Une équation différentielle
Обяснение
Une équation différentielle fait intervenir une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. Ce n’est pas une simple équation algébrique, car la dérivée y apparaît.
C’est une fonction F telle que F′=f sur I
Обяснение
Une primitive de f est définie par l’égalité F′=f sur l’intervalle considéré. Toutes les primitives d’une même fonction diffèrent ensuite d’une constante.
Calculer sa dérivée sur le domaine considéré
Обяснение
On commence par dériver la fonction proposée, puis on remplace y et y′ dans l’équation. La validation repose sur le calcul et la substitution, pas sur le graphique.
Que l’égalité obtenue est vraie sur l’intervalle étudié
Обяснение
Une solution doit rendre l’égalité exacte sur l’intervalle de définition. Le bon réflexe est donc de simplifier jusqu’à retrouver le second membre.
-cos(x)+k
Обяснение
La dérivée de -cos(x) est bien sin(x), donc -cos(x)+k est une primitive de sin(x). En revanche, la dérivée de cos(x) vaut -sin(x).
ln|u(x)|+k
Обяснение
La forme u′/u conduit à une primitive logarithmique. C’est une règle essentielle du calcul de primitives par composition.
e^{u(x)}+k
Обяснение
Comme la dérivée de e^{u(x)} est u′(x)e^{u(x)}, une primitive est e^{u(x)} à une constante près. Les autres propositions ne redonnent pas cette dérivée.
y(x)=Ke^{ax}
Обяснение
Pour a non nul, les solutions de y′=ay sont exactement les fonctions exponentielles de la forme Ke^{ax}. Le paramètre K décrit toutes les solutions.
Elle est constante
Обяснение
En multipliant une solution par e^{-ax}, on obtient une fonction de dérivée nulle, donc constante. Cela permet de retrouver la forme générale Ke^{ax}.
y(x)=Ke^{ax}-b/a
Обяснение
La solution générale combine la solution de l’homogène Ke^{ax} et une solution particulière constante -b/a. C’est le décalage à retenir dans le cas avec terme constant.
-b/a
Обяснение
Une constante c convient si 0=ac+b, donc c=-b/a. En soustrayant cette constante, on retombe ensuite sur l’équation homogène.
L’équation homogène associée
Обяснение
Si f est une solution particulière, alors g−f satisfait l’équation homogène associée. C’est ce qui permet d’écrire ensuite g comme somme d’une solution particulière et de Ke^{ax}.
g(x)=Ke^{3x}+f(x)
Обяснение
Les solutions de l’homogène y′=3y sont Ke^{3x}, donc toute solution s’écrit solution particulière plus Ke^{3x}. Ici, on ajoute donc Ke^{3x} à la solution particulière donnée.
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Équation différentielle — définition ?
Équation impliquant une fonction et ses dérivées.
Équation du premier ordre — caractéristique ?
Relie y et y′, premier ordre.
Primitive d’une fonction — rôle ?
Fonction dont la dérivée est la fonction donnée.
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