Flashcards: Analyse de la croissance et convexité des fonctions exponentielles — 24 cards

Convexité — définition ?

Courbe au-dessus de ses tangentes, f'' > 0.

Limite en -∞ de exp(x)

0, la fonction tend vers zéro.

exp(x) vs x^n — croissance ?

exp(x) croît plus vite que tout polynôme.

Dérivée de ln(x)

1/x, pour x > 0.

Signe de f′(x) = (2x - 8)exp(x)

Dépend de 2x - 8, positif si x > 4.

Points d’inflexion — condition ?

f''(a)=0 et changement de signe de f''.

Convexité f(x)=2e^x/(x-3) — étude ?

Analyser le signe de f''(x).

Dérivée seconde de f(x)

f''(x), indique convexité ou concavité.

Signe de f′′(x) — implication ?

f'' > 0 convexité; f'' < 0 concavité.

Points d’inflexion — caractéristique ?

Changement de signe de f'' en un point.

Limite en 3 de f(x)

Déterminée par comportement en x→3, asymptote possible.

Limite en -∞ de f(x)

0, fonction tend vers zéro.

Convexité exp(x) — propriété ?

Toujours convexe, f'' > 0.

Limite exp(x) en -∞

0, décroît exponentiellement.

Croissance exp(x) vs x^n — limite ?

exp(x)/x^n → +∞ quand x→+∞.

Dérivée de ln(x) — domaine ?

x > 0, dérivée = 1/x.

Signe de f′(x) = (2x-8)exp(x) — quand croît/décroît ?

Décroît si x<4, croît si x>4.

Points d’inflexion — exemple classique

f(x)=x^3, en 0, changement de convexité.

Convexité de f(x)=2e^x/(x-3) — condition

Signes de f''(x).

Dérivée seconde — rôle ?

Étudier convexité, points d’inflexion.

Signe de f′′(x) — relation avec convexité

f'' > 0 convexité, f'' < 0 concavité.

Points d’inflexion — en résumé

f''=0 et changement de signe.

Limite en 3 de f(x) — résultat ?

Pas finie, asymptote verticale.

Limite en -∞ de f(x) — résultat ?

0, décroît exponentiellement.