Quiz: Analyse des distances et produits matriciels en génétique — 14 questions

1. Dans la distance génétique par angle, quelle quantité sert de base à la mesure de dissimilarité entre deux populations ?

A. La différence coordonnée par coordonnée de leurs fréquences

B. La somme de toutes les fréquences des deux populations

C. L’angle entre leurs vecteurs de fréquences

D. Le déterminant de la matrice des fréquences

Answer: (C)

Explanation

La distance est définie ici à partir de l’angle entre les vecteurs de fréquences des populations. Ce n’est pas la norme de la différence, qui correspond à une autre mesure.

2. Pour comparer deux populations par cette méthode, quelle représentation des fréquences utilise-t-on ?

A. Un scalaire obtenu en additionnant les fréquences

B. Un vecteur colonne contenant les fréquences des allèles

C. Une matrice carrée des fréquences

D. Un vecteur ligne triant les allèles par ordre alphabétique

Answer: (B)

Explanation

On construit pour chaque population un vecteur colonne de fréquences, avec les composantes dans l’ordre du tableau. Cette représentation permet ensuite de calculer l’angle entre les vecteurs.

3. Dans la distance génétique par norme de différence, quelle expression définit la distance entre deux populations ?

A. La somme des normes de X1 et X2

B. La norme de X1−X2

C. L’angle entre X1 et X2

D. Le produit scalaire de X1 et X2

Answer: (B)

Explanation

La distance est définie par la norme du vecteur différence X1−X2. L’angle relève de l’autre méthode de comparaison.

4. Quelle étape précède immédiatement le calcul de la distance par norme de différence ?

A. Transposer les vecteurs de fréquences

B. Calculer le vecteur différence entre les fréquences

C. Diagonaliser la matrice des fréquences

D. Calculer le produit des fréquences des deux populations

Answer: (B)

Explanation

On calcule d’abord X1−X2, puis on prend sa norme. Les autres opérations ne font pas partie de cette définition.

5. Quand un produit matrice-vecteur est défini, quel type d’objet obtient-on en résultat ?

A. Un vecteur

B. Un scalaire

C. Une liste de fréquences

D. Une matrice carrée

Answer: (A)

Explanation

Un produit matrice-vecteur produit un vecteur. Un produit matrice-matrice donne, lui, une matrice.

6. Quelle condition rend un produit de matrices possible ?

A. Les coefficients des deux matrices doivent être tous non nuls

B. Les deux matrices doivent être carrées de même taille

C. Le nombre de colonnes de la première matrice doit égaler le nombre de lignes de la seconde

D. Les deux matrices doivent avoir le même déterminant

Answer: (C)

Explanation

La compatibilité des dimensions exige que les colonnes de la première correspondent aux lignes de la seconde. C’est la condition générale de définition du produit matriciel.

7. Que fait la transposition d’une matrice ?

A. Elle échange les lignes et les colonnes

B. Elle rend la matrice diagonale

C. Elle inverse tous les signes des coefficients

D. Elle multiplie tous les coefficients par zéro

Answer: (A)

Explanation

La transposée s’obtient en échangeant lignes et colonnes. Cette modification change aussi les dimensions et donc les produits possibles.

8. Après avoir transposé des matrices, pourquoi faut-il refaire les calculs de produits possibles ?

A. Parce que les matrices transposées sont toujours carrées

B. Parce que la valeur des vecteurs X et Y change automatiquement

C. Parce que la transposition annule les produits déjà calculés

D. Parce que les dimensions changent et la compatibilité peut être différente

Answer: (D)

Explanation

La transposition modifie les tailles des matrices, ce qui peut rendre certains produits possibles ou impossibles. Il faut donc vérifier à nouveau la compatibilité.

9. Quelle égalité caractérise une matrice idempotente ?

A. M^2 = M

B. M^2 = 0

C. M + M = 0

D. M^3 = I

Answer: (A)

Explanation

Une matrice idempotente vérifie exactement M^2 = M. La nilpotence correspond au contraire à l’annulation d’une puissance.

10. Quelle propriété définit une matrice nilpotente ?

A. On a toujours M^2 = M

B. Il existe un entier p tel que M^p = 0

C. Sa transposée est égale à son opposée

D. Son inverse est égale à elle-même

Answer: (B)

Explanation

Une matrice nilpotente devient nulle à une puissance suffisamment grande. Cela la distingue de l’idempotence, où le carré redonne la matrice.

11. Que peut-on conclure en général si AB et BA sont calculés et donnent des résultats différents ?

A. Que la multiplication matricielle n’est pas commutative

B. Que AB est toujours nul

C. Que les matrices sont forcément diagonales

D. Que BA doit être l’inverse de AB

Answer: (A)

Explanation

Si AB et BA diffèrent, cela illustre la non-commutativité du produit matriciel. L’ordre des facteurs compte donc dans le calcul.

12. Pour deux matrices données A et B, quel calcul doit être fait dans l’ordre demandé ?

A. Calculer d’abord AB puis BA

B. Calculer seulement AB, car BA est identique

C. Calculer seulement la somme A+B

D. Calculer les transposées avant tout produit

Answer: (A)

Explanation

Le produit doit être effectué dans l’ordre imposé, car changer l’ordre peut changer le résultat. C’est précisément l’intérêt de comparer AB et BA.

13. Pour que AB soit la matrice nulle, quelle condition doit être satisfaite ?

A. Tous les coefficients du produit AB doivent être nuls

B. La matrice B doit être inversible

C. Seulement un coefficient du produit AB doit être nul

D. La matrice A doit être diagonale

Answer: (A)

Explanation

Un produit matriciel nul signifie que chaque coefficient du produit est nul. Il faut donc annuler simultanément toutes les expressions obtenues.

14. Dans la recherche des conditions sur a, b, c et d, d’où viennent les équations à résoudre ?

A. Du calcul de BA à la place de AB

B. De la somme des coefficients de A

C. De l’annulation simultanée des coefficients de AB

D. De la transposition de B

Answer: (C)

Explanation

Les contraintes sur les paramètres proviennent des coefficients du produit AB, qu’il faut tous imposer égaux à zéro. C’est cette annulation simultanée qui donne le système d’équations.