Analyse de la continuité et convergence

📋 Plan du Cours

1. Continuité d'une fonction
2. Théorème des valeurs intermédiaires
3. Monotonie et unicité
4. Suite de point fixe
5. Convergence des suites

📖 1. Continuité d'une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction continue : Une fonction est dite continue en un point a si la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à la valeur de la fonction en ce point, c’est-à-dire que
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Continuité en un point : La propriété qu’une fonction possède si elle est continue en ce point précis, c’est-à-dire si la limite en ce point existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Limite d'une fonction : La valeur que la fonction approche lorsque la variable indépendante tend vers un certain point. La limite existe si cette valeur est unique et finie.

Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle si sa dérivée existe en chaque point de cet intervalle. Selon la propriété, toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Fonction polynôme : Fonction de la forme $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, où les coefficients sont réels. Les fonctions polynômes sont continues sur tout $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels