Quiz: Introduction aux équations différentielles du premier ordre — 13 questions

1. Comment appelle-t-on une équation qui relie une fonction inconnue à ses dérivées ?

A. Une équation trigonométrique

B. Une équation algébrique

C. Une identité remarquable

D. Une équation différentielle

Answer: (D)

Explanation

Une équation différentielle fait intervenir une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. Ce n’est pas une simple équation algébrique, car la dérivée y apparaît.

2. Quelle affirmation décrit correctement une primitive d’une fonction f sur un intervalle I ?

A. C’est une fonction F telle que F′=0 sur I

B. C’est une fonction F telle que F′=f sur I

C. C’est une fonction F telle que F=f sur I

D. C’est une fonction F dont la dérivée vaut toujours 1

Answer: (B)

Explanation

Une primitive de f est définie par l’égalité F′=f sur l’intervalle considéré. Toutes les primitives d’une même fonction diffèrent ensuite d’une constante.

3. Quelle est la première étape pour vérifier qu’une fonction proposée est solution d’une équation différentielle ?

A. Intégrer l’équation une première fois

B. Tracer sa courbe pour comparer

C. Résoudre l’équation homogène associée

D. Calculer sa dérivée sur le domaine considéré

Answer: (D)

Explanation

On commence par dériver la fonction proposée, puis on remplace y et y′ dans l’équation. La validation repose sur le calcul et la substitution, pas sur le graphique.

4. Que faut-il vérifier après avoir remplacé y par la fonction proposée dans une équation différentielle ?

A. Que la fonction est nulle en un point

B. Que l’égalité obtenue est vraie sur l’intervalle étudié

C. Que la dérivée seconde existe

D. Que la fonction est paire

Answer: (B)

Explanation

Une solution doit rendre l’égalité exacte sur l’intervalle de définition. Le bon réflexe est donc de simplifier jusqu’à retrouver le second membre.

5. Quelle est une primitive de la fonction sin(x) ?

A. sin(x)+k

B. cos(x)+k

C. -sin(x)+k

D. -cos(x)+k

Answer: (D)

Explanation

La dérivée de -cos(x) est bien sin(x), donc -cos(x)+k est une primitive de sin(x). En revanche, la dérivée de cos(x) vaut -sin(x).

6. Quelle primitive s’obtient à partir d’une expression de la forme u′(x)/u(x) lorsque u(x) ne s’annule pas ?

A. ln|u(x)|+k

B. e^{u(x)}+k

C. 1/u(x)+k

D. u(x)^2+k

Answer: (A)

Explanation

La forme u′/u conduit à une primitive logarithmique. C’est une règle essentielle du calcul de primitives par composition.

7. Quelle est une primitive d’une expression de la forme u′(x)e^{u(x)} ?

A. e^{u(x)}+k

B. ln|u(x)|+k

C. u(x)e^{u(x)}+k

D. u′(x)+k

Answer: (A)

Explanation

Comme la dérivée de e^{u(x)} est u′(x)e^{u(x)}, une primitive est e^{u(x)} à une constante près. Les autres propositions ne redonnent pas cette dérivée.

8. Quelles sont les solutions de l’équation y′=ay avec a réel non nul ?

A. y(x)=Ke^{x+a}

B. y(x)=Kx^{a}

C. y(x)=K+a x

D. y(x)=Ke^{ax}

Answer: (D)

Explanation

Pour a non nul, les solutions de y′=ay sont exactement les fonctions exponentielles de la forme Ke^{ax}. Le paramètre K décrit toutes les solutions.

9. Que devient la fonction e^{-ax}f(x) si f est solution de y′=ay ?

A. Elle vérifie y′=a

B. Elle est égale à e^{ax}

C. Elle est constante

D. Elle est toujours nulle

Answer: (C)

Explanation

En multipliant une solution par e^{-ax}, on obtient une fonction de dérivée nulle, donc constante. Cela permet de retrouver la forme générale Ke^{ax}.

10. Quelles sont les solutions de l’équation y′=ay+b avec a non nul ?

A. y(x)=Ke^{ax}+b/a

B. y(x)=Ke^{ax}-b/a

C. y(x)=Kx+b/a

D. y(x)=Ke^{a x+b}

Answer: (B)

Explanation

La solution générale combine la solution de l’homogène Ke^{ax} et une solution particulière constante -b/a. C’est le décalage à retenir dans le cas avec terme constant.

11. Quelle fonction constante peut servir de solution particulière à y′=ay+b lorsque a≠0 ?

A. -b/a

B. 0

C. a/b

D. b/a

Answer: (A)

Explanation

Une constante c convient si 0=ac+b, donc c=-b/a. En soustrayant cette constante, on retombe ensuite sur l’équation homogène.

12. Dans la méthode de résolution de y′=ay+f, que vérifie la différence entre une solution g et une solution particulière f ?

A. L’équation homogène associée

B. Une équation de second ordre

C. Une identité de constantes

D. Une équation sans dérivée

Answer: (A)

Explanation

Si f est une solution particulière, alors g−f satisfait l’équation homogène associée. C’est ce qui permet d’écrire ensuite g comme somme d’une solution particulière et de Ke^{ax}.

13. Si f est une solution particulière de y′-3y=e^x, quelle forme générale ont les autres solutions ?

A. g(x)=f(x)+3K

B. g(x)=Ke^{3x}+f(x)

C. g(x)=K e^{-3x}+f(x)

D. g(x)=Ke^{x}+f(x)

Answer: (B)

Explanation

Les solutions de l’homogène y′=3y sont Ke^{3x}, donc toute solution s’écrit solution particulière plus Ke^{3x}. Ici, on ajoute donc Ke^{3x} à la solution particulière donnée.