Revision sheet: Introduction aux taux d’intérêt et capitalisation

📋 Plan du Cours

1. Coût d’opportunité et prix du temps
2. Capitalisation simple et capitalisation composée
3. Actualisation et taux équivalents
4. Gamme des taux et taux actuariel
5. Théories économiques des taux d’intérêt
6. Courbe des taux et structure par terme

📖 1. Coût d’opportunité et prix du temps

🔑 Notions clés & Définitions

• Coût d’opportunité : Le coût d’opportunité mesure la valeur de la meilleure alternative à laquelle on renonce en choisissant un placement ou une dépense.
• Prix du temps : Le prix du temps exprime que disposer d’une somme aujourd’hui vaut plus que la même somme plus tard, à cause de la rémunération possible.

📖 2. Capitalisation simple et capitalisation composée

🔑 Notions clés & Définitions

• Capitalisation simple : La capitalisation simple calcule la valeur future en appliquant un taux i proportionnel au nombre de périodes t, sans capitaliser les intérêts.
• Capitalisation composée : La capitalisation composée calcule la valeur future en capitalisant les intérêts à chaque période via une puissance du facteur (1+i)^t.
• Facteur de capitalisation : Le facteur de capitalisation est l’expression qui multiplie le capital pour obtenir la valeur future, comme (1+i)^t en capitalisation composée.

📝 Points essentiels

• En capitalisation simple, la valeur future s’écrit $VF=Capital\,(1+i\,t)$ avec i le taux par période et t le nombre de périodes.
• En capitalisation composée, la valeur future s’écrit $VF=Capital\,(1+i)^t$ où $t$ est le nombre de périodes.
• Exemple simple : $100(1+0,05\times2)=110$.
• Exemple composé : $100(1+0,05)^{100}=13\,150$ (valeur future).
• Le facteur de capitalisation en composé est $(1+i)^t$ et sert directement au calcul de $VF$.

💡 Astuce mémo

Simple : i×t (linéaire) ; Composé : (1+i)^t (puissance).

📖 3. Actualisation et taux équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Actualisation : L’actualisation ramène une valeur future à sa valeur présente en la divisant par un facteur de capitalisation.
• Taux équivalent : Un taux équivalent est un taux qui donne le même résultat financier sur une durée donnée, même si la fréquence de paiement change.
• Taux annuel équivalent : Le taux annuel équivalent est le taux annuel ia qui produit le même facteur de croissance qu’un taux mensuel im sur une année.

📝 Points essentiels

• En actualisation, la valeur présente s’écrit $VA=VF/(1+i)^t$ (on “fait l’inverse” de la capitalisation).
• Exemple : $VA=2000/(1+0,05)^5=1\,567$ pour un versement de 2000 dans 5 ans à 5%.
• Exemple : si 1000 aujourd’hui devient 1400 dans 4 ans, le taux annuel équivalent vérifie $1+i=(1,4)^{1/4}$ donc $i=(1,4)^{1/4}-1=0,08$.
• Pour passer d’un taux annuel ia à un taux mensuel im, on impose l’égalité des facteurs : $(1+ia)^{1/12}=(1+im)$.
• Donc $im=(1+ia)^{1/12}-1$ ; avec ia=5%, on obtient $im\approx0,407\%$ par mois.

💡 Astuce mémo

Équivalents : même facteur, donc $(1+\text{taux})^{\text{périodes}}$ identique.

📖 4. Gamme des taux et taux actuariel

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux nominal proportionnel : Le taux nominal proportionnel est un taux annoncé calculé comme une fraction du capital par période, sans tenir compte de l’effet actuariel sur la durée.
• Taux actuariel : Le taux actuariel est le taux effectif qui rend l’égalité entre valeur d’émission et valeur des flux actualisés.
• Taux actuariel effectif : Le taux actuariel effectif est le taux effectif corrigé des erreurs du taux nominal, considéré comme le plus proche de la réalité.

📝 Points essentiels

• Exemple : emprunt 1000 remboursé 1100 à t+2 donne un taux nominal proportionnel de $10\%/2=5\%$.
• Le taux actuariel ia vérifie $1000=1100/(1+ia)^2$, donc $ia=(1100/1000)^{1/2}-1$.
• Le taux actuariel effectif est présenté comme le “vrai taux” car il corrige les écarts du nominal.
• Obligation : valeur émission 1000, échéance 10 ans, coupon 10% ; chaque année le coupon vaut 100.
• Si le taux coupon est 20%, alors le prix X de l’ancienne obligation se trouve par $100/X=0,2$ donc $X=100/0,2=500$.

💡 Astuce mémo

Nominal : “taux annoncé” ; Actuariel : “taux qui égalise l’émission aux flux actualisés”.

📖 5. Théories économiques des taux d’intérêt

🔑 Notions clés & Définitions

• Approche classique : L’approche classique explique la formation des taux d’intérêt à partir de mécanismes macroéconomiques liés à l’épargne et à l’investissement.
• Approche wicksellienne : L’approche wicksellienne relie le niveau des taux d’intérêt à l’équilibre entre taux monétaire et taux naturel.
• Approche keynésienne : L’approche keynésienne décrit les taux d’intérêt comme issus de la préférence pour la liquidité et de l’offre de monnaie.
• Choix de portefeuille : Le choix de portefeuille étudie comment les investisseurs répartissent leur richesse entre actifs selon rendement et risque.

📖 6. Courbe des taux et structure par terme

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe des taux : La courbe des taux représente l’évolution des rendements en fonction des maturités des obligations.
• Structure par terme : La structure par terme décrit la relation entre les taux d’intérêt et la durée jusqu’à l’échéance.
• Pair : Le pair est la valeur à maturité d’une obligation, notée V à maturité.
• Risque de crédit : Le risque de crédit correspond au risque de défaut de l’émetteur.

📝 Points essentiels

• Le pair correspond à la valeur à maturité V.
• Risque de taux : rendement < 0 ; risque de liquidité : difficulté de remboursement à court terme.
• Sur le marché, le taux est décomposé en : taux sans risque + prime de risque de crédit + prime de risque de taux + prime de risque de liquidité.
• Une hausse des taux est associée à une hausse du risque.
• Une courbe des taux inversée signale un risque accru à court terme par rapport au long terme et peut prévenir une crise économique ; en cas d’inversion, les investisseurs revendent à court terme, ce qui fait baisser le “

💡 Astuce mémo

Inversion = CT plus risqué : les prix CT baissent, les rendements CT montent.

📊 Tableaux de synthèse

Capitalisation simple vs composée

Méthode	Formule	Effet des intérêts
Simple	$VF=Capital(1+i\,t)$	Intérêts non capitalisés (linéaire en t)
Composée	$VF=Capital(1+i)^t$	Intérêts capitalisés (puissance en t)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre capitalisation simple et composée : la simple multiplie par $(1+i\,t)$ alors que la composée utilise $(1+i)^t$.
2. Inverser l’actualisation : on doit diviser par $(1+i)^t$ pour obtenir $VA$, pas multiplier.
3. Mélanger taux nominal et taux actuariel : le nominal peut donner un taux “annoncé” différent du taux effectif calculé par actualisation des flux.
4. Oublier l’égalité des facteurs pour les taux équivalents : $(1+ia)^{1/12}=(1+im)$ impose le même facteur sur l’année.
5. Interpréter à tort la courbe des taux : une inversion est reliée au risque CT plus élevé que LT et à une dynamique de revente qui modifie les rendements.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et utiliser $VF=Capital(1+i\,t)$ en capitalisation simple.
2. Savoir écrire et utiliser $VF=Capital(1+i)^t$ en capitalisation composée.
3. Savoir actualiser : calculer $VA=VF/(1+i)^t$ à partir d’un exemple numérique.
4. Savoir calculer un taux équivalent mensuel à partir d’un taux annuel via $im=(1+ia)^{1/12}-1$.
5. Savoir calculer un taux annuel équivalent à partir de $VA$ et $VF$ sur t périodes via $i=(\frac{VF}{VA})^{1/t}-1$.
6. Savoir distinguer taux nominal proportionnel et taux actuariel à partir d’un emprunt (ex : 1000→1100 en 2 ans).
7. Savoir interpréter le taux actuariel effectif comme taux effectif corrigé du nominal.
8. Savoir appliquer la logique d’évaluation d’obligation avec coupon et prix (ex : $100/X=0,2$).
9. Savoir identifier les risques associés aux taux (crédit, taux, liquidité) et leurs formulations qualitatives.
10. Savoir décomposer le taux de marché en taux sans risque + primes de risque (crédit, taux, liquidité).
11. Savoir interpréter une courbe des taux inversée (risque CT > LT, revente CT, prix baisse et rendements CT augmentent).