Revision sheet: Annuités et remboursements d’emprunt

📋 Plan du Cours

1. Valeur acquise des annuités
2. Calcul de l’annuité
3. Remboursement par annuités constantes
4. Remboursement in fine
5. Amortissement constant

📖 1. Valeur acquise des annuités

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La valeur acquise après n annuités constantes est V_n = a × ((1+t)^n − 1) / t.

⚡ Dans la formule de la valeur acquise, a désigne le montant de l’annuité, V_n la valeur acquise avec n annuités, t le taux d’intérêts composés et n la durée du placement ou de l’emprunt.

💡 Astuce mémo

Accumuler : annuité × facteur de capitalisation

📖 2. Calcul de l’annuité

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Le montant de l’annuité d’un emprunt est a = V_n × t / ((1+t)^n − 1).

📖 3. Remboursement par annuités constantes

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour un remboursement par annuités constantes, l’annuité est a = C_0 × t / (1 − (1+t)^−n).

🔄 Processus — À chaque période d’un remboursement par annuités constantes, les intérêts sont calculés sur le capital restant dû en début de période, l’amortissement vaut l’annuité moins les intérêts, puis le capital restant dû diminue de cet amortissement.

Compléments

🧮 Formule — Pour la période n, le capital restant dû en début de période vaut C_{n−1} = C_{n−2} − m_{n−1}, les intérêts valent I_n = C_{n−1} × t et l’amortissement vaut m_n = a − I_n.

💡 Astuce mémo

Annuité = intérêts + amortissement

📖 4. Remboursement in fine

🔑 Notions clés & Définitions

• Remboursement in fine : Consiste à payer les intérêts à chaque période et à rembourser la totalité du capital C_0 lors de la dernière période.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Dans un remboursement in fine, les intérêts de chaque période valent I = C_0 × t.

• Dans un remboursement in fine, les annuités des périodes 1 à n−1 valent a_1 = … = a_{n−1} = I, tandis que la dernière annuité vaut a_n = I + C_0.

💡 Astuce mémo

Intérêts pendant, capital à la fin

📖 5. Amortissement constant

🔑 Notions clés & Définitions

• Amortissement constant : Dans un remboursement par amortissement constant, l’amortissement du capital est identique à chaque période et vaut m = C_0 / n.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — À chaque période d’un remboursement par amortissement constant, le capital restant dû diminue de m, les intérêts sont calculés sur le capital restant dû et l’annuité vaut les intérêts de la période plus m.

Compléments

🧮 Formule — Pour la période n, le capital restant dû en début de période vaut C_{n−1} = C_{n−2} − m_{n−1}, les intérêts valent I_n = C_{n−1} × t et l’annuité vaut a_n = I_n + m.

💡 Astuce mémo

Capital constant, intérêts décroissants

📊 Tableaux de synthèse

Modes de remboursement

Mode	Amortissement	Annuité
Annuités constantes	Variable ; m = a − I	Constante
In fine	Nul jusqu’à la dernière période, puis C_0	Intérêts seuls puis I + C_0
Amortissement constant	Constant ; m = C_0 / n	Variable ; intérêts + m

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une annuité constante ne signifie pas que les intérêts et l’amortissement restent constants.
2. Le capital n’est pas amorti progressivement dans un remboursement in fine.
3. Un amortissement constant ne produit pas des annuités constantes, car les intérêts diminuent.