Revision sheet: Analyse vectorielle et champs en coordonnées

📋 Plan du Cours

1. Champs de vecteurs et champs scalaires
2. Lignes de champ et repères mobiles
3. Champs radial et champ central
4. Champs conservatifs et potentiels scalaires
5. Champs rotationnels et lemme de Poincaré
6. Champs incompressibles et divergence nulle
7. Potentiel vectoriel et invariance de jauge
8. Lemme de Poincaré II sur ensembles contractiles
9. Changement de repère en coordonnées cylindriques
10. Changement de repère en coordonnées sphériques
11. Gradient en coordonnées et interprétation géométrique
12. Circulation le long d’une courbe paramétrée

📖 1. Champs de vecteurs et champs scalaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de vecteurs : Un champ de vecteurs sur D ⊂ R^n est une application qui associe à chaque point p de D un vecteur V(p) dans R^n.
• Gradient : Le gradient ∇f d’une fonction scalaire f est un champ de vecteurs qui associe à chaque point le vecteur des dérivées partielles de f.
• Champ scalaire : Un champ scalaire associe à chaque point d’un domaine une valeur réelle, typiquement une fonction f : D → R.
• Ligne de champ : Une ligne de champ (courbe intégrale) d’un champ de vecteurs V est une courbe γ telle que sa dérivée soit égale au vecteur du champ au point γ(t).

📝 Points essentiels

• Un champ de vecteurs est une application V : D → R^n, où D est un sous-ensemble du domaine de l’espace considéré.
• Si f : R^n → R est une fonction, alors son gradient ∇f fournit un exemple de champ de vecteurs.
• En coordonnées, un champ V s’écrit via une base (e1,…,en) comme V(p)=a1(p)e1+…+an(p)en avec des fonctions réelles ai : D→R.
• Dans la base cartésienne de R^3, un champ s’écrit V(x,y,z)=a(x,y,z)i+b(x,y,z)j+c(x,y,z)k.
• Une ligne de champ γ : I ⊂ R → D vérifie pour tout t∈I la relation γ'(t)=V(γ(t)).
• La dérivée γ'(t) représente une vitesse, tandis que γ(t) est la position (point) dans le domaine D.

💡 Astuce mémo

γ'(t)=V(γ(t)) : la trajectoire “suit” le champ au point où elle se trouve.

📖 2. Lignes de champ et repères mobiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de champ : Une ligne de champ est une courbe tangente au champ de vecteurs en chaque point, décrite par un système d’équations différentielles.
• Repère mobile : Un repère mobile est une application qui associe à chaque point un origine et une base, permettant de décomposer les vecteurs dans ce repère.
• Espace affine : Un espace affine est un ensemble de points sans origine privilégiée, associé à un espace vectoriel sous-jacent de vecteurs.
• Repère mobile cartésien : Un repère mobile cartésien est un repère mobile dont la base est la base canonique, utilisé pour exprimer les champs en coordonnées $x,y$ ou $x,y,z$.
• Repère mobile polaire : Un repère mobile polaire est un repère mobile sur $\mathbb{R}^2$ basé sur les coordonnées $(\rho,\varphi)$ avec une origine $\Omega(\rho,\varphi)$ et une base $(\vec e_\rho,\vec e_\varphi)$.

📝 Points essentiels

• Une ligne de champ de $\vec V$ passant par $p_0$ est obtenue en résolvant les équations différentielles reliant la dérivée de la trajectoire aux composantes de $\vec V$.
• Par tout point $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ fixé, il passe une seule ligne de champ.
• Chercher les lignes de champ revient à résoudre un système d’équations différentielles.
• Sauf cas particuliers, on ne peut pas déterminer les lignes de champ manuellement et on utilise un calcul numérique avec ses approximations.
• Un repère mobile sur un espace affine $E$ associe à chaque paramètre $p$ une origine $\Omega(p)$ et des vecteurs $\vec e_1(p),\dots,\vec e_n(p)$ formant une base de $\overrightarrow{E}$.
• Le point $\Omega(p)$ joue le rôle d’origine du repère mobile au paramètre $p$.

💡 Astuce mémo

Ligne de champ = trajectoire qui suit le champ (ODE) ; Repère mobile = origine qui bouge + base qui tourne.

📖 3. Champs radial et champ central

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ radial : Un champ de vecteurs est radial par rapport à un axe Δ si, en coordonnées cylindriques avec l’axe Δ, il s’écrit V(ρ,ϕ,z)=a(ρ)eρ.
• Champ central : Un champ de vecteurs est central par rapport à un point O si, en coordonnées sphériques centrées en O, il s’écrit V(r,ϕ,θ)=a(r)er.
• Coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques décrivent un point avec une distance à l’axe ρ, un angle ϕ autour de l’axe, et une coordonnée z le long de l’axe.
• Coordonnées sphériques : Les coordonnées sphériques décrivent un point avec une distance à l’origine r, un angle θ (inclinaison) et un angle ϕ (azimut) autour de l’axe.
• Vecteur position : Le vecteur position Op(x,y,z) est le champ qui associe à chaque point son vecteur depuis l’origine, et il est central.

📝 Points essentiels

• Pour un champ radial, la direction est uniquement celle de eρ : aucune composante eϕ ni ez n’apparaît dans l’expression V(ρ,ϕ,z)=a(ρ)eρ.
• Pour un champ central, la direction est uniquement celle de er : aucune composante eθ ni eϕ n’apparaît dans V(r,ϕ,θ)=a(r)er.
• Le champ radial est défini par rapport à un axe Δ, alors que le champ central est défini par rapport à un point O.
• Le vecteur position Op=x i + y j + z k s’écrit aussi Op=ρ eρ + z k et vaut r er en coordonnées sphériques, ce qui en fait un champ central.
• Le champ gravitationnel d’une masse M est central : G(r)=-(GM/r^2)er et la force gravitationnelle sur une masse m est F(r)=mG(r)=-(GMm/r^2)er.
• Le champ électrique d’une charge Q est central : E(r)=(1/(4π)) (Q/r^2) er et la force de Coulomb sur une charge q est F(r)=qE(r)=(1/(4π))(Qq/r^2)er.

💡 Astuce mémo

Radial = « rayon autour d’un axe » (ρ, eρ) ; Central = « rayon depuis un point » (r, er).

📖 4. Champs conservatifs et potentiels scalaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient d’un champ scalaire : Le gradient est le champ de vecteurs qui associe à un scalaire φ la direction et l’intensité de sa plus forte croissance.
• Champ scalaire : Un champ scalaire est une fonction qui associe à chaque point de l’espace une valeur réelle.
• Surface de niveau : Une surface de niveau a est l’ensemble des points où le scalaire φ prend la valeur a.
• Ligne de niveau : Une ligne de niveau a est l’ensemble des points où le scalaire φ prend la valeur a dans le plan.
• Champ conservatif : Un champ conservatif est un champ de vecteurs qui peut s’exprimer comme le gradient d’un potentiel scalaire.

📝 Points essentiels

• Si φ est de classe C2 sur D ⊂ Rn, alors ∇φ = (∂φ/∂x1) e1 + … + (∂φ/∂xn) en base canonique.
• En coordonnées cartésiennes dans R2, ∇φ = (∂φ/∂x) e_x + (∂φ/∂y) e_y.
• En coordonnées polaires dans R2, ∇φ = (∂φ/∂ρ) e_ρ + (1/ρ)(∂φ/∂ϕ) e_ϕ.
• En coordonnées sphériques dans R3, ∇φ = (∂φ/∂r) e_r + (1/(r sinθ))(∂φ/∂ϕ) e_ϕ + (1/r)(∂φ/∂θ) e_θ.
• Interprétation géométrique : en tout point d’une surface de niveau φ=a, le vecteur ∇φ est orthogonal à la surface (et donc à tout vecteur tangent).
• Propriété d’opérateurs : ∇(λf+μg)=λ∇f+μ∇g et ∇(fg)=g∇f+f∇g (règle de Leibniz).

💡 Astuce mémo

Surface/ligne de niveau = “mur” : ∇φ est la flèche qui sort perpendiculairement au mur (plus forte croissance).

📖 5. Champs rotationnels et lemme de Poincaré

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Le gradient est l’opérateur vectoriel $abla= abla_{x}$ qui agit sur un champ scalaire et vérifie la linéarité et la règle de Leibniz.
• Champ conservatif : Un champ conservatif est un champ de vecteurs qui s’écrit comme le gradient d’un potentiel scalaire (à un signe près selon la convention).
• Potentiel scalaire : Un potentiel scalaire est une fonction  telle que le champ de vecteurs s’obtienne à partir de ses dérivées via un gradient, avec attention au signe.
• Force conservative : Une force conservative est une force qui dérive d’un potentiel, c’est-à-dire qu’elle est un champ de gradient.
• Rotationnel : Le rotationnel d’un champ de vecteurs mesure localement la tendance à tourner et s’écrit comme $abla\times\vec V$.

📝 Points essentiels

• Si $\lambda,\mu\in\mathbb R$ et $f,g$ sont scalaires, alors $\nabla(\lambda f+\mu g)=\lambda\nabla f+\mu\nabla g$ et $\nabla(fg)=g\nabla f+f\nabla g$.
• Un champ de vecteurs $\vec V$ est conservatif s’il existe $\phi$ tel que $\vec V=\nabla\phi$ (convention de signe à respecter).
• Le potentiel d’un champ $\vec V=\nabla\phi$ est le scalaire $-\phi$ pour la convention où $\vec V=-\nabla\phi$.
• Un champ de force $\vec F$ est conservative s’il est un champ de gradient, donc il admet un potentiel scalaire.
• Le rotationnel s’écrit en cartésien : $\nabla\times\vec V=\big(\partial_yV_z-\partial_zV_y,\;\partial_zV_x-\partial_xV_z,\;\partial_xV_y-\partial_yV_x\big)$.
• Interprétation : la direction de $\nabla\times\vec V$ donne l’axe de rotation de la particule test et sa norme la vitesse de rotation induite.

💡 Astuce mémo

Conservatif : gradient → pas de “tourbillon” ; Rotationnel : $\nabla\times\vec V$ = “mesure du tour”. (Le signe du potentiel se mémorise : $\vec V=-\nabla\phi$ implique potentiel $-\phi$.)

📖 6. Champs incompressibles et divergence nulle

🔑 Notions clés & Définitions

• Divergence : La divergence est un champ scalaire qui mesure la variation locale de densité d’un champ de vecteurs via le produit scalaire ∇·V.
• Champ à divergence nulle : Un champ à divergence nulle est un champ de vecteurs dont la divergence vaut zéro sur le domaine, donc sans “source” ni “puits” local.
• Incompressible : Un champ incompressible est un champ de vecteurs dont la divergence est nulle, traduisant une conservation locale du volume.
• Solénoïdal : Un champ solénoïdal est un champ de vecteurs dont la divergence est nulle, donc équivalent à un champ incompressible.
• Potentiel vectoriel : Un potentiel vectoriel est une fonction vectorielle dont le rotationnel donne un champ à divergence nulle.

📝 Points essentiels

• La divergence en coordonnées cartésiennes s’écrit div V = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z.
• En coordonnées cylindriques, div V = (1/ρ)∂(ρVρ)/∂ρ + (1/ρ)∂Vϕ/∂ϕ + ∂Vz/∂z.
• En coordonnées sphériques, div V = (1/r^2)∂(r^2Vr)/∂r + (1/(r sinθ))∂(sinθ Vθ)/∂θ + (1/(r sinθ))∂Vϕ/∂ϕ.
• Le champ V(x,y,z)=(-y, x, 0) a une divergence nulle, donc il est incompressible/solénoïdal.
• Un champ à divergence nulle est caractérisé par l’absence de sources et de puits locaux, ce qui correspond à l’incompressibilité dans le cadre de la section.

💡 Astuce mémo

divergence = “sortie” locale : si div V = 0, rien ne sort ni n’entre localement (incompressible).

📖 7. Potentiel vectoriel et invariance de jauge

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel vectoriel : Un potentiel vectoriel d’un champ V est un champ U tel que V=rotU.
• Transformation de jauge : Une transformation de jauge remplace U par U+grad\,\varphi sans changer V.
• Invariance de jauge : L’invariance de jauge exprime que le champ V obtenu via rotU ne dépend pas du choix de U à une transformation de jauge près.
• Choix de jauge : Le choix de jauge correspond au choix du potentiel scalaire \varphi utilisé dans la transformation U\mapstoU+grad\,\varphi.
• Lemme de Poincaré II : Le lemme de Poincaré II relie l’existence d’un potentiel vectoriel à la condition de divergence nulle sur un domaine contractile.

📝 Points essentiels

• Si V=rotU alors divV=0 car la divergence d’un rotationnel est nulle.
• Si U est un potentiel de V, alors U+grad\,\varphi est aussi un potentiel car rotgrad\,\varphi=\u0007\vec0.
• La transformation U\toU+grad\,\varphi ne modifie pas V puisque rot(U+grad\,\varphi)=rotU.
• L’invariance de jauge signifie qu’on peut choisir librement un potentiel vectoriel parmi une famille reliée par des gradients.
• Sur un domaine contractile, V admet un potentiel vectoriel si et seulement si divV=0.
• Si le domaine n’est pas contractile, la réciproque peut échouer : on ne peut pas conclure en général à partir de divV=0.

💡 Astuce mémo

Rotationnel→div=0 et gradient→rotationnel nul : ajoute un gradient à U sans changer V.

📖 8. Lemme de Poincaré II sur ensembles contractiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble contractile : Un ensemble contractile est un domaine qui peut être continûment déformé en un point, ce qui annule les obstructions topologiques locales/globales.
• Potentiel vectoriel : Un potentiel vectoriel est un champ \vec A tel que le champ donné s’écrive comme un rotationnel, typiquement $\vec B=\operatorname{rot}\vec A$.
• Potentiel scalaire : Un potentiel scalaire est une fonction $\phi$ telle que le champ s’écrive comme un gradient, typiquement $\vec B=-\nabla\phi$.
• Domaine non simplement connexe : Un domaine non simplement connexe est un espace où des boucles peuvent être non réductibles à un point, empêchant certains potentiels globaux.

📝 Points essentiels

• Si $\vec V$ est un champ de type rotationnel nul sur un domaine contractile, alors il admet un potentiel (scalaire ou vectoriel selon la forme) défini sur tout le domaine.
• Dans le cas particulier traité, le potentiel $\vec U$ se réduit à une forme $\vec U=f(x,y)\,\hat i+g(x,y)\,\hat j$ (avec $h=0$) quand on impose $\vec V=\vec V_z\sim k$ et des conditions de type $\operatorname{div}\vec V=
• Les équations $\partial g/\partial x=V_z$ et $\partial f/\partial y=0$ forcent $f$ et $g$ à ne pas dépendre de $z$ (elles éliminent la dépendance en $z$).
• Pour résoudre la dernière équation, il faut fixer arbitrairement deux dérivées initiales (par exemple $\partial f/\partial x$ et $\partial g/\partial y$) puis intégrer, ce qui introduit des fonctions arbitraires $F(x)$,
• Deux solutions obtenues diffèrent toujours par le gradient d’une fonction (jauge), ce qui explique que les champs dérivés (rotationnel/gradient) restent identiques malgré des $\vec U$ différents.

💡 Astuce mémo

Contractile ⇒ pas d’obstruction : potentiel global possible ; deux potentiels possibles ⇒ différence = gradient (jauge).

📖 9. Changement de repère en coordonnées cylindriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Système de coordonnées où un point est décrit par la distance à l’axe ρ, l’angle ϕ et la hauteur z.
• Base cylindrique : Repère mobile formé par les vecteurs unitaires eρ, eϕ et ez, adaptés aux variations de ρ et ϕ.
• Vecteurs unitaires eρ et eϕ : Vecteurs de la base cylindrique liés à la direction radiale et à la direction angulaire, qui dépendent de ϕ.
• Vecteur vitesse en cylindriques : Expression de la dérivée temporelle de la position écrite avec eρ, eϕ et ez, incluant les termes en ρ̇ et ϕ̇.

📝 Points essentiels

• En coordonnées cylindriques, un point s’écrit avec la base mobile comme γ(t)=ρ(t)eρ(t)+z(t)ez+… (avec eϕ pour la composante angulaire via la dérivation).
• Les vecteurs eρ et eϕ ne sont pas constants car ils dépendent de l’angle ϕ(t).
• La dérivée de eρ vérifie d/dt(eρ)=ϕ̇ eϕ, ce qui introduit un terme de vitesse lié à la rotation angulaire.
• La dérivée de eϕ vérifie d/dt(eϕ)=−ϕ̇ eρ, ce qui couple les composantes radiale et angulaire.
• Le vecteur vitesse en cylindriques s’écrit v(t)=ρ̇(t)eρ(t)+ρ(t)ϕ̇(t)eϕ(t)+ż(t)ez.
• Les vecteurs i, j, k (cartésiens) sont constants, contrairement aux vecteurs de la base cylindrique eρ, eϕ, ce qui change la forme des dérivées.

💡 Astuce mémo

eρ tourne vers eϕ : d(eρ)/dt=ϕ̇ eϕ et eϕ revient vers −eρ : d(eϕ)/dt=−ϕ̇ eρ.

📖 10. Changement de repère en coordonnées sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées sphériques : Les coordonnées sphériques décrivent un point de l’espace avec une distance radiale, un angle polaire et un angle azimutal.
• Base unitaire sphérique : La base sphérique est formée des vecteurs unitaires associés aux directions radiale, polaire et azimutale.
• Vecteur normal unitaire : Le vecteur normal unitaire est un vecteur de norme 1 perpendiculaire à une surface ou à une direction de référence.
• Changement de base : Le changement de base exprime un vecteur dans une autre base en remplaçant ses composantes par celles projetées sur les nouveaux axes.

📝 Points essentiels

• En coordonnées sphériques, un vecteur s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs unitaires radiale, polaire et azimutale, ce qui permet de calculer des produits scalaires et des dérivées directionnelles.
• Le changement de repère consiste à remplacer les composantes cartésiennes par les composantes dans la base sphérique via les projections sur les vecteurs unitaires.
• Pour un champ exprimé dans la base sphérique, la circulation et le travail se calculent en utilisant le produit scalaire entre le champ et la dérivée de la courbe dans cette même base.
• Dans les exemples du cours, la paramétrisation d’une courbe impose les dérivées des coordonnées (comme $\dot\rho$, $\dot\phi$, $\dot z$ ou leurs équivalents sphériques) qui multiplient les vecteurs unitaires correspondan
• La cohérence du calcul impose d’utiliser la même orientation et la même base pour le champ et pour la tangente $\dot\gamma(t)$ de la courbe.
• Comparaison : en cylindriques, on utilise $\{\mathbf e_\rho,\mathbf e_\phi,\mathbf k\}$ et on obtient souvent des simplifications directes sur les composantes ; en sphériques, on remplace par ${\mathbf e_r,\mathbf e_\u1

📖 11. Gradient en coordonnées et interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Bord d’une surface : Le bord d’une surface S est la courbe qui délimite S, notée BS, par exemple un cercle pour un disque ou deux cercles pour un cylindre.
• Surface orientée : Une surface orientée possède un choix de normale qui fixe l’orientation du bord, de sorte qu’en la parcourant dans le sens sortant, la surface reste à gauche.
• Surface fermée : Une surface fermée sépare l’espace en intérieur et extérieur, ce qui se traduit par un bord vide, BS = ∅.
• Surface paramétrée : Une surface paramétrée est décrite par deux paramètres indépendants u et v via une application f(u,v) vers R3.
• Surface régulière : Une surface paramétrée est régulière au point f(u,v) si les deux vecteurs tangents engendrent un vecteur normal non nul, donc la normale est bien définie.

📝 Points essentiels

• Le bord d’une surface S est noté BS et correspond à la courbe délimitant la surface dans l’espace.
• Pour une surface orientée, l’orientation du bord est déterminée par la normale sortante : en parcourant le bord debout, la surface est à gauche.
• Une surface fermée vérifie BS = ∅ et délimite un solide Ω ⊂ R3, avec S = BΩ.
• Une surface donnée par équation s’écrit comme l’ensemble des x ∈ R3 tels que F(x)=0, avec des restrictions sur les variables via des inégalités.
• Une surface paramétrée s’écrit S = {f(u,v) | u∈(u0,u1), v∈(v0,v1)} où f est différentiable et s’appelle paramétrisation.
• L’élément de surface vectoriel est dS = n(u,v) du dv et l’élément d’aire vaut dA = ||n(u,v)|| du dv pour intégrer sur la surface.

💡 Astuce mémo

Bord = BS ; Fermée ⇔ BS vide ; Orientée ⇔ règle “surface à gauche” avec normale sortante.

📖 12. Circulation le long d’une courbe paramétrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Stokes-Ampère : Le théorème relie le flux du rotationnel d’un champ à la circulation du champ le long du bord de la surface orientée.
• Surface orientée : Une surface orientée est une surface munie d’un choix de normale, ce qui fixe le sens du flux et de la circulation sur le bord.
• Théorème de Green-Riemann : Le théorème exprime un flux à travers une surface plane via une intégrale sur le bord, quand le rotationnel est orthogonal à la surface.
• Théorème de Gauss-Ostrogradski : Le théorème relie le flux sortant d’un champ à travers une surface fermée au volume de l’espace délimité, via la divergence.

📝 Points essentiels

• Si $\vec V=\operatorname{rot}\vec U$ et $S$ est une surface orientée de bord $\partial S$, alors $\iint_S \vec V\cdot d\vec S=\oint_{\partial S} \vec U\cdot d\vec l$.
• Le flux de $\operatorname{rot}\vec U$ à travers $S$ est égal à la circulation de $\vec U$ le long de $\partial S$.
• Si $S$ est une surface fermée, alors le bord est vide et $\iint_S \operatorname{rot}\vec U\cdot d\vec S=0$.
• Si $\vec U=\nabla f$ et $C$ est une courbe fermée, alors $\oint_C \nabla f\cdot d\vec l=0$ car $\operatorname{rot}(\nabla f)=0$.
• Pour une surface plane dans le plan $xOy$ avec $\vec V=\operatorname{rot}\vec U$ orthogonal à $S$, on peut écrire $\vec U(x,y) = P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j$ et $\vec V=\left(-\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{,\ }\
• memoryHook

📊 Tableaux de synthèse

Conservatif vs rotationnel (irrotationnel)

Notion	Condition	Conséquence
Champ conservatif	V = grad φ (ou V = −grad φ selon convention)	Circulation sur toute courbe fermée = 0
Champ irrotationnel	rot V = 0	Sur domaine simplement connexe : V = grad φ (potentiel scalaire)
Champ rotationnel	rot V ≠ 0	La circulation dépend du chemin (pas de potentiel scalaire global en général)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ligne de champ et courbe paramétrée : une ligne de champ vérifie γ'(t)=V(γ(t)), alors qu’une courbe paramétrée est juste une paramétrisation quelconque.
2. Mélanger les signes du potentiel : si V=−∇φ alors le “potentiel” associé est −φ (convention du cours).
3. Croire que div V=0 implique toujours l’existence d’un potentiel vectoriel : la réciproque nécessite un domaine contractile (sinon, échec possible).
4. Penser que rot(grad φ) peut être non nul : par définition, rot(∇φ)=0, donc un champ de gradient est toujours irrotationnel.
5. Interpréter mal ∇φ : il est orthogonal à la surface de niveau φ=a et pointe dans le sens de la plus forte croissance.
6. Oublier que les bases cylindriques/sphériques dépendent de l’angle : eρ,eϕ (et er,eθ,eϕ) ne sont pas constants, donc la vitesse contient des termes supplémentaires.
7. Confondre bord et orientation : le bord d’une surface orientée est orienté “surface à gauche” (normale sortante), sinon les formules de Stokes/flux changent de signe.

✅ Checklist Examen

1. Définir un champ de vecteurs et donner l’exemple du gradient d’un champ scalaire.
2. Écrire l’ODE d’une ligne de champ γ'(t)=V(γ(t)) et expliquer l’interprétation vitesse/position.
3. Définir un repère mobile (origine Ω(p) + base e_i(p)) et donner les repères mobiles cartésien/polaire/cylindrique/sphérique du cours.
4. Reconnaître un champ radial (V(ρ,ϕ,z)=a(ρ)eρ) et un champ central (V(r,ϕ,θ)=a(r)er) et relier vecteur position, gravitation et Coulomb au champ central.
5. Calculer/écrire le gradient ∇φ dans les coordonnées cartésiennes, polaires et sphériques du cours.
6. Utiliser l’interprétation géométrique : ∇φ orthogonal à la surface de niveau φ=a.
7. Définir le rotationnel rot V et donner son expression cartésienne (et l’idée “axe de rotation + vitesse de rotation”).
8. Appliquer le lemme de Poincaré I : sur domaine simplement connexe, rot V=0 ⇔ V est un gradient (avec attention au signe).
9. Définir divergence, incompressible/solénoïdal, et calculer div V dans les coordonnées cartésiennes/cylindriques/sphériques.
10. Définir potentiel vectoriel U (V=rot U) et la transformation de jauge U→U+grad φ ; montrer que V ne change pas.
11. Utiliser le lemme de Poincaré II : sur domaine contractile, div V=0 ⇔ V admet un potentiel vectoriel.
12. Savoir paramétrer une courbe (cartésien/polaire/cylindrique/sphérique), écrire vitesse et élément de ligne dγ, et vérifier la régularité (γ'≠0).
13. Calculer une circulation ∮_C V·dl le long d’une courbe orientée et utiliser le cas des champs de gradient (circulation nulle sur courbe fermée).
14. Définir le flux à travers une surface orientée paramétrée et écrire dS=n(u,v)dudv ; appliquer Stokes-Ampère et Gauss-Ostrogradski quand les hypothèses sont satisfaites.