Flashcards: Propriétés et applications des endomorphismes orthogonaux — 24 cards

Forme linéaire — représentation ?

Associe un vecteur unique via (v, x).

Adjoint d’un endomorphisme — définition ?

f* tel que (f(x), y) = (x, f*(y)).

Propriété (f∘g)* = ?

g*∘f* (inverse ordre).

Matrice de f* en base orthonormée ?

Transposée de celle de f.

Noyau de f* — relation ?

Im f = (ker f*)⊥.

Image de f* — relation ?

ker f = (Im f*)⊥.

Auto-adjoint — condition ?

f* = f.

Matrices orthogonales — caractéristique ?

A^T = A^{-1}.

Déterminant d’une isométrie ?

±1.

Groupe $O(n)$ — composé de ?

Matrices orthogonales.

Changement base orthonormée — formule ?

A' = P^T A P.

Produit mixte — définition ?

Determinant de (u,v,w) dans base orthonormée.

Signe du produit mixte — ce qu’il indique ?

Orientation de la famille (positive ou négative).

Produit vectoriel — propriété ?

Bilinear et antisymétrique.

Produit vectoriel — relation avec orthogonalité ?

u ∧ v orthogonal à (u,v).

Dimension du groupe $O(n)$ ?

Compact, de dimension n(n-1)/2.

Matrices orthogonales — propriété ?

A^T = A^{-1}.

Détérminant d’une matrice orthogonale ?

±1.

Rotation en dimension 2 — matrice ?

R(θ) = [[cosθ, -sinθ],[sinθ, cosθ]].

Orientation — définition ?

Classe d’équivalence des bases selon leur déterminant.

Stabilité d’un sous-espace par f — condition ?

f(F) ⊆ F.

Stabilité par f — F⊥ par f* ?

F⊥ est stable si F l’est par f.

Théorème de représentation — rôle ?

Associe chaque forme linéaire à un vecteur unique.

Involution de l’adjonction — propriété ?

(f*)* = f.