Introduction aux Espaces Métriques

1. 📌 L'essentiel

• Un espace métrique est un ensemble avec une distance vérifiant positivité, symétrie, inégalité triangulaire.
• La topologie est définie par les boules ouvertes(a, r) = {x | d(a, x) < r}.
• Les ensembles ouverts sont unions d’ouverts, fermés sont complémentaires d’ouverts.
• La clôture A̅ est le plus petit fermé contenant A ; l’intérieur est la plus grande partie ouverte contenue dans A.
• La convergence d'une suite (a_n) vers a signifie d(a_n, a) → 0.
• Une suite de Cauchy est une où d(a_n, a_q) → 0 quand n, q → ∞.
• Un espace est complet si toutes suites de Cauchy convergent.
• La compacité équivaut à tout recouvrement fini ou à l’existence d’une sous-suite convergente.
• Le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit une sous-suite convergente dans un espace compact.
• La continuité d’une fonction f en a se caractérise par la convergence de f(a_n) vers f(a) quand a_n → a.