Analyse mathématique des suites et limites

📌 L'essentiel

• Une suite est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ qui donne une valeur pour chaque entier naturel.
• La convergence d'une suite est définie par la limite $l$, avec la propriété : $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, |u(n) - l| \leq \varepsilon$.
• Les suites peuvent être bornées (majorées et minorées) ou non, et ces propriétés influencent leur convergence.
• Une suite monotone (croissante ou décroissante) qui est bornée converge d'après le théorème de convergence des suites monotones bornées.
• Les suites géométriques ont la forme $u_n = a^{n}$ avec $a \in \mathbb{R}$ ; leur limite dépend de $|a|$.
• Les suites récurrentes (définies par une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$) peuvent converger vers des points fixes vérifiant $f(\ell) = \ell$.
• Les formes indéterminées comme $0/0$ ou $\infty / \infty$ nécessitent un traitement particulier.

📖 Concepts clés

Suite : Fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$assignant une valeur à chaque entier, souvent écrite sous la forme $(u(n))_{n \in \mathbb{N}}$.

Suite majorée : $\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u(n) \leq M$.

Suite minorée : $\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u(n) \geq m$.

Suite bornée : Majorée et minorée simultanément.

Suite croissante : $\forall n, u(n+1) \geq u(n)$.

Suite décroissante : $\forall n, u(n+1) \leq u(n)$.