Revision sheet: Analyse des paraboles et racines du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme générale et parabole
2. Sommet et forme canonique
3. Discriminant et racines
4. Forme factorisée et signe

📖 1. Forme générale et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme générale : Expression d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Parabole : Courbe représentative d’un trinôme du second degré, caractérisée par son ouverture et son sommet.
• Trinôme du second degré : Fonction polynomiale du type $ax^2+bx+c$ représentant une parabole.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, le coefficient $a$ ne doit pas être nul pour que la courbe soit une parabole.
• La parabole est tournée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.
• Les racines sont les solutions de l’équation $f(x)=0$ associées à l’intersection avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Ouverture = signe de $a$ : $a>0$ vers le haut, $a<0$ vers le bas.

📖 2. Sommet et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : Point maximal ou minimal de la parabole noté $S(\alpha;\beta)$.
• Forme canonique : Écriture d’un trinôme du second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Abscisse du sommet : Valeur $\alpha$ telle que le sommet ait pour coordonnées $(\alpha;\beta)$.

📝 Points essentiels

• L’abscisse du sommet est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• L’ordonnée du sommet vaut $\beta=f(\alpha)$.
• La forme canonique s’obtient en centrant la parabole en $\alpha$ : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Si $a>0$, la fonction décroît puis croît avec un minimum en $x=\alpha$.
• Si $a<0$, la fonction croît puis décroît avec un maximum en $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

Centres : $\alpha=-\frac{b}{2a}$ (le sommet est “au milieu” entre les racines quand elles existent).

📖 3. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Expression $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre de racines réelles d’un trinôme du second degré.
• Racines : Solutions réelles de l’équation $f(x)=0$ correspondant aux zéros du trinôme.

📝 Points essentiels

• Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine dans $\mathbb{R}$.
• Si $\Delta=0$, il y a une unique racine $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, il y a deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ règle le sort : $<$0 aucune, $=0 une,$>0 deux via $-b\pm\sqrt{\Delta}$ sur $2a$.

📖 4. Forme factorisée et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Écriture de $f(x)$ comme produit de facteurs à partir des racines, selon la valeur de $\Delta$.
• Signe d’un trinôme : Règle qui relie le signe de $f(x)$ à celui de $a$ et à la position par rapport aux racines.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, on ne factorise pas en facteurs linéaires sur $\mathbb{R}$.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Un trinôme a le même signe que $a$ sur $\mathbb{R}$ sauf entre ses deux racines, où il change de signe.

💡 Astuce mémo

Produit = signe : autour des racines, le facteur $(x-x_i)$ change de signe, donc le trinôme aussi (par rapport à $a$).

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de solutions selon le discriminant

Cas	Discriminant	Solutions réelles
1	$\Delta<0$	0
2	$\Delta=0$	1 : $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
3	$\Delta>0$	2 : $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $a$ et $\Delta$ : $a$ fixe l’ouverture de la parabole, tandis que $\Delta$ fixe le nombre de racines réelles.
2. Mettre un signe faux dans $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et donc décaler le sommet et la variation.
3. Oublier le $\sqrt{\Delta}$ au numérateur quand $\Delta>0$ et écrire une formule “à la place” sans racine carrée.
4. Intervertir $x_1$ et $x_2$ en prenant $-b+\sqrt{\Delta}$ et $-b-\sqrt{\Delta}$ sans cohérence.
5. Croire que $\Delta<0$ implique “une factorisation” : en réel, il n’y a pas de facteurs linéaires.
6. Dire que le trinôme change de signe en $x_0$ quand $\Delta=0 : dans ce cas, il “touche” l’axe (racine double).
7. Appliquer la règle de signe comme si le signe changeait aussi en dehors de l’intervalle entre racines.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la forme générale $f(x)=ax^2+bx+c$ avec la condition $a\neq 0$.
2. Déterminer le sens de la parabole en utilisant le signe de $a$.
3. Calculer l’abscisse du sommet $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
4. Donner l’ordonnée du sommet sous la forme $\beta=f(\alpha)$.
5. Écrire la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
6. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
7. Déduire le nombre de racines réelles selon le signe de $\Delta$.
8. Calculer la racine unique $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ quand $\Delta=0$.
9. Calculer $x_1$ et $x_2$ quand $\Delta>0$ avec $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
10. Construire la forme factorisée selon le cas de $\Delta$ ($\Delta<0$, $\Delta=0$, $\Delta>0$).
11. Déterminer le signe de $f(x)$ à partir du signe de $a$ et de la position par rapport aux racines.