Introduction aux inégalités et lois en probabilité

📋 Plan du Cours

1. Transformation affine des variables aléatoires et calcul de l'espérance et variance
2. Somme de variables aléatoires indépendantes : espérance et variance
3. Somme et moyenne d'un échantillon de variables aléatoires identiquement distribuées
4. Inégalité de Markov pour les variables aléatoires positives
5. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et estimation des écarts à la moyenne
6. Inégalités de concentration appliquées à la moyenne d'un échantillon
7. Application des inégalités de concentration pour déterminer la taille d'échantillon
8. Loi des grands nombres et convergence en probabilité de la moyenne d'échantillon

📖 1. Transformation affine des variables aléatoires et calcul de l'espérance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation affine : opération qui consiste à appliquer à une variable aléatoire X une fonction de la forme Y = aX + b, où a et b sont des réels. Elle modifie la variable en la multipliant par un coefficient a puis en lui ajoutant une constante b.

• Espérance d'une variable aléatoire transformée : valeur moyenne attendue de Y = aX + b, qui se calcule par E[Y] = a E[X] + b, en utilisant la linéarité de l'espérance.

• Variance d'une variable aléatoire transformée : mesure de la dispersion de Y = aX + b, qui se calcule par Var(Y) = a² Var(X), indiquant que la variance est affectée par le carré du coefficient multiplicatif a.

📝 Points essentiels