Analyse des limites, dérivées et applications mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Limite en un point & continuité
2. Dérivabilité & développement limité
3. Fonctions usuelles & dérivées
4. Suites & limite finie
5. Suites divergentes & bornées
6. Séries & convergence
7. Polynômes & racines
8. Matrices & opérations
9. Espaces vectoriels & bases
10. Applications & sous-espaces
11. Groupes & sous-groupes

📖 1. Limite en un point & continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : La limite d'une fonction $f$ en un point $a$ est la valeur que $f(x)$ approche lorsque $x$ tend vers $a$. Notée $\lim_{x \to a} f(x)$.

• Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si :

  1. $f$ est définie en $a$ (existe $f(a)$)
  2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe
  3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

• Discontinuité : Un point $a$ où la fonction n'est pas continue, c'est-à-dire si une ou plusieurs des conditions ci-dessus ne sont pas remplies.

• Limite finie : La limite en un point est finie si elle appartient à $\mathbb{R}$. Sinon, elle est infinie ou n'existe pas.

• Limite infinie : Lorsque $|f(x)| \to +\infty$ lorsque $x \to a$.

📝 Points essentiels

• La limite en un point peut être approchée par la droite (limite à gauche et à droite) ou par la fonction dans le cas d'une limite à un point intérieur du domaine.

• La continuité en un point implique que la fonction ne présente pas de saut, de trou ou de discontinuité de type "pique" en ce point.