Revision sheet: Analyse des Relations entre Variables

📋 Plan du Cours

1. Variables qualitatives
2. Variables quantitatives
3. Distribution variables qualitatives
4. Distribution variables quantitatives
5. Paramètres de position
6. Paramètres de dispersion
7. Représentations graphiques
8. Statistique univariée
9. Statistique bivariée
10. Indépendance variables
11. Corrélation de Pearson
12. Corrélation de Spearman

📖 1. Variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable qualitative : variable dont les valeurs ne représentent pas une quantité numérique, mais des modalités ou catégories (exemples : espèces, races). Elle permet de classer ou d’identifier des individus selon des caractéristiques non numériques.

• Variable qualitative ordinale : variable qualitative dont les modalités peuvent être classées selon un ordre logique ou hiérarchique. Par exemple : degré de sévérité d’une maladie (faible, moyenne, forte). La comparaison entre modalités repose sur leur ordre.

• Modalités : valeurs ou catégories distinctes d’une variable qualitative (exemples : races, espèces). Elles représentent les différentes classes possibles que peut prendre la variable.

• Effectif d'une modalité : nombre d’observations ou d’individus appartenant à une modalité spécifique. C’est le nombre de fois qu’une modalité apparaît dans l’échantillon ou la population.

• Fréquence (proportion) d'une modalité : effectif de cette modalité divisé par l’effectif total de l’échantillon ou de la population. Elle exprime la proportion ou le pourcentage d’individus appartenant à cette modalité.

📝 Points essentiels

• La variable qualitative permet de décrire des caractéristiques non numériques, en distinguant ses modalités (ou catégories). La distribution de cette variable consiste à connaître le nombre ou la proportion d’individus pour chaque modalité, ce qui permet d’établir la fréquence ou l’effectif de chaque classe.

• La distinction entre variable qualitative ordinale et nominale repose sur la possibilité de classer ou non ses modalités selon un ordre logique. La variable ordinale possède un ordre, tandis que la nominale ne possède pas d’ordre précis.

• La représentation graphique de la distribution d’une variable qualitative se fait principalement via un diagramme à barres ou un diagramme circulaire (camembert), illustrant la répartition des effectifs ou fréquences.

💡 À retenir

Une variable qualitative décrit des catégories ou modalités sans valeur numérique intrinsèque. La distinction entre ordinale et nominale repose sur la présence ou non d’un ordre logique entre les modalités.

📖 2. Variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable quantitative : variable dont les valeurs mesurées sur chaque individu représentent une quantité numérique, permettant d'effectuer des opérations arithmétiques (voir aussi distribution d'une variable aléatoire).
• Variable quantitative discrète : variable qui prend des valeurs isolées, généralement entières, comme le nombre d'arbres dans une parcelle. Selon Rodolphe Loubaton (date), elle peut être étudiée comme variable qualitative ordinale.
• Variable quantitative continue : variable qui peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle, comme la taille ou le poids, permettant une précision infinie dans la mesure (voir aussi distribution d’une variable aléatoire).

📝 Points essentiels

• La variable quantitative permet de mesurer une quantité numérique, ce qui autorise des opérations comme la moyenne, la variance, etc.
• La distinction entre discrète et continue repose sur la nature des valeurs possibles : isolées pour la discrète, toutes les valeurs d’un intervalle pour la continue.
• La variable discrète peut être traitée comme variable qualitative ordinale, notamment pour des représentations graphiques ou des regroupements en classes.
• Selon Rodolphe Loubaton (date), la variable quantitative peut être modélisée par une variable aléatoire avec une distribution spécifique (ex. loi uniforme, binomiale, Poisson, etc.), permettant d’étudier ses propriétés probabilistes.
• La moyenne (paramètre de position) et la variance (paramètre de dispersion) sont des indicateurs fondamentaux pour résumer une variable quantitative. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, tandis que la variance mesure la dispersion autour de la moyenne.

💡 À retenir

Les variables quantitatives, discrètes ou continues, sont essentielles pour quantifier et analyser des phénomènes numériques, en utilisant des paramètres de position et de dispersion pour résumer leur comportement.

📖 3. Distribution variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution d'une variable qualitative : ensemble des effectifs et fréquences des modalités, permettant de décrire la répartition des observations selon chaque catégorie ou niveau (voir aussi "effectifs" et "fréquences" en variables qualitatives).
• Vecteur des effectifs (n_k) : ensemble des nombres d’individus observés pour chaque modalité k, avec n_k ∈ N et ∑_{k=1}^p n_k = n, où p est le nombre de modalités.
• Vecteur des fréquences (f_k) : ensemble des proportions ou parts de chaque modalité, calculées par f_k = n_k / n, avec ∑_{k=1}^p f_k = 1.
• Somme des effectifs : total des observations, égale à n, l’effectif global de l’échantillon ou population.
• Somme des fréquences : égale à 1, représentant la totalité des observations réparties en proportions.
• Distribution théorique vs distribution observée : comparaison entre la proportion attendue selon un modèle ou hypothèse (distribution théorique) et la proportion réellement constatée dans les données (distribution observée ou empirique).

📝 Points essentiels

• La distribution d’une variable qualitative est entièrement caractérisée par ses effectifs (n_k) ou ses fréquences (f_k).
• La somme des effectifs (∑ n_k) doit être égale à l’effectif total n, et la somme des fréquences (∑ f_k) doit être égale à 1.
• La représentation graphique la plus courante est le diagramme à barres, illustrant la répartition des effectifs ou fréquences par modalité.
• La distribution observée peut être comparée à une distribution théorique pour tester la conformité ou détecter des écarts significatifs (voir aussi "comparaison des proportions").

💡 À retenir

La distribution d'une variable qualitative se résume à ses effectifs et fréquences, qui permettent de décrire et visualiser la répartition des modalités, tout en facilitant la comparaison avec une distribution théorique.

📖 4. Distribution variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

Distribution d'une variable aléatoire : Fonction mathématique qui associe à chaque valeur possible de la variable la probabilité ou la densité correspondante, caractérisée par des paramètres. Selon Srowen (date non précisée), elle décrit les probabilités de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire.

Fonction de densité (pour une variable continue) : Fonction $f(x)$ qui indique la densité de probabilité en chaque point, telle que l'intégrale sur tout l'espace soit égale à 1. Elle permet de calculer la probabilité que la variable prenne une valeur dans un intervalle.

Distribution d'une variable quantitative discrète : Distribution qui concerne une variable prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs isolées, avec une fonction de probabilité associée $P(X=k)$. Exemple : loi binomiale ou loi de Poisson.

Distribution d'une variable quantitative continue : Distribution qui concerne une variable pouvant prendre toutes les valeurs d’un intervalle, décrite par une fonction de densité $f(x)$. Exemple : loi uniforme continue, loi exponentielle.

Estimation de la distribution à partir d’un échantillon : Approche consistant à déduire la distribution de la population en utilisant les données observées dans un échantillon, par exemple par la construction d’une fonction de densité empirique ou par ajustement à une distribution théorique.

📝 Points essentiels

• La distribution d'une variable aléatoire est définie par une fonction qui décrit la probabilité ou la densité pour chaque valeur possible, avec des paramètres spécifiques (ex : $\lambda$ pour la loi exponentielle ou la loi de Poisson). Elle permet de modéliser le comportement probabiliste de la variable (voir Srowen).

• La fonction de densité $f(x)$ pour une variable continue doit satisfaire $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$. Elle permet de calculer la probabilité que la variable prenne une valeur dans un intervalle via l’intégrale de $f(x)$.

• La distribution discrète est caractérisée par une fonction de probabilité $P(X=k)$ pour chaque valeur $k$. La somme des probabilités sur toutes les valeurs doit être égale à 1.

• La distribution continue est caractérisée par une fonction de densité $f(x)$. La probabilité que la variable prenne une valeur dans un intervalle $[a, b]$ est donnée par $\int_a^b f(x) dx$.

• L’estimation de la distribution à partir d’un échantillon consiste à utiliser les données observées pour reconstruire ou ajuster une fonction de densité ou une distribution théorique, par exemple via la fonction de densité empirique ou par méthodes paramétriques.

💡 À retenir

La distribution d'une variable quantitative, discrète ou continue, décrit la façon dont ses valeurs sont réparties probabilistiquement, et peut être estimée à partir d’un échantillon pour modéliser la population.

📖 5. Paramètres de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : RODOLPHE LOUBATON (2026) : indicateur de position qui calcule la somme des valeurs d’un ensemble divisée par le nombre d’observations, permettant de représenter une valeur centrale.
• Médiane : valeur qui partage un ensemble de données ordonnées en deux parties égales, avec 50% des observations en dessous et 50% au-dessus.
• Mode : RODOLPHE LOUBATON (2026) : valeur la plus fréquente dans une distribution, représentant la modalité la plus répandue.

📝 Points essentiels

• Le paramètre de position vise à situer une référence centrale dans un ensemble de données, facilitant la synthèse et la comparaison.
• La moyenne arithmétique est la mesure la plus couramment utilisée, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes, ce qui peut la rendre peu représentative en présence d’outliers.
• La médiane est insensible aux valeurs extrêmes, ce qui la rend particulièrement utile pour des distributions asymétriques ou avec valeurs aberrantes.
• Le mode permet d’identifier la modalité la plus fréquente, utile notamment pour des variables qualitatives ou pour détecter la ou les valeurs les plus représentatives dans une distribution multimodale.
• Ces paramètres permettent de situer la majorité des données autour d’un point de référence, facilitant l’analyse descriptive.

💡 À retenir

Les paramètres de position (moyenne, médiane, mode) offrent des repères essentiels pour résumer la localisation centrale d’un ensemble de données, chacun ayant ses avantages et limites selon la nature de la distribution.

📖 6. Paramètres de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance, notée $\text{var}(x)$, mesure la dispersion des valeurs d’une variable autour de sa moyenne. Elle correspond à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne arithmétique, soit $\text{var}(x) := \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k - \bar{x})^2$. La version corrigée, avec correction de Bessel, est $\tilde{s}^2_x := \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (x_k - \bar{x})^2$ (d’après R).

• Écart-type : L’écart-type, noté $s_x$, est la racine carrée de la variance. Il permet d’interpréter la dispersion dans la même unité que la moyenne, avec $s_x = \sqrt{\text{var}(x)}$. Selon R (27/01/26), il indique la majorité des valeurs autour de la moyenne dans un intervalle $\bar{x} \pm \sigma$.

• Étendue : L’étendue, notée $e(x)$, est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de l’échantillon, soit $e(x) := \max(x) - \min(x)$. Elle est sensible aux valeurs extrêmes, ce qui en limite l’utilisation comme indicateur stable (d’après R).

• Écart interquartiles : La différence entre le troisième et le premier quartile, $Q_{0.75} - Q_{0.25}$, représente la dispersion centrale. Elle est visualisée par un box-plot et est plus robuste que l’étendue, notamment face aux valeurs extrêmes (d’après R).

• Coefficient de variation (CV) : Indicateur sans unité, défini par $CV = \frac{s_x}{\bar{x}} \times 100\%$, il mesure la dispersion relative par rapport à la moyenne. Selon R (27/01/26), il permet de comparer la variabilité entre variables avec unités différentes.

📝 Points essentiels

• La variance et l’écart-type quantifient la dispersion autour de la moyenne, la variance étant leur moyenne des carrés, et l’écart-type leur racine carrée (R, 27/01/26).
• La correction de Bessel ($n-1$) est utilisée pour obtenir un estimateur sans biais de la variance dans un échantillon (R).
• L’étendue est simple à calculer mais sensible aux valeurs extrêmes, ce qui limite son usage pour des distributions avec valeurs aberrantes.
• L’écart interquartile, plus robuste, permet d’évaluer la dispersion centrale sans être influencé par les extrêmes.
• Le coefficient de variation facilite la comparaison de dispersion entre variables de différentes unités ou échelles, en exprimant la dispersion en pourcentage de la moyenne (R).

💡 À retenir

Les paramètres de dispersion, tels que la variance, l’écart-type et l’écart interquartiles, permettent de résumer la variabilité des données autour d’un indicateur central, en étant plus ou moins sensibles aux valeurs extrêmes.

📖 7. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme à barres : Représentation graphique des effectifs ou fréquences d'une variable qualitative à l'aide de rectangles dont la hauteur est proportionnelle à la valeur observée (effectif ou fréquence). Rodolphe Loubaton (2026) : "Un diagramme en barres illustre la répartition des effectifs/fréquences d’une variable statistique qualitative au moyen de rectangles."
• Diagramme circulaire (camembert) : Représentation graphique des proportions des modalités d'une variable qualitative, chaque modalité étant représentée par une part de disque proportionnelle à sa fréquence ou effectif. Rodolphe Loubaton (2026) : "Un diagramme circulaire illustre la répartition des effectifs ou fréquences, chaque modalité étant représentée par une part de disque proportionnelle à sa fréquence."
• Histogramme : Représentation graphique d'une variable quantitative, constituée de barres adjacentes dont la hauteur indique la fréquence ou l'effectif dans chaque classe, permettant d'observer la distribution de la variable. Rodolphe Loubaton (2026) : "L'histogramme permet de représenter la forme de la fonction de densité (de probabilité) de la variable quantitative."

📝 Points essentiels

• Le diagramme à barres est utilisé pour visualiser la répartition des modalités d'une variable qualitative, en représentant chaque modalité par un rectangle dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. Il facilite la comparaison entre modalités.
• Le diagramme circulaire est particulièrement adapté pour montrer la proportion relative de chaque modalité dans l'ensemble, en utilisant des parts de disque dont la taille est proportionnelle à la fréquence. Il offre une visualisation intuitive des parts relatives.
• L'histogramme est la représentation graphique privilégiée pour les variables quantitatives. Il permet d'observer la distribution, la forme, la dispersion et la présence éventuelle de modes ou asymétries. La largeur des classes est généralement déterminée selon la règle de Sturges : p = 1 + log2 n.
• Ces représentations graphiques sont essentielles pour analyser visuellement la distribution des données et détecter des caractéristiques importantes telles que la symétrie, l'asymétrie, la multimodalité ou la présence de valeurs extrêmes.
• La distinction entre diagrammes à barres et histogrammes : le premier concerne des variables qualitatives, le second des variables quantitatives.

💡 À retenir

Les diagrammes à barres et circulaires sont utilisés pour représenter la distribution des variables qualitatives, tandis que l'histogramme est la principale représentation graphique pour analyser la forme et la dispersion des variables quantitatives.

📖 8. Statistique univariée

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive univariée : Ensemble de méthodes permettant de synthétiser, décrire et résumer les données d'une seule variable, souvent à partir d’un échantillon, en utilisant des indicateurs et des représentations graphiques (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• Variable qualitative : Variable dont les valeurs ne représentent pas une quantité numérique mais des modalités ou catégories (ex : espèces, races). Elle peut être ordinale (avec un ordre logique, ex : degré de sévérité) ou nominale (sans ordre, ex : race des bovins) (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• Effectifs et fréquences : L’effectif d’une modalité est le nombre d’observations dans cette modalité. La fréquence est le rapport de cet effectif à l’effectif total, souvent exprimée en pourcentage ou en proportion (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• Paramètres de position : Indicateurs résumant la localisation centrale des données, tels que la moyenne, la médiane ou le mode, permettant de situer une position de référence dans la distribution (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• Paramètres de dispersion : Indicateurs mesurant la variabilité ou la dispersion des données autour d’un paramètre de position, comme la variance, l’écart-type ou l’étendue, pour résumer la variabilité des observations (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

📝 Points essentiels

• La statistique descriptive univariée se concentre sur une seule variable, en utilisant des outils tels que les effectifs, fréquences, paramètres de position (moyenne, médiane, mode) et dispersion (variance, étendue, écart-type) pour synthétiser l’information (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• La variable qualitative est caractérisée par ses modalités, dont la distribution peut être représentée par des diagrammes à barres ou circulaires, et ses effectifs ou fréquences permettent de connaître la répartition des catégories (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• La moyenne est un paramètre de position central, calculé par la somme des valeurs divisée par le nombre d’observations, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane est une valeur centrale insensible aux valeurs extrêmes, tandis que le mode correspond à la modalité la plus fréquente (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• La dispersion est quantifiée par des indicateurs comme la variance (moyenne des carrés des écarts à la moyenne), l’écart-type (racine carrée de la variance), ou l’étendue (différence entre la valeur maximale et minimale). L’écart interquartile est une mesure robuste de dispersion, représentant la différence entre le troisième et le premier quartile (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

• La représentation graphique la plus courante pour une variable qualitative est le diagramme à barres, tandis que pour une variable quantitative, l’histogramme permet de visualiser la forme de la distribution (source : Rodolphe Loubaton, 2026).

💡 À retenir

La statistique univariée permet de résumer efficacement une seule variable en utilisant des indicateurs de position et de dispersion, accompagnés de représentations graphiques, pour en extraire l’essentiel et faciliter l’analyse.

📖 9. Statistique bivariée

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse conjointe de deux variables : étude simultanée de deux variables pour comprendre leur relation ou dépendance, notamment à travers des tableaux croisés ou des représentations graphiques (diagrammes à barres, circulaires).
• Cas de 2 variables qualitatives : étude de la relation entre deux variables catégoriques, en utilisant des effectifs, fréquences, et mesures d’association comme le test du χ² (voir section 10).
• Cas de 1 variable quantitative et 1 variable qualitative : analyse de la distribution de la variable quantitative selon les modalités de la variable qualitative, via des paramètres de position, dispersion, et représentations graphiques (ex : box-plot, histogrammes).
• Cas de 2 variables quantitatives : étude de la relation linéaire ou monotone entre deux variables numériques, en utilisant la corrélation de Pearson ou de Spearman (voir sections 11 et 12).
• Relation entre variables : dépendance ou indépendance statistique, mesurée par des tests comme le χ² pour variables qualitatives ou par le coefficient de corrélation pour variables quantitatives, permettant d’évaluer la force et la nature de la relation.

📝 Points essentiels

• La statistique bivariée permet d’étudier conjointement deux variables pour détecter des dépendances ou relations, en utilisant des outils adaptés selon le type de variables (qualitatives ou quantitatives).
• Pour deux variables qualitatives, on construit des tableaux de contingence, en calculant effectifs, fréquences, et en utilisant le test du χ² pour tester l’indépendance (voir section 10).
• Lorsqu’une variable est qualitative et l’autre quantitative, on analyse la distribution de la variable numérique par modalité, en utilisant des paramètres de position, dispersion, et représentations graphiques (ex : box-plot, histogrammes).
• Pour deux variables quantitatives, la corrélation de Pearson mesure la relation linéaire, tandis que la corrélation de Spearman évalue une relation monotone, même non linéaire (voir sections 11 et 12).
• L’analyse conjointe permet aussi d’évaluer la force de la relation, de détecter des dépendances, ou de vérifier l’indépendance statistique, en utilisant des tests appropriés et des mesures de distance comme le χ² ou le coefficient de corrélation.

💡 À retenir

La statistique bivariée étudie conjointement deux variables pour révéler leur relation ou indépendance, en adaptant les outils d’analyse selon leur nature (qualitative ou quantitative).

📖 10. Indépendance variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance entre variables qualitatives : Deux variables qualitatives sont indépendantes si la distribution de l'une ne dépend pas de l'autre, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de lien statistique entre leurs modalités.
• Test du χ2 : Méthode statistique permettant de mesurer l’écart entre la distribution observée et la distribution théorique attendue sous l’hypothèse d’indépendance. Selon Rodolphe Loubaton (2026), ce test calcule une distance χ2 pour évaluer la cohérence entre les données et l’indépendance supposée.
• Interprétation de la distance χ2 : La valeur du χ2 indique si la différence entre distribution observée et théorique est significative ou non. Une valeur faible suggère une indépendance, tandis qu’une valeur élevée indique une dépendance ou une relation statistique entre variables.
• Exemple avec phénotypes de drosophiles : Analyse de la répartition des phénotypes (yeux rouges ou blancs) pour tester leur indépendance avec d’autres variables génétiques ou environnementales, en utilisant le test du χ2 pour comparer la distribution observée aux attentes sous indépendance.

📝 Points essentiels

• L’indépendance entre variables qualitatives implique que la distribution conjointe des modalités peut se décomposer en produits de leurs distributions marginales.
• Le test du χ2 permet d’évaluer cette hypothèse en comparant la distribution observée (effectifs dans chaque modalité) à la distribution attendue si les variables étaient indépendantes.
• La formule du χ2, selon Rodolphe Loubaton (2026), est :
  $\chi^2 = \sum_{k=1}^p \frac{(n_k - n \times f_k)^2}{n \times f_k}$
  où $n_k$ est l’effectif observé pour la modalité $k$, $n$ est l’effectif total, et $f_k$ la fréquence théorique sous indépendance.
• La distance χ2 suit approximativement une loi du χ2 avec $(p-1)(q-1)$ degrés de liberté, où $p$ et $q$ sont le nombre de modalités des deux variables.
• Un résultat significatif (valeur élevée de χ2) indique que les variables ne sont pas indépendantes, c’est-à-dire qu’il existe une relation statistique entre elles.

💡 À retenir

L’indépendance entre variables qualitatives se vérifie à l’aide du test du χ2, qui compare la distribution observée à celle attendue sous hypothèse d’absence de lien, permettant ainsi de détecter une éventuelle dépendance statistique.

📖 11. Corrélation de Pearson

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation de Pearson : mesure linéaire de l'association entre deux variables quantitatives, indiquant dans quelle mesure elles varient conjointement selon une relation linéaire.
• Coefficient de corrélation r de Pearson : indicateur numérique compris entre -1 et 1, calculé à partir des données, qui quantifie la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables.
• Hypothèses : la corrélation de Pearson suppose que les variables suivent une distribution normale (ou approximativement), que la relation est linéaire, et que les données sont indépendantes.
• Interprétation : un r proche de +1 indique une forte corrélation positive, proche de -1 une forte corrélation négative, et autour de 0 une absence de relation linéaire.
• Sensibilité : la corrélation de Pearson est sensible aux valeurs extrêmes (outliers) et à la non-normalité des distributions, ce qui peut fausser l’estimation de la relation linéaire.

📝 Points essentiels

• La corrélation de Pearson mesure uniquement la relation linéaire, sans tenir compte des relations non linéaires ou des autres formes d’association.
• Le coefficient r est calculé à partir des covariance et des écarts-types des deux variables :
  $r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
  où $\text{Cov}(X, Y)$ est la covariance entre X et Y, et $\sigma_X, \sigma_Y$ leurs écarts-types respectifs.
• La validité de l’interprétation de r repose sur l’hypothèse que les variables suivent une distribution normale (voir référence à la distribution normale dans la section 4).
• La valeur absolue de r indique la force de la relation, tandis que le signe indique la direction (positive ou négative).
• La sensibilité aux valeurs extrêmes implique qu’un outlier peut fortement influencer la valeur du coefficient, ce qui nécessite parfois une analyse robuste ou l’utilisation de corrélations non paramétriques (voir corrélation de Spearman).

💡 À retenir

La corrélation de Pearson est un indicateur puissant pour mesurer la relation linéaire entre deux variables quantitatives, mais elle doit être utilisée avec précaution en présence de valeurs extrêmes ou de distributions non normales.

📖 12. Corrélation de Spearman

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation de Spearman : mesure non paramétrique de l'association entre deux variables ordinales ou quantitatives, basée sur le rang des données plutôt que sur leurs valeurs brutes. Elle évalue la force et la direction d'une relation monotone entre deux variables (voir aussi "relation monotone").

• Coefficient de corrélation par rangs : indicateur numérique compris entre -1 et 1, calculé à partir des rangs des observations, qui quantifie la force de la relation monotone entre deux variables. Un coefficient proche de 1 indique une forte relation positive, proche de -1 une forte relation négative, et proche de 0 une absence de relation.

• Robustesse aux valeurs aberrantes : propriété de la corrélation de Spearman qui, contrairement à la corrélation de Pearson, n'est pas fortement influencée par des valeurs extrêmes ou aberrantes, car elle repose sur les rangs plutôt que sur les valeurs numériques.

📝 Points essentiels

• La corrélation de Spearman est particulièrement utile lorsque la relation entre deux variables n'est pas linéaire mais monotone, ou lorsque la distribution des données ne suit pas une loi normale (voir aussi "relation monotone" et "non-normalité"). Elle permet d’évaluer la force de cette relation sans faire d'hypothèses sur la distribution des données.

• Le coefficient de Spearman est calculé en attribuant à chaque observation un rang, puis en appliquant la formule du coefficient de corrélation de Pearson sur ces rangs. La formule classique est :
  $\rho_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}$ où $d_i$ est la différence entre les rangs de chaque paire d'observations et $n$ le nombre total d'observations.

• La relation monotone (voir aussi "relation monotone") indique que lorsque l'une des variables augmente, l'autre tend à augmenter ou diminuer de façon cohérente, sans nécessairement suivre une relation linéaire.

• La robustesse de Spearman aux valeurs aberrantes en fait un outil privilégié en présence de données contaminées ou extrêmes, car le calcul basé sur les rangs limite leur influence.

💡 À retenir

La corrélation de Spearman est une mesure non paramétrique efficace pour évaluer la force d'une relation monotone entre deux variables, notamment en cas de non-normalité ou de présence de valeurs extrêmes, en utilisant le rang des données plutôt que leurs valeurs numériques.

📊 Tableaux de Synthèse

Critère	Variables qualitatives	Variables quantitatives
Nature	Catégories ou modalités (nominales ou ordinales)	Quantités numériques (discrètes ou continues)
Exemple	Races, niveaux de satisfaction	Taille, poids, nombre d’arbres
Paramètres principaux	Effectifs, fréquences	Moyenne, variance, écart-type
Représentation graphique	Diagramme à barres, camembert	Histogramme, boîte à moustaches
Distribution	Effectifs et fréquences	Fonction de densité ou de probabilité
Ordre	Oui (ordinale) ou non (nominale)	Discrète ou continue

Critère	Distribution variables qualitatives	Distribution variables quantitatives
Définition	Répartition des modalités par effectifs ou fréquences	Fonction qui associe valeurs et probabilités/densités
Fonction clé	Effectifs, fréquences	Fonction de densité ou de probabilité
Exemple	Distribution d’une couleur de voiture	Loi normale, loi exponentielle
Paramètres	Aucun (effectifs, fréquences)	Moyenne, variance, paramètres de lois spécifiques

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre variable qualitative nominale et ordinale : ne pas se baser uniquement sur la présence d’un ordre, vérifier si un ordre logique est défini.
2. Confondre variable quantitative discrète et continue : discrète prend des valeurs isolées, continue toutes les valeurs d’un intervalle.
3. Oublier que la somme des effectifs d’une distribution qualitative doit être égale à l’effectif total.
4. Confondre la distribution d’une variable aléatoire et la distribution empirique : cette dernière est une approximation à partir d’un échantillon.
5. Confondre la moyenne (paramètre de position) et la variance (paramètre de dispersion) pour une variable quantitative.
6. Mal interpréter la fonction de densité : elle ne donne pas directement la probabilité, mais une densité.
7. Confondre distribution théorique et distribution empirique : la première est modélisée, la seconde est observée.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une variable qualitative selon Perroux.
2. Savoir différencier une variable qualitative nominale d’une variable qualitative ordinale.
3. Connaître la formule de la fréquence d’une modalité : $f_k = \frac{n_k}{n}$.
4. Savoir représenter la distribution d’une variable qualitative par un diagramme à barres ou un camembert.
5. Connaître la différence entre variable quantitative discrète et continue, selon Rodolphe Loubaton.
6. Savoir calculer la moyenne et la variance d’une variable quantitative.
7. Connaître la définition d’une distribution d’une variable aléatoire selon Srowen.
8. Savoir distinguer une distribution de probabilité discrète d’une densité pour une variable continue.
9. Maîtriser la notion de fonction de densité et ses propriétés.
10. Connaître les paramètres principaux d’une loi de probabilité (ex : $\lambda$ pour Poisson).
11. Être capable de construire une distribution empirique à partir d’un échantillon.
12. Vérifier la maîtrise des représentations graphiques adaptées pour chaque type de variable.