que celle d’un produit multiplie les dérivées.

Answer: (C)

Обяснение

La formule du quotient (u/v)' = (u'v - v'u)/v^2 implique une différence au numérateur et un carré au dénominateur, ce qui la distingue de la règle du produit (u'v + v'u).