Revision sheet: Calcul intégral

📋 Plan du Cours

1. Unités d’aire et intégrale
2. Notation et interprétation
3. Calcul graphique par aires
4. Encadrement par rectangles
5. Intégrales de signe quelconque
6. Fonction définie par une intégrale
7. Calcul par primitive
8. Linéarité des intégrales
9. Positivité et comparaison

📖 1. Unités d’aire et intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Pour une fonction f continue et positive sur [a ; b], l’intégrale de f sur [a ; b] est l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

📝 Points essentiels

• Le rectangle unité de dimensions 1 sur 1 a une aire de 1 unité d’aire, notée 1 u.a.

• Lorsque les longueurs unitaires sont connues, une aire exprimée en unités d’aire peut être convertie en unités de mesure comme le cm².

💡 Astuce mémo

Courbe + axes = aire

📖 2. Notation et interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• Bornes d’intégration : Les nombres a et b sont les bornes d’intégration de l’intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Variable d’intégration : Dans ∫ₐᵇ f(x) dx, x est la variable d’intégration et peut être remplacée par une autre lettre qui n’intervient pas ailleurs, par exemple ∫ₐᵇ f(t) dt.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intégrale de f sur [a ; b] se note ∫ₐᵇ f(x) dx et se lit « intégrale de a à b de f(x) dx ».

Compléments

• La notation intégrale est due à Gottfried Wilhelm von Leibniz, et Bernhard Riemann a ensuite établi une théorie aboutie du calcul intégral.

💡 Astuce mémo

Bornes, variable, différentiel

📖 3. Calcul graphique par aires

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour déterminer une intégrale par calcul d’aire, on trace la courbe, on repère les surfaces délimitées par la courbe et les axes, puis on calcule et additionne les aires géométriques correspondantes.

🔄 Processus — Pour la droite y = 3 − x sur [2 ; 5], elle est positive sur [2 ; 3] et négative sur [3 ; 5], ce qui impose de séparer l’intégrale en deux aires.

Compléments

• Pour f(x) = x/2 + 3 sur [−1 ; 5], le calcul graphique donne ∫₋₁⁵ f(x) dx = 21 u.a. + 3 u.a. = 24 u.a.

💡 Astuce mémo

Découper puis additionner

📖 4. Encadrement par rectangles

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f est continue, positive et monotone sur [a ; b], le partage en n intervalles de même longueur utilise l’amplitude l = (b − a)/n.

📌 Sur un sous-intervalle [x ; x + l], l’aire sous la courbe est comprise entre les rectangles d’aires l f(x) et l f(x + l).

• Pour l’intégrale de x² sur [1 ; 2], un encadrement obtenu est 2,31 < ∫₁² x² dx < 2,35.

Compléments

🔄 Processus — L’algorithme d’encadrement additionne les aires des rectangles inférieurs et supérieurs sur les n sous-intervalles, puis affiche les deux sommes.

• Pour f(x) = x² sur [1 ; 2], l’augmentation du nombre de sous-intervalles resserre l’encadrement autour de la valeur de l’intégrale.

💡 Astuce mémo

Inférieur < intégrale < supérieur

📖 5. Intégrales de signe quelconque

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et négative sur [a ; b], l’aire géométrique délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b vaut −∫ₐᵇ f(x) dx.

📐 Formule — Pour toute fonction intégrable, ∫ₐᵃ f(x) dx = 0.

📐 Formule — L’inversion des bornes donne ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx.

📐 Formule — La relation de Chasles est ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵦᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx.

📌 Une intégrale nulle n’implique pas que la fonction soit nulle, car les contributions positives et négatives peuvent se compenser.

Compléments

• Pour la fonction cube, ∫₋₁¹ x³ dx = 0 parce que sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

💡 Astuce mémo

Au-dessus positif, en dessous négatif

📖 6. Fonction définie par une intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction intégrale : Si f est continue sur [a ; b], la fonction F définie par F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt vérifie F′(x) = f(x).

📌 Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Compléments

🔄 Processus — Pour étudier les variations de F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, on utilise F′(x) = f(x) puis le signe de f.

• Pour F(x) = ∫₀ˣ t² dt sur [0 ; 10], F est croissante et F(10) = 25 u.a.

💡 Astuce mémo

Intégrale puis dérivée

📖 7. Calcul par primitive

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale par primitive : Pour f continue sur un intervalle I et F une primitive de f, l’intégrale de f sur [a ; b] est la différence F(b) − F(a).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Si F est une primitive de f continue sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ.

🔄 Processus — Pour calculer une intégrale par primitive, on reconnaît une primitive de l’intégrande, on l’évalue en b, on l’évalue en a, puis on soustrait F(a) de F(b).

Compléments

• Une primitive de 3/x² est −3/x, et ∫₁⁴ 3/x² dx = 9/4.

💡 Astuce mémo

Primitive à droite moins primitive à gauche

📖 8. Linéarité des intégrales

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel k, ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx.

📐 Formule — La linéarité par rapport à la somme donne ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx.

Compléments

• Avec A = ∫₀²π cos²(x) dx et B = ∫₀²π sin²(x) dx, les identités cos²(x) + sin²(x) = 1 et cos²(x) − sin²(x) = cos(2x) donnent A + B = 2π et A − B = 0.

• Dans l’exemple précédent, on obtient A = B = π.

💡 Astuce mémo

Constante et somme se distribuent

📖 9. Positivité et comparaison

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si f(x) ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0.

🔄 Processus — Pour encadrer une intégrale, on encadre d’abord l’intégrande par deux fonctions, puis on intègre l’inégalité grâce à la positivité et à la comparaison.

• L’encadrement précédent donne 0 ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ e − 1.

Compléments

• Sur [0 ; 1], on a 0 ≤ e^(−x²) ≤ e^(−x), car x² ≤ x et la fonction exponentielle est croissante et positive.

💡 Astuce mémo

Ordre des fonctions, ordre des intégrales

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une intégrale représente une aire algébrique seulement après extension aux fonctions de signe quelconque.
2. Les bornes a et b ne sont pas la variable d’intégration.
3. Une aire située sous l’axe des abscisses ne contribue pas positivement à l’intégrale.
4. Selon le sens de variation, le rectangle inférieur et le rectangle supérieur n’utilisent pas toujours la même extrémité.
5. L’intégrale d’une fonction négative est négative, tandis que l’aire géométrique reste positive.
6. La borne supérieure est x, tandis que t est une variable muette d’intégration.
7. La somme peut être séparée, mais pas un produit quelconque de fonctions.