Principes des vecteurs aléatoires et lois gaussiennes

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs aléatoires
2. Lois de probabilité
3. Fonction de densité
4. Fonction de répartition
5. Vecteurs aléatoires gaussiens
6. Matrice de covariance
7. Indépendance vecteurs
8. Transformations gaussiennes
9. Indépendance et covariance

📖 1. Vecteurs aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur aléatoire (définition) : Un vecteur aléatoire $X = (X_1, \ldots, X_p) \in \mathbb{R}^p$ est un vecteur dont chaque composante $X_i$ est une variable aléatoire réelle. La fonction de répartition conjointe $F_X(t_1, \ldots, t_p)$ est définie par $F_X(t_1, \ldots, t_p) = P[X_1 \leq t_1, \ldots, X_p \leq t_p]$. Lèbre (UPVM) (date) : modélise le comportement simultané de plusieurs variables continues.

• Fonction de répartition conjointe : La probabilité que chaque composante $X_i$ soit inférieure ou égale à un seuil $t_i$, pour tout $i$, exprimée par $F_X(t_1, \ldots, t_p)$. Elle caractérise la loi du vecteur aléatoire.

• Densité d’un vecteur aléatoire continu : Si $X$ admet une densité $f_X$ par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^p$, alors $F_X(t) = \int_{-\infty}^{t_1} \cdots \int_{-\infty}^{t_p} f_X(u_1, \ldots, u_p) du_1 \cdots du_p$. La densité est reliée à la fonction de répartition par dérivation partielle : $f_X(t) = \frac{\partial^p}{\partial t_1 \cdots \partial t_p} F_X(t)$. Lèbre (UPVM) (date).