Лист за преговор: Maîtrise des fractions et nombres décimaux

📋 Plan du Cours

1. Fractions égales et simplification
2. Réduction au même dénominateur
3. Fraction inverse
4. Comparer et intercaler des fractions
5. Partie entière d’une fraction
6. Calculs avec les fractions
7. Fractions décimales et nombres décimaux
8. Écriture décimale et partie décimale
9. Reconnaître une fraction décimale
10. Valeur des chiffres décimaux
11. Comparer et calculer des décimaux

📖 1. Fractions égales et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions égales : Deux fractions sont égales quand elles représentent la même quantité, même si leur numérateur et leur dénominateur diffèrent.
• Produit en croix : Le produit en croix est un critère qui permet de vérifier l’égalité de deux fractions en comparant les produits “en diagonale”.

📝 Points essentiels

• En multipliant ou en divisant numérateur et dénominateur d’une fraction par le même nombre non nul, on obtient une fraction égale à la fraction de départ.
• Pour des fractions $b/a$ et $d/c$, l’égalité est vraie si et seulement si $a\times d=b\times c$.
• Il existe une infinité de fractions égales à une fraction donnée car on peut multiplier numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.

💡 Astuce mémo

Produit en croix = mêmes diagonales : égalité ⇔ $a\times d=b\times c$.

📖 2. Réduction au même dénominateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple commun : Un multiple commun est un nombre qui est multiple à la fois du dénominateur de la première fraction et de celui de la deuxième.
• Fraction égale au même quotient : Une fraction égale s’obtient en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.
• Produit de facteurs premiers : Réduire par décomposition consiste à écrire chaque dénominateur comme produit de facteurs premiers pour construire un multiple commun plus efficace.

📝 Points essentiels

• Pour réduire les fractions $a/b$ et $c/d$ au même dénominateur, on cherche un multiple commun $m$ de $b$ et de $d$, puis on pose $a/b=a\times x/m$ et $c/d=c\times x/m$ selon $m=x\times b=x\times d$.
• On peut choisir comme multiple commun le plus petit multiple commun, ce qui évite des calculs inutiles.
• Une fois $m$ trouvé avec $m=b\times k=d\times k'$, on obtient directement $a/b=a\times k/m$ et $c/d=c\times k'/m$.
• Méthode par décomposition : écrire $b=p\times q\times r$ et $d=s\times t\times u$, puis prendre un multiple commun en multipliant ensemble les facteurs pour construire $m=p\times q\times r\times s\times t\times u$.
• Après réduction au même dénominateur, chaque fraction a le même dénominateur $m$, ce qui permet ensuite de comparer ou de calculer plus facilement.
• Exemple de calcul : pour $48/36$ et $48/36$? l’exemple du cours montre que trouver $m$ via multiples mène à $48=48\times6/288$ et $36=36\times8/288$ avec le même dénominateur $288$.

💡 Astuce mémo

PPCM : Plus Petit Commun Multiple → même $m$ en réduit $a/b$ et $c/d$.

📖 3. Fraction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres sont dits inverses si leur produit vaut 1.
• Inverse d’une fraction : L’inverse de la fraction b/a est la fraction a/b quand a et b sont des entiers relatifs non nuls.

📝 Points essentiels

• Le produit d’une fraction et de son inverse vaut 1 quand la fraction est définie avec un numérateur et un dénominateur non nuls.
• L’inverse de a/b s’obtient en échangeant numérateur et dénominateur, soit a/b → b/a.
• L’inverse n’existe pas quand la fraction a un numérateur ou un dénominateur nul, car on ne peut pas obtenir un produit égal à 1.

💡 Astuce mémo

Mémo : « Inverse = on inverse les rôles » (numérateur devient dénominateur et inversement).

📖 4. Comparer et intercaler des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Demi-somme de deux entiers : La demi-somme de deux nombres entiers $a$ et $b$ est le nombre rationnel compris entre eux, égal à $\frac{a+b}{2}$.
• Comparer des fractions : Comparer des fractions consiste à décider laquelle est la plus grande en utilisant leurs numérateurs et/ou dénominateurs.
• Intercaler des fractions : Intercaler des fractions revient à construire un nombre rationnel strictement compris entre deux nombres rationnels donnés.

📝 Points essentiels

• Si deux fractions ont le même dénominateur, celle qui a le plus grand numérateur est la plus grande.
• Si deux fractions ont le même numérateur, celle qui a le plus petit dénominateur est la plus grande.
• Si deux fractions n’ont ni le même numérateur ni le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur puis on compare leurs numérateurs.
• Entre deux nombres rationnels $a<b$, le rationnel $\frac{a+b}{2}$ est strictement plus grand que $a$ et strictement plus petit que $b$.
• On peut répéter le procédé d’intercalation pour obtenir une infinité de rationnels entre $a$ et $b$.
• Entre 87 et 88, la fraction obtenue par la demi-somme fournit un rationnel intercalé possible, par exemple $\frac{87}{88}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur ⇒ grand numérateur gagne ; même numérateur ⇒ petit dénominateur gagne.

📖 5. Partie entière d’une fraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière d'une fraction : La partie entière d'une fraction est le plus grand entier inférieur à cette fraction.
• Décomposition partie entière : Une fraction peut s’écrire comme somme de sa partie entière et d’une fraction comprise entre 0 et 1.
• Division euclidienne p par b : La division euclidienne de p par b fournit un quotient q et un reste r tels que p = bq + r avec 0 ≤ r < b.

📝 Points essentiels

• Pour trouver la partie entière d’une fraction positive p/b, on calcule le quotient q et le reste r de la division euclidienne de p par b et la partie entière vaut q.
• Pour une fraction positive p/b, le reste r devient le numérateur de la fraction complémentaire r/b, avec une fraction strictement entre 0 et 1.
• Pour p/b négatif, la partie entière est le quotient de la division euclidienne mais c’est le nombre inférieur recherché, par exemple la partie entière de -178/15 vaut -12.
• La condition de division euclidienne garantit que le reste est strictement inférieur au diviseur, ce qui explique que la fraction complémentaire est bien inférieure à 1.

📖 6. Calculs avec les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de fractions : L’addition de fractions consiste à remplacer les fractions par des fractions égales ayant le même dénominateur avant de combiner les numérateurs.
• Multiplication de fractions : La multiplication de fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au préalable si possible.
• Division de fractions : Diviser une fraction par une autre revient à multiplier la première par l’inverse de la seconde.
• Règles de priorité : Les règles de priorité des opérations s’appliquent aux calculs de fractions comme dans les autres calculs arithmétiques.

📝 Points essentiels

• Pour $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ et $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}$, on met au même dénominateur et on obtient respectivement $\dfrac{ad+bc}{bd}$ et $\dfrac{ad-bc}{bd}$.
• Pour $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}$, le résultat est $\dfrac{ac}{bd}$, et on gagne à simplifier avant d’effectuer tous les produits.
• Pour $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}$, on transforme en $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$, donc $\dfrac{ad}{bc}$.
• Multiplier une fraction par un entier naturel revient à multiplier son numérateur par cet entier, par exemple $\dfrac{a}{b}\times c=\dfrac{ac}{b}$.
• Avec l’exemple, $\dfrac{10}{21}\times\dfrac{35}{6}=\dfrac{25}{2}$ après simplifications.
• Les parenthèses et la priorité des opérations s’appliquent à des expressions du type $\frac{7}{2}\times\frac{7}{5}$ comme dans le calcul QCM 7 du cours.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour + et − ; produits des numérateurs/ dénominateurs pour × ; division = multiplication par l’inverse.

📖 7. Fractions décimales et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction décimale : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
• Nombre décimal positif : Un nombre décimal positif est un nombre qui s’écrit comme une fraction décimale et qui n’est pas un entier naturel.
• Partie entière : La partie entière d’un nombre décimal est le plus grand entier inférieur à ce nombre.
• Écriture décimale à virgule : L’écriture décimale à virgule est l’écriture d’un nombre décimal sous forme avec une virgule et un nombre fini de chiffres à droite.

📝 Points essentiels

• Dans une fraction décimale, la décomposition unique est somme d’un entier (éventuellement 0) et d’une partie décimale dont la somme vaut moins de 1.
• Une fraction irréductible a valeur décimale si son dénominateur s’écrit uniquement avec des puissances de 2 et/ou de 5 (forme $2^x\times 5^y$).
• Une somme $2+\frac{5}{100}$ s’écrit $2,05$ (pas $2,5$) car $\frac{5}{100}$ correspond au rang des centièmes.
• La valeur des chiffres se lit avec les puissances de 10 : à gauche $10^0,10^1,10^2,\dots$ et à droite $10^{-1},10^{-2},\dots$.
• Un nombre décimal s’écrit toujours comme somme de sa partie entière et de sa partie décimale (pour $12,23$, on a $12+\frac{23}{100}$).

💡 Astuce mémo

Fraction décimale : dénominateur $10^n$ ; virgule : chaque chiffre avance d’une puissance de $\times 10^{-1}$.

📖 8. Écriture décimale et partie décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie décimale : La partie décimale est la fraction située après la virgule dans l’écriture d’un nombre décimal.
• Nombre décimal : Un nombre décimal peut s’écrire comme la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.

📝 Points essentiels

• Un nombre décimal peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
• La partie entière de 12,23 est 12 et la partie décimale est 0,23.
• 12,23 se décompose en 12 + 23/100, où 23/100 correspond aux chiffres après la virgule.
• La notation 2 + 5/100 donne 2,05 et non 2,5 car 5/100 correspond aux centièmes.
• La partie décimale de 12,23 n’est pas 0,023 mais 0,23, car on ne déplace pas d’ordre décimal.

💡 Astuce mémo

Virgule = découpes par rangs : à gauche unités, à droite dixièmes/centièmes… (le bon rang fixe la valeur).

📖 9. Reconnaître une fraction décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun.
• Facteurs premiers : Les facteurs premiers sont les nombres premiers dont le produit reconstitue le numérateur ou le dénominateur.
• Dénominateur en 2 et 5 : Quand une fraction irréductible a un dénominateur dont les seuls facteurs premiers sont 2 et 5, elle correspond à un nombre décimal.

📝 Points essentiels

• Une fraction est décimale quand, après réduction en irréductible a/b, le dénominateur ne contient que des puissances de 2 et de 5 (forme 2^x×5^y).
• Pour décider, décompose numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers puis simplifie pour obtenir la fraction irréductible.
• Exemple : 45/600 se simplifie en 3/(2^3×5), donc 45/600 représente un nombre décimal.
• Exemple : 45/1050 se simplifie en 3/(2×7), car 7 apparaît au dénominateur irréductible, donc 45/1050 ne représente pas un nombre décimal.

💡 Astuce mémo

Astuce : Pour faire des dixièmes, il faut des “roues de 10” : seules les puissances de 2 et 5 au dénominateur donnent un nombre décimal.

📖 10. Valeur des chiffres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Chiffre des dixièmes : Le chiffre des dixièmes est celui placé au premier rang à droite de la virgule dans une écriture décimale.
• Nombre de dixièmes : Le nombre de dixièmes est la quantité totale de dixièmes représentée par le nombre, obtenue en comptant les dixièmes après décalage de la virgule.
• Chiffre des millièmes : Le chiffre des millièmes est celui placé au troisième rang à droite de la virgule dans une écriture décimale.
• Chiffre des centièmes : Le chiffre des centièmes est celui placé au deuxième rang à droite de la virgule dans une écriture décimale.

📝 Points essentiels

• Dans 205,502, le 2 de « 205 » est le chiffre des centaines et il vaut 2×100.
• Dans 205,502, le chiffre des dixièmes est 5 et sa valeur est 5×10⁻¹.
• Dans 205,502, le chiffre des millièmes est 2 et il vaut 2×10⁻³.
• Ne pas confondre le chiffre des dixièmes (le 5) et le nombre de dixièmes (quantité totale de dixièmes) dans une même écriture décimale.
• Un nombre décimal écrit avec deux chiffres à droite de la virgule a pour unité de précision le centième et son chiffre des centièmes est le deuxième chiffre après la virgule (exemple : 120,05 a 5 pour le chiffre des centièmes).

💡 Astuce mémo

Virgule→puissance : 1 chiffre après la virgule = ×10⁻¹ (dixièmes), 2 = ×10⁻² (centièmes), 3 = ×10⁻³ (millièmes).

📖 11. Comparer et calculer des décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang des chiffres : Notion de position d’un chiffre après la virgule, où dixièmes puis centièmes puis millièmes déterminent la comparaison.
• Comparaison par parties : Méthode où l’on compare d’abord les parties entières, puis le premier chiffre différent à droite de la virgule.
• Division décimale : Technique qui transforme une division de décimaux en une division sur des entiers en déplaçant la virgule du même nombre de rangs.

📝 Points essentiels

• Pour comparer deux décimaux, on regarde d’abord les parties entières, puis le premier rang à droite de la virgule où les chiffres diffèrent, en considérant les absences comme des 0.
• Exemple : $0,27>0,206$ car $0,27=27/100$ et $0,206=206/1000$, donc $270/1000>206/1000$.
• Pour addition et soustraction, on aligne les virgules et on complète avec des zéros quand un nombre n’a pas de chiffre à un certain rang.
• Pour multiplier deux décimaux, on multiplie comme des entiers puis on place la virgule en comptant au total le nombre de chiffres après la virgule des deux facteurs.
• Pour diviser un décimal par un entier, on déplace la virgule pour obtenir une division de nombres entiers et on repère à quel quotient approché on arrive.
• Le même quotient approché par défaut peut apparaître selon l’écriture équivalente obtenue en multipliant numérateur et dénominateur par la même puissance de 10.

💡 Astuce mémo

Comparaison : parties entières d’abord, puis premier chiffre différent à droite de la virgule ; calcul : virgule déplacée en dénominateur/placement après multiplication.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de comparaison de fractions

Situation	Règle	Plus grand devient
Même dénominateur	Comparer les numérateurs	Fraction au plus grand numérateur
Même numérateur	Comparer les dénominateurs	Fraction au plus petit dénominateur
Ni même numérateur ni même dénominateur	Réduire au même dénominateur puis comparer	Fraction au plus grand numérateur obtenu

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « multiplier par un même nombre » et « ajouter » : a/b = a×k/(b×k), on ne change pas la valeur en multipliant numérateur et dénominateur par k.
2. Oublier que le produit en croix vérifie : b/a = d/c ⇔ a×d = b×c, avec les bons numérateurs/dénominateurs.
3. Penser qu’intercaler entre deux rationnels nécessite la demi-somme à partir de fractions toujours déjà simples : le procédé marche sur des rationnels a<b via (a+b)/2.
4. Rater la règle de priorité des calculs : en expressions avec fractions, + et − se font après × et : ; les parenthèses comptent.
5. Pour 12,23, croire que la partie décimale vaut 0,023 : le cours dit 0,23, car on ne déplace pas l’ordre décimal.
6. Confondre « chiffre des dixièmes » et « nombre de dixièmes » : le chiffre est une valeur unitaire (×10⁻¹) alors que le nombre total de dixièmes est une quantité.
7. Croire qu’une fraction décimale est seulement « celle qui a un 10 au dénominateur » : il faut la fraction irréductible, dont le dénominateur ne contient que des puissances de 2 et/ou 5.

✅ Checklist Examen

1. Savoir dire quand deux fractions sont égales et écrire la condition par produit en croix.
2. Savoir trouver une fraction égale à a/b en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.
3. Savoir réduire deux fractions au même dénominateur (multiple commun, éventuellement PPCM par décomposition).
4. Savoir obtenir la fraction irréductible égale à une fraction a/b en décomposant en facteurs premiers puis en supprimant les facteurs communs.
5. Savoir calculer l’inverse d’une fraction (échange numérateur/dénominateur) et rappeler qu’il n’existe pas si numérateur ou dénominateur est nul.
6. Savoir comparer deux fractions : même dénominateur, même numérateur, sinon réduction au même dénominateur.
7. Savoir intercaler un rationnel entre deux rationnels a<b en utilisant la demi-somme (a+b)/2 et répéter si demandé.
8. Savoir déterminer la partie entière d’une fraction a/b par division euclidienne (p/b positive ou négative).
9. Savoir effectuer des calculs avec fractions : +/− avec même dénominateur, × avec produits, : en multipliant par l’inverse, en respectant les priorités et les parenthèses.
10. Savoir reconnaître une fraction décimale : simplifier en irréductible puis vérifier que le dénominateur ne contient que des puissances de 2 et/ou 5.
11. Savoir passer entre écritures : fraction décimale <-> écriture à virgule (virgule = rangs 10⁻¹, 10⁻², etc.).
12. Savoir utiliser la partie entière et la partie décimale d’un décimal (ex : 12,23 = 12 + 23/100) et comparer/ranger des décimaux par parties entières puis premiers rangs différents.