Quiz: Cours de Modélisation et Probabilités — 16 questions

1. Dans un planning de révision de 14 jours, que représente chaque « jour n » ?

A. Une semaine complète de révision sans exercice imposé

B. Un chapitre du cours à relire sans entraînement

C. Un exercice précis à faire dans l’ordre, de 1 à 14

D. Un sujet de bac complet à traiter en une seule fois

Answer: (C)

Explanation

Chaque jour correspond à un exercice précis du document, à faire dans l’ordre de 1 à 14. Le planning organise donc le travail sujet par sujet, et non par semaines ou par chapitre.

2. Au terme des 14 jours du planning, combien d’exercices ont été réalisés parmi les 43 proposés ?

A. 37 exercices

B. 43 exercices

C. 14 exercices

D. 29 exercices

Answer: (A)

Explanation

Le planning indique qu’au bout des 14 jours, 37 exercices sur 43 auront été faits. Les exercices restants sont ensuite à terminer ou à refaire avant le sujet complet.

3. Quelle expression donne le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q différent de 1 ?

A. u_n = u_0 q^n

B. u_n = u_0 / q^n

C. u_n = u_0 + nq

D. u_n = q^{u_0+n}

Answer: (A)

Explanation

Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, on a bien u_n = u_0 q^n lorsque q est différent de 1. Les autres expressions correspondent à des formes non géométriques.

4. Que devient la suite (q^n) quand la raison vérifie -1 < q < 1 ?

A. Elle tend vers +∞

B. Elle n’a pas de limite

C. Elle tend vers 0

D. Elle reste égale à 1

Answer: (C)

Explanation

Lorsque -1 < q < 1, les puissances q^n convergent vers 0. En revanche, si q ≤ -1, la suite n’a pas de limite.

5. Quelle étape correspond à l’initialisation d’un raisonnement par récurrence ?

A. Supposer la propriété vraie pour tout entier

B. Calculer directement la limite

C. Vérifier la propriété au rang initial

D. Déduire la propriété au rang n+2

Answer: (C)

Explanation

Une preuve par récurrence commence par montrer que la propriété est vraie au rang initial. On établit ensuite l’hérédité pour passer de n à n+1.

6. Si une suite définie par récurrence u_{n+1}=f(u_n) converge et que f est continue, que permet d’obtenir le passage à la limite ?

A. L’équation ℓ = f(ℓ)

B. La divergence de la suite

C. L’encadrement u_n ge 0 pour tout n

D. L’égalité u_n = u_0

Answer: (A)

Explanation

Quand la suite converge vers ℓ et que f est continue, on peut passer à la limite dans la relation de récurrence, ce qui donne ℓ = f(ℓ). C’est la recherche du point fixe.

7. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A lorsque P(A) est non nulle ?

A. P_A(B) = P(A∩B) / P(A)

B. P_A(B) = P(A) + P(B)

C. P_A(B) = P(A) × P(B)

D. P_A(B) = P(B) / P(A∩B)

Answer: (A)

Explanation

La probabilité conditionnelle se calcule par P_A(B)=P(A∩B)/P(A) lorsque P(A)≠0. On peut donc aussi écrire P(A∩B)=P(A)×P_A(B).

8. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin ?

A. En multipliant les probabilités des branches du chemin

B. En multipliant les probabilités de tous les nœuds de l’arbre

C. En prenant la plus grande probabilité rencontrée

D. En additionnant les probabilités de toutes les branches du niveau

Answer: (A)

Explanation

La probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré est le produit des probabilités portées par les branches successives. La somme intervient plutôt pour obtenir la probabilité d’une issue à partir de plusieurs chemins.

9. Quelle formule donne la probabilité P(X=k) pour une loi binomiale X ~ B(n,p) ?

A. P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}

B. P(X=k)=C(k,n)p^{n-k}(1-p)^k

C. P(X=k)=n p^k (1-p)^n

D. P(X=k)=p^n+(1-p)^k

Answer: (A)

Explanation

Pour une loi binomiale, la probabilité de k succès parmi n épreuves indépendantes est P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}. Le coefficient binomial compte le nombre de façons d’obtenir ces k succès.

10. Que représente le coefficient binomial C(n,k) dans un schéma de Bernoulli ?

A. Le nombre d’échecs obligatoires dans les n épreuves

B. Le nombre de chemins menant à exactement k succès

C. Le nombre total de tirages possibles sans remise

D. La probabilité d’un succès à une épreuve

Answer: (B)

Explanation

Le coefficient binomial C(n,k) compte le nombre de chemins correspondant à exactement k succès parmi n épreuves. Ce n’est pas une probabilité, mais un nombre d’arrangements possibles.

11. Dans l’écriture d’un plan sous la forme ax+by+cz+d=0, quel objet est directement associé au triplet (a,b,c) ?

A. Un vecteur directeur du plan

B. Une base orthonormée du plan

C. Un point appartenant au plan

D. Un vecteur normal au plan

Answer: (D)

Explanation

Le triplet (a,b,c) définit un vecteur normal au plan dans l’équation ax+by+cz+d=0. Ce n’est pas un vecteur directeur, car celui-ci sert plutôt à décrire une droite.

12. Quelle écriture correspond à une représentation paramétrique d’une droite de l’espace ?

A. y=f(x) avec f strictement croissante

B. x=x0+ka, y=y0+kb, z=z0+kc

C. x^2+y^2=z^2

D. ax+by+cz+d=0

Answer: (B)

Explanation

Une droite de l’espace se décrit par un point et un vecteur directeur, ce qui donne des égalités du type x=x0+ka, y=y0+kb, z=z0+kc. La forme ax+by+cz+d=0 décrit un plan, pas une droite.

13. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle ?

A. La fonction coupe toujours l’axe des abscisses

B. La fonction est nécessairement monotone sur l’intervalle

C. La fonction admet forcément une dérivée partout

D. Toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois

Answer: (D)

Explanation

Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’une fonction continue prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) sur l’intervalle. Il ne dit ni qu’elle est dérivable partout, ni qu’elle est monotone.

14. Si une fonction est dérivable deux fois et que sa dérivée seconde est positive sur un intervalle, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

A. Elle est convexe

B. Elle admet forcément une asymptote horizontale

C. Elle est constante

D. Elle est concave

Answer: (A)

Explanation

Quand f''(x) est positive sur un intervalle, la fonction est convexe sur cet intervalle. Si f''(x) est négative, on obtient au contraire une fonction concave.

15. Comment vérifier qu’une fonction F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle ?

A. On calcule les zéros de F

B. On montre que F est continue sur l’intervalle

C. On intègre f et on compare les constantes

D. On dérive F et on vérifie que F'(x)=f(x)

Answer: (D)

Explanation

Pour établir qu’une fonction est une primitive, il faut dériver F et retrouver exactement f. La continuité seule ne suffit pas, car une primitive doit vérifier F'(x)=f(x).

16. Quelle est la forme générale de toutes les primitives d’une fonction f sur un même intervalle ?

A. F(x)-f(x), où f est la fonction donnée

B. F(x)^C, où C est une constante réelle

C. F(x)×C, où C est une constante réelle

D. F(x)+C, où C est une constante réelle

Answer: (D)

Explanation

Toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante : si F est une primitive, alors F(x)+C l’est aussi. C’est pourquoi la constante d’intégration apparaît dans la famille des primitives.