Revision sheet: Critique des primitives de fonctions continues

📋 Plan du Cours

1. Unité d’aire dans un repère orthogonal et calcul d’aires graphiques
2. Définition et propriétés des primitives de fonctions continues
3. Primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées avec règles d’opérations
4. Définition de l’intégrale comme aire sous une courbe positive
5. Fonction définie par une intégrale et théorème fondamental de l’analyse
6. Calcul d’intégrales à l’aide des primitives
7. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque et propriétés associées
8. Valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle
9. Propriétés algébriques des intégrales : relation de Chasles et linéarité
10. Techniques d’intégration : intégration par parties, comparaison et aire entre deux courbes
11. Signe, comparaison et interprétation graphique des intégrales
12. Aire entre deux courbes et calcul par intégrale

📖 1. Unité d’aire dans un repère orthogonal et calcul d’aires graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dans un repère : Cadre de référence constitué d’un point origine et de deux axes perpendiculaires, dans lequel les positions des points sont définies par des coordonnées et où les unités d’aire sont déterminées par l’aire du rectangle formé par les points d’abscisse et ordonnée unité.

📝 Points essentiels

• L’aire d’un domaine graphique peut être calculée en comptant les carreaux et en les convertissant en unités d’aire selon l’unité du repère.
• Pour des domaines non polygonaux, on peut donner un encadrement de l’aire avant de calculer sa valeur exacte.
• L’aire située entre une courbe, l’axe des abscisses et deux droites verticales est exprimée en unités d’aire du repère.

💡 À retenir

Comprendre comment l’unité d’aire est définie dans un repère orthogonal est fondamental pour exprimer et calculer précisément les aires graphiques.

📖 2. Définition et propriétés des primitives de fonctions continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle y' = f : Une équation différentielle où la dérivée de la fonction inconnue y est égale à une fonction donnée f sur un intervalle.
• Fonctions dérivables : Les fonctions qui possèdent une dérivée en chaque point d’un intervalle donné.

📝 Points essentiels

• Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si et seulement si F est dérivable sur I et F' = f.
• Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sur I s’écrivent sous la forme F + k où k est une constante réelle.
• Toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle.
• Pour tout x0 dans I et y0 réel, il existe une unique primitive F de f telle que F(x0) = y0.
• Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique.
• Une fonction G est une primitive de f sur I ssi il existe une constante k telle que, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k .

💡 À retenir

La notion de primitive relie la dérivation à la résolution d’équations différentielles et garantit l’existence d’une famille infinie de solutions différant d’une constante.

📖 3. Primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées avec règles d’opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Remarque : Une fonction F est une primitive d'une fonction f sur un intervalle I si et seulement si F est une solution de l'équation différentielle y' = f sur I.
• Primitives des fonctions usuelles : Les fonctions dont la dérivée est une fonction usuelle, avec des formules explicites pour des fonctions comme x^n, e^x, 1/x, cos x, sin x, permettant de déterminer leurs primitives.
• Comme somme de fonctions dérivables : La dérivabilité d'une fonction somme est assurée lorsque chacune des fonctions sommées est dérivable sur l'intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Les primitives respectent les règles d’addition et de multiplication par une constante : la primitive de f + g est la somme des primitives, et la primitive de kf est k fois la primitive de f.
• Démonstration :
  • Si, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k alors G est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : G ' ( x )=F ' ( x)+0 ⇔ G ' (x )= f (x ) donc G est une primitive de f sur I.
• Une fonction G est une primitive de f sur I ssi il existe une constante k telle que, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k .
• Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique.

💡 À retenir

Maîtriser les primitives des fonctions usuelles et composées permet de construire rapidement des primitives complexes en appliquant des règles d’opérations.

📖 4. Définition de l’intégrale comme aire sous une courbe positive

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire sous une courbe : La mesure géométrique du domaine situé entre la courbe d'une fonction continue et positive sur [a;b], l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.
• Dérivable sur I comme somme : La caractéristique d'une fonction dérivable sur un intervalle I obtenue en additionnant des fonctions dérivables sur ce même intervalle.

📝 Points essentiels

• L’intégrale de f continue et positive sur [a;b] est définie comme l’aire du domaine situé entre la courbe de f, l’axe des abscisses, et les droites x=a et x=b.
• La notation ∫_a^b f(x) dx évoque la somme des aires infinitésimales de rectangles sous la courbe.
• L’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a;b] est un nombre positif.
• La variable d’intégration est muette, le résultat ne dépend pas de la lettre utilisée.
• L’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=2 et x=6 est comprise entre ……………….
• • Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, notons H la fonction définie sur I par H ( x )=G( x)− F (x ) .

💡 À retenir

L’intégrale d’une fonction positive est une mesure géométrique précise de l’aire sous sa courbe, reliant analyse et géométrie.

📖 5. Fonction définie par une intégrale et théorème fondamental de l’analyse

🔑 Notions clés & Définitions

• Sont les fonctions de la forme : Les fonctions qui peuvent s'exprimer sous une certaine forme spécifique, ici se référant aux fonctions définies par une intégrale.
• Sur l’intervalle : L'ensemble des valeurs comprises entre deux bornes a et b, noté [a;b], sur lequel la fonction f est continue et la fonction F est définie.
• Fonction définie par une intégrale : Une fonction F définie sur un intervalle [a;b] par F(x) = ∫_a^x f(t) dt, où f est continue sur [a;b].

📝 Points essentiels

• La dérivée de F est égale à la fonction f : F'(x) = f(x).
• Cette fonction F satisfait F(a) = 0 et F(b) = ∫_a^b f(t) dt.
• Le théorème fondamental établit la correspondance entre intégration et dérivation pour les fonctions continues.
• On considère une fonction u dérivable sur un intervalle I.

💡 À retenir

La dérivée de F est égale à la fonction f : F'(x) = f(x).

📖 6. Calcul d’intégrales à l’aide des primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Calculons l’intégrale I =∫ 0 1 x2 dx .
• Déterminer les primitives : Le processus consistant à trouver une fonction F dont la dérivée est égale à une fonction donnée f, en tenant compte que les primitives diffèrent d’une constante additive.

📝 Points essentiels

• Si F est une primitive de f continue et positive sur [a;b], alors ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
• Le calcul de l’intégrale ne dépend pas de la primitive choisie.
• Exemple : Sur le graphique ci-dessus, l’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine hachuré.

💡 À retenir

Le calcul d’intégrales s’appuie sur la connaissance d’une primitive, simplifiant l’évaluation des aires sous courbe.

📖 7. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque et propriétés associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : Un énoncé mathématique qui décrit une caractéristique ou un comportement spécifique d'une fonction ou d'une intégrale, comme la relation entre une primitive et la fonction intégrée.
• FONCTION CONTINUE : Une fonction définie sur un intervalle I dont la valeur varie sans interruption ni saut, ce qui garantit l'existence de primitives sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• L'intégrale ∫_a^b f(x) dx est définie comme F(b) − F(a) où F est une primitive de f continue sur I, même si f n’est pas positive.
• Si on échange les bornes a et b, l'intégrale change de signe : ∫_b^a f(x) dx = −∫_a^b f(x) dx.
• Les bornes a et b sont appelées bornes inférieure et supérieure respectivement, correspondant à la borne placée en bas et en haut du symbole d’intégration.
• Cette définition permet de généraliser l’intégrale aux fonctions continues de signe quelconque, au-delà des fonctions strictement positives.
• • Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, notons H la fonction définie sur I par H ( x )=G( x)− F (x ) .
• • Lorsque f est continue et positive sur l’intervalle [ a ;b ] , ∫ a b f ( x) dx est un nombre positif.

💡 À retenir

L'intégrale ∫_a^b f(x) dx est définie comme F(b) − F(a) où F est une primitive de f continue sur I, même si f n’est pas positive.

📖 8. Valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction continue sur un intervalle : Une fonction dont la limite en chaque point de l'intervalle est égale à sa valeur en ce point, assurant l'absence de discontinuités sur cet intervalle.
• Soit f une fonction continue : Un intervalle I.
• Valeur moyenne : La valeur moyenne de f sur [ a ;

📝 Points essentiels

• La valeur moyenne m de f continue sur [a;b] est définie par m = (1/(b−a)) × ∫_a^b f(x) dx.
• Cette valeur représente la moyenne des valeurs prises par f sur l’intervalle [a;b].
• Exemple : calcul de la valeur moyenne de f(x) = 3x^2 sur [2;4].

💡 À retenir

La valeur moyenne d’une fonction continue synthétise son comportement global sur un intervalle en un nombre unique interprétable géométriquement.

📖 9. Propriétés algébriques des intégrales : relation de Chasles et linéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : Propriété algébrique des intégrales affirmant que pour tous réels a, b, c dans un intervalle I, la somme des intégrales de f de a à b et de b à c est égale à l'intégrale de f de a à c.
• Linéarité des intégrales : Propriété indiquant que pour tous réels a, b dans un intervalle I, et tout réel k, l'intégrale de la somme de deux fonctions sur [a; b] est égale à la somme des intégrales, et l'intégrale d'une fonction multipliée par k est égale à k fois l'intégrale de cette fonction.
• Intégrales Propriété : Propriété selon laquelle si F est une primitive de f sur [a; b], alors l'intégrale de f de a à b est égale à F(b) − F(a), indépendamment du choix de la primitive.

📝 Points essentiels

• La relation de Chasles : ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx pour tous a, b, c dans I.
• Linéarité : ∫_a^b (f(x) + g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx.
• Linéarité : ∫_a^b k f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx pour tout réel k.
• Ces propriétés facilitent la décomposition et le calcul des intégrales complexes.

💡 À retenir

Les propriétés algébriques fondamentales des intégrales permettent de manipuler et combiner les intégrales de manière simple et efficace.

📖 10. Techniques d’intégration : intégration par parties, comparaison et aire entre deux courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Spécialité Terminale Cours Chapitre : Une unité d'enseignement du programme de spécialité en terminale, abordant des notions spécifiques telles que les techniques d'intégration.

📝 Points essentiels

• Si f(x) ≤ g(x) pour tout x dans [a;b], alors ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx.
• L’aire entre deux courbes f et g, avec g(x) ≥ f(x) sur [a;b], est donnée par ∫_a^b (g(x) − f(x)) dx.
• Ces techniques permettent de calculer des intégrales complexes et des aires plus générales.
• Interprétation graphique dans le cas particulier où f est continue et positive sur [ a ;b ] Exemple : La fonction f est définie sur ℝ par f ( x )=3 x2 .
• PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I.

💡 À retenir

Les techniques avancées d’intégration et de comparaison permettent d’étendre le calcul intégral à des situations variées et complexes.

📖 11. Signe, comparaison et interprétation graphique des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t )v ( t)] a b−∫ a b u ( t)v '( t ) dt .
• Démonstration : Processus rigoureux qui établit une propriété mathématique, ici illustré par la preuve de la formule d'intégration par parties dans le manuel, situation 3 page 243.
• Interprétation graphique : Représentation visuelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur [a;b] comme l'aire sous la courbe de la fonction entre les bornes a et b.
• Comparaison d’intégrales : Méthode utilisant les propriétés des intégrales, notamment la linéarité et le signe des fonctions, pour estimer ou comparer les valeurs d'intégrales sur un même intervalle.

📝 Points essentiels

• Si f(x) ≥ 0 sur [a;b], alors l’intégrale ∫_a^b f(x) dx est ≥ 0 et représente une aire positive.
• Ces propriétés permettent d’interpréter graphiquement et de comparer les intégrales en fonction du signe et des bornes de la fonction.

💡 À retenir

Le signe et la comparaison des intégrales offrent une interprétation géométrique claire et des outils d’estimation pour l’évaluation des aires.

📖 12. Aire entre deux courbes et calcul par intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire entre deux courbes Propriété : Surface délimitée par les courbes de deux fonctions f et g et les droites d’équation x = a et x = b, dont l’aire est donnée par l’intégrale de la différence g(x) − f(x) sur l’intervalle [a; b] lorsque g(x) ≥ f(x) pour tout x dans cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Cette aire est exprimée en unités d’aire du repère, et le calcul nécessite la connaissance des primitives de (g − f).
• Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , g ( x)⩾ f ( x) , alors l’aire comprise entre les courbes représentant f et g et les droites d’équation x=a et x=b est égale à : ∫ a b (g ( x )− f (x )) dx (en unités d’aire) .
• ) est ∫ a b f (t )dt L’aire colorée / grisée (en u.

💡 À retenir

Le calcul de l’aire entre deux courbes s’appuie sur l’intégrale de leur différence, un outil puissant pour quantifier des surfaces complexes.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Terminale Cours Chapitre ... INTÉGRATION INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons calculer des aires donc nous devons tout d’abord préciser dans quelle unité ces aires seront exprimées. Définition : Dans un repère orth (Source: "Terminale Cours Chapitre ... INTÉGRATION INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons calculer des aires donc nous devons tout d’abord préciser dans quelle unité ces aires seront exprimées. Définition : Dans un repère orthogonal (O; I , J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1) .")
2. Détail source à réviser : préciser dans quelle unité ces aires seront exprimées. Définition : Dans un repère orthogonal (O; I , J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1) . Exemple 1 (Source: "préciser dans quelle unité ces aires seront exprimées. Définition : Dans un repère orthogonal (O; I , J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1) . Exemple 1 : On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction f définie sur ℝ par : f ( x )= 2 5 x + 12 5 . Calculons l’aire du")
3. Détail source à réviser : ci-dessous la représentation graphique de la fonction f définie sur ℝ par : f ( x )= 2 5 x + 12 5 . Calculons l’aire du domaine coloré, c’est à dire l’aire du polygone ABCD : A = ………. carreaux L’aire du domaine situé ent (Source: "ci-dessous la représentation graphique de la fonction f définie sur ℝ par : f ( x )= 2 5 x + 12 5 . Calculons l’aire du domaine coloré, c’est à dire l’aire du polygone ABCD : A = ………. carreaux L’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−1 et x=4 est donc égale à ……… unités d’aire (on peut noter A =……. u.a.)")
4. Détail source à réviser : l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−1 et x=4 est donc égale à ……… unités d’aire (on peut noter A =……. u.a.) Exemple 2 : On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction g définie sur ℝ par : (Source: "l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−1 et x=4 est donc égale à ……… unités d’aire (on peut noter A =……. u.a.) Exemple 2 : On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction g définie sur ℝ par : g ( x)=1+ x2 4 . On souhaite déterminer l’aire du domaine coloré, mais cette fois il ne s’agit pas d’un polygone ou d’une autre figure")
5. Détail source à réviser : x2 4 . On souhaite déterminer l’aire du domaine coloré, mais cette fois il ne s’agit pas d’un polygone ou d’une autre figure usuelle dont on sait calculer l’aire… Nous pouvons donner un encadrement de cette aire : …….. < (Source: "x2 4 . On souhaite déterminer l’aire du domaine coloré, mais cette fois il ne s’agit pas d’un polygone ou d’une autre figure usuelle dont on sait calculer l’aire… Nous pouvons donner un encadrement de cette aire : …….. < A < ……. L’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=2 et x=6 est comprise entre")
6. Détail source à réviser : du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=2 et x=6 est comprise entre ………………...…….. unités d’aire. Dans ce chapitre nous apprendrons à calculer la valeur exacte de l’aire de ce typ (Source: "du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=2 et x=6 est comprise entre ………………...…….. unités d’aire. Dans ce chapitre nous apprendrons à calculer la valeur exacte de l’aire de ce type de domaine. Spécialité Terminale Cours Chapitre ... A. PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f")
7. Détail source à réviser : Spécialité Terminale Cours Chapitre ... A. PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I. On dit que F est une (Source: "Spécialité Terminale Cours Chapitre ... A. PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I. On dit que F est une primitive de f sur I si la fonction dérivée de F est f , autrement dit : F est une primitive de f sur I si, pour tout réel x de I, F")
8. Détail source à réviser : de f sur I si la fonction dérivée de F est f , autrement dit : F est une primitive de f sur I si, pour tout réel x de I, F ' ( x )= f ( x) . Remarque : F est une primitive de f sur I ssi F est solution de l’équation diff (Source: "de f sur I si la fonction dérivée de F est f , autrement dit : F est une primitive de f sur I si, pour tout réel x de I, F ' ( x )= f ( x) . Remarque : F est une primitive de f sur I ssi F est solution de l’équation différentielle y ' = f . Exemples : a) Pour tout x de ℝ, F ( x)=x3+ 5 x2+2 x +1 et f (x )=3 x2+ 10 x+2 . F est-elle une primitive de f sur")
9. Détail source à réviser : y ' = f . Exemples : a) Pour tout x de ℝ, F ( x)=x3+ 5 x2+2 x +1 et f (x )=3 x2+ 10 x+2 . F est-elle une primitive de f sur ℝ ? b) Pour tout x de ]0 ;+∞[ , g ( x)= 3 x ; G( x)=3 ln(x) , H ( x )=3 ln( x)+5 et K ( x)=3 ln( (Source: "y ' = f . Exemples : a) Pour tout x de ℝ, F ( x)=x3+ 5 x2+2 x +1 et f (x )=3 x2+ 10 x+2 . F est-elle une primitive de f sur ℝ ? b) Pour tout x de ]0 ;+∞[ , g ( x)= 3 x ; G( x)=3 ln(x) , H ( x )=3 ln( x)+5 et K ( x)=3 ln( x )+ 2 x . • G est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • H est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • K est-elle une primitive de g")
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11. Détail source à réviser : pas unique. N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une constante, sera une primitive de f . Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive F sur I. Une foncti (Source: "pas unique. N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une constante, sera une primitive de f . Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive F sur I. Une fonction G est une primitive de f sur I ssi il existe une constante k telle que, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k . Spécialité Terminale Cours")
12. Détail source à réviser : primitive de f sur I ssi il existe une constante k telle que, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k . Spécialité Terminale Cours Chapitre ... Démonstration : • Si, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k alors G est dérivable sur I (Source: "primitive de f sur I ssi il existe une constante k telle que, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k . Spécialité Terminale Cours Chapitre ... Démonstration : • Si, pour tout x de I, G( x)=F (x )+k alors G est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : G ' ( x )=F ' ( x)+0 ⇔ G ' (x )= f (x ) donc G est une primitive de f sur")
13. Détail source à réviser : de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : G ' ( x )=F ' ( x)+0 ⇔ G ' (x )= f (x ) donc G est une primitive de f sur I. • Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, notons H la fonction définie sur I par (Source: "de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : G ' ( x )=F ' ( x)+0 ⇔ G ' (x )= f (x ) donc G est une primitive de f sur I. • Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, notons H la fonction définie sur I par H ( x )=G( x)− F (x ) . H est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : H ' ( x)=G ' ( x)−F ' (x )=")
14. Détail source à réviser : x)− F (x ) . H est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : H ' ( x)=G ' ( x)−F ' (x )= f ( x )− f (x )=0 . La fonction H est donc une fonction constante : il existe un réel k tel q (Source: "x)− F (x ) . H est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et pour tout x de I : H ' ( x)=G ' ( x)−F ' (x )= f ( x )− f (x )=0 . La fonction H est donc une fonction constante : il existe un réel k tel que, pour tout x de I, H ( x )=k ⇔ G( x)−F (x )=k ⇔ G( x)=F ( x )+k . 2) Existence de primitives Théorème (admis) : Toute fonction continue")
15. Détail source à réviser : x de I, H ( x )=k ⇔ G( x)−F (x )=k ⇔ G( x)=F ( x )+k . 2) Existence de primitives Théorème (admis) : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle. Propriété : Soit f une fonction co (Source: "x de I, H ( x )=k ⇔ G( x)−F (x )=k ⇔ G( x)=F ( x )+k . 2) Existence de primitives Théorème (admis) : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle. Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tout réel x0 de I et pour tout réel y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que F ( x0)=")
16. Détail source à réviser : un intervalle I. Pour tout réel x0 de I et pour tout réel y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que F ( x0)= y0 . 3) Primitives des fonctions usuelles Le tableau ci-dessous se déduit directement du table (Source: "un intervalle I. Pour tout réel x0 de I et pour tout réel y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que F ( x0)= y0 . 3) Primitives des fonctions usuelles Le tableau ci-dessous se déduit directement du tableau des dérivées des fonctions usuelles. Fonction f : Sur l’intervalle : Une primitive de f est F : f (x )=m , où m est une constante et m∈ℝ")
17. Détail source à réviser : des fonctions usuelles. Fonction f : Sur l’intervalle : Une primitive de f est F : f (x )=m , où m est une constante et m∈ℝ ℝ F ( x)=m×x f ( x )=x ℝ F ( x)=1 2 x2 f (x )=xn où n est un entier et n⩾2 ℝ F ( x)= 1 n+1 xn +1 (Source: "des fonctions usuelles. Fonction f : Sur l’intervalle : Une primitive de f est F : f (x )=m , où m est une constante et m∈ℝ ℝ F ( x)=m×x f ( x )=x ℝ F ( x)=1 2 x2 f (x )=xn où n est un entier et n⩾2 ℝ F ( x)= 1 n+1 xn +1 f (x )= 1 x ]0 ;+∞[ F ( x)=ln (x ) f ( x )= 1 x2 ]−∞ ;0 [ ou ]0 ;+∞[ F ( x)=− 1 x f (x )=x− n= 1 xn où n est un entier et n⩾2 ]−∞ ;0 [")
18. Détail source à réviser : 1 x ]0 ;+∞[ F ( x)=ln (x ) f ( x )= 1 x2 ]−∞ ;0 [ ou ]0 ;+∞[ F ( x)=− 1 x f (x )=x− n= 1 xn où n est un entier et n⩾2 ]−∞ ;0 [ ou ]0 ;+∞[ F ( x)= 1 −n+1 x−n+1 f (x )=e x ℝ F ( x)=ex f (x )= 1 √ x ]0 ;+∞[ F ( x)=2√ x f (x (Source: "1 x ]0 ;+∞[ F ( x)=ln (x ) f ( x )= 1 x2 ]−∞ ;0 [ ou ]0 ;+∞[ F ( x)=− 1 x f (x )=x− n= 1 xn où n est un entier et n⩾2 ]−∞ ;0 [ ou ]0 ;+∞[ F ( x)= 1 −n+1 x−n+1 f (x )=e x ℝ F ( x)=ex f (x )= 1 √ x ]0 ;+∞[ F ( x)=2√ x f (x )=cos (x) ℝ F ( x)=sin(x ) f (x )=sin( x) ℝ F ( x)=−cos( x) Spécialité Terminale Cours Chapitre ... Exemples : a) Pour tout x de ℝ, f (x")
19. Détail source à réviser : F ( x)=sin(x ) f (x )=sin( x) ℝ F ( x)=−cos( x) Spécialité Terminale Cours Chapitre ... Exemples : a) Pour tout x de ℝ, f (x )=x2 +5 . Une primitive de f sur ℝ est F telle que : Les primitives de f sur ℝ sont les fonctio (Source: "F ( x)=sin(x ) f (x )=sin( x) ℝ F ( x)=−cos( x) Spécialité Terminale Cours Chapitre ... Exemples : a) Pour tout x de ℝ, f (x )=x2 +5 . Une primitive de f sur ℝ est F telle que : Les primitives de f sur ℝ sont les fonctions de la forme b) Pour tout x de ℝ, g ( x)=5 e x+ 8 x . Une primitive de g sur ℝ est G telle que : Les primitives de g sur ℝ sont les")
20. Détail source à réviser : b) Pour tout x de ℝ, g ( x)=5 e x+ 8 x . Une primitive de g sur ℝ est G telle que : Les primitives de g sur ℝ sont les fonctions de la forme c) Pour tout x de ]0;+ ∞[ , h( x)= 3 x −2 sin( x) . Une primitive de h sur ]0;+ (Source: "b) Pour tout x de ℝ, g ( x)=5 e x+ 8 x . Une primitive de g sur ℝ est G telle que : Les primitives de g sur ℝ sont les fonctions de la forme c) Pour tout x de ]0;+ ∞[ , h( x)= 3 x −2 sin( x) . Une primitive de h sur ]0;+ ∞[ est H telle que : Les primitives de h sur ]0;+ ∞[ sont les fonctions de la forme : 4) Primitives et opérations De même, le tableau")
21. Détail source à réviser : telle que : Les primitives de h sur ]0;+ ∞[ sont les fonctions de la forme : 4) Primitives et opérations De même, le tableau ci-dessous se déduit des formules de dérivation vues dans les chapitres précédents. On considèr (Source: "telle que : Les primitives de h sur ]0;+ ∞[ sont les fonctions de la forme : 4) Primitives et opérations De même, le tableau ci-dessous se déduit des formules de dérivation vues dans les chapitres précédents. On considère une fonction u dérivable sur un intervalle I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u")
22. Détail source à réviser : u dérivable sur un intervalle I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u ' (x ) u ( x) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=ln(u (x )) f (x )= u ' ( x) 2 √u (x ) ave (Source: "u dérivable sur un intervalle I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u ' (x ) u ( x) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=ln(u (x )) f (x )= u ' ( x) 2 √u (x ) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=√u( x) f (x )=u ' ( x)×(u (x ))n où n ∈ ℤ \ {-1;0} et u (x )≠0 pour tout x de I si n< 0 F ( x)= 1")
23. Détail source à réviser : 0 pour tout x de I F ( x)=√u( x) f (x )=u ' ( x)×(u (x ))n où n ∈ ℤ \ {-1;0} et u (x )≠0 pour tout x de I si n< 0 F ( x)= 1 n+1 (u( x))n+1 Exemple : Pour tout x de ℝ, f ( x )=2 e2 x−5 . Déterminer les primitives de f sur (Source: "0 pour tout x de I F ( x)=√u( x) f (x )=u ' ( x)×(u (x ))n où n ∈ ℤ \ {-1;0} et u (x )≠0 pour tout x de I si n< 0 F ( x)= 1 n+1 (u( x))n+1 Exemple : Pour tout x de ℝ, f ( x )=2 e2 x−5 . Déterminer les primitives de f sur ℝ. Spécialité Terminale Cours Chapitre ... B. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE 1) Notion d’intégrale Définition : Soit f une")
24. Détail source à réviser : Terminale Cours Chapitre ... B. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE 1) Notion d’intégrale Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] , soit C sa courbe représentative dans un (Source: "Terminale Cours Chapitre ... B. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE 1) Notion d’intégrale Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] , soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine situé entre la courbe C,")
25. Détail source à réviser : L’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine situé entre la courbe C, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=a et x=b . Ce nombre se note ∫ a b f ( x)dx . Exemple : (Source: "L’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine situé entre la courbe C, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=a et x=b . Ce nombre se note ∫ a b f ( x)dx . Exemple : Sur le graphique ci-dessus, l’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine hachuré.")
26. Détail source à réviser : le graphique ci-dessus, l’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine hachuré. Remarques : • La notation ∫ a b f ( x)dx fait allusion à la méthode des rectangles utilisée pour (Source: "le graphique ci-dessus, l’intégrale de f entre a et b est l’aire, exprimée en unités d’aire du repère, du domaine hachuré. Remarques : • La notation ∫ a b f ( x)dx fait allusion à la méthode des rectangles utilisée pour calculer l’aire sous une courbe (voir activité 1 page 242 et graphique ci-contre). ∫ est un « S » allongé qui signifie somme ; f ( x )dx")
27. Détail source à réviser : sous une courbe (voir activité 1 page 242 et graphique ci-contre). ∫ est un « S » allongé qui signifie somme ; f ( x )dx rappelle le calcul de l’aire d’un rectangle de longueur f (x ) et de largeur dx (quantité infinités (Source: "sous une courbe (voir activité 1 page 242 et graphique ci-contre). ∫ est un « S » allongé qui signifie somme ; f ( x )dx rappelle le calcul de l’aire d’un rectangle de longueur f (x ) et de largeur dx (quantité infinitésimale). • Cette intégrale peut se noter ∫ a b f ( x) dx ou ∫ a b f (t )dt ou encore ∫ a b f (u)du … On dit que x (ou t ou u) est une")
28. Détail source à réviser : • Cette intégrale peut se noter ∫ a b f ( x) dx ou ∫ a b f (t )dt ou encore ∫ a b f (u)du … On dit que x (ou t ou u) est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat. • Lorsque f est continue et positiv (Source: "• Cette intégrale peut se noter ∫ a b f ( x) dx ou ∫ a b f (t )dt ou encore ∫ a b f (u)du … On dit que x (ou t ou u) est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat. • Lorsque f est continue et positive sur l’intervalle [ a ;b ] , ∫ a b f ( x) dx est un nombre positif. 2) Fonction définie par une intégrale Sur le graphique ci-contre, f")
29. Détail source à réviser : [ a ;b ] , ∫ a b f ( x) dx est un nombre positif. 2) Fonction définie par une intégrale Sur le graphique ci-contre, f une fonction continue et positive sur l’intervalle [ a ;b ] . Le réel x est un nombre de l’intervalle (Source: "[ a ;b ] , ∫ a b f ( x) dx est un nombre positif. 2) Fonction définie par une intégrale Sur le graphique ci-contre, f une fonction continue et positive sur l’intervalle [ a ;b ] . Le réel x est un nombre de l’intervalle [ a ;b ] . L’aire hachurée (en u.a.) est ∫ a b f (t )dt L’aire colorée / grisée (en u.a.) est ∫ a x f (t )dt , elle dépend de x et")
30. Détail source à réviser : ] . L’aire hachurée (en u.a.) est ∫ a b f (t )dt L’aire colorée / grisée (en u.a.) est ∫ a x f (t )dt , elle dépend de x et c’est pourquoi on la notera F ( x) . On définit ainsi sur l’intervalle [ a ;b ] une fonction F t (Source: "] . L’aire hachurée (en u.a.) est ∫ a b f (t )dt L’aire colorée / grisée (en u.a.) est ∫ a x f (t )dt , elle dépend de x et c’est pourquoi on la notera F ( x) . On définit ainsi sur l’intervalle [ a ;b ] une fonction F telle que F (a)=0 et F (b)=∫ a b f (t )dt . Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] . La fonction F")
31. Détail source à réviser : et F (b)=∫ a b f (t )dt . Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] . La fonction F définie sur [ a ;b ] par F ( x)=∫ a x f (t) dt est dérivable sur [ a ;b ] et sa dérivée est la fonc (Source: "et F (b)=∫ a b f (t )dt . Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] . La fonction F définie sur [ a ;b ] par F ( x)=∫ a x f (t) dt est dérivable sur [ a ;b ] et sa dérivée est la fonction f : pour tout x ∈ [ a ;b ] , F ' (x )= f ( x) . Démonstration : manuel page 250 Spécialité Terminale Cours Chapitre ... 3) Calcul")
32. Détail source à réviser : : pour tout x ∈ [ a ;b ] , F ' (x )= f ( x) . Démonstration : manuel page 250 Spécialité Terminale Cours Chapitre ... 3) Calcul d’intégrales Propriété : Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle (Source: ": pour tout x ∈ [ a ;b ] , F ' (x )= f ( x) . Démonstration : manuel page 250 Spécialité Terminale Cours Chapitre ... 3) Calcul d’intégrales Propriété : Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] . Si F est une primitive de f sur [ a ;b ] alors : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Remarques : • Le calcul de l’intégrale ne")
33. Détail source à réviser : F est une primitive de f sur [ a ;b ] alors : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Remarques : • Le calcul de l’intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. • Le nombre F (b)−F (a) se note également : [ F ( x )]a b . Exemp (Source: "F est une primitive de f sur [ a ;b ] alors : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Remarques : • Le calcul de l’intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. • Le nombre F (b)−F (a) se note également : [ F ( x )]a b . Exemple : Calculons l’intégrale I =∫ 0 1 x2 dx . C. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale")
34. Détail source à réviser : l’intégrale I =∫ 0 1 x2 dx . C. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I et F une pr (Source: "l’intégrale I =∫ 0 1 x2 dx . C. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I. L’intégrale de a à b de f est le nombre F ( b)−F (a) . On note : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Les nombres a et b")
35. Détail source à réviser : de f sur I. L’intégrale de a à b de f est le nombre F ( b)−F (a) . On note : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Les nombres a et b sont appelés les bornes de l’intervalle ; la borne supérieure est la borne placée en haut, la (Source: "de f sur I. L’intégrale de a à b de f est le nombre F ( b)−F (a) . On note : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Les nombres a et b sont appelés les bornes de l’intervalle ; la borne supérieure est la borne placée en haut, la borne inférieure est la borne placée en bas du signe ∫ . Remarque 1 : Ici la fonction f est continue mais pas nécessairement positive sur")
36. Détail source à réviser : est la borne placée en bas du signe ∫ . Remarque 1 : Ici la fonction f est continue mais pas nécessairement positive sur I et on n’a pas nécessairement a⩽b , contrairement à la situation du paragraphe A. Remarque 2 : On (Source: "est la borne placée en bas du signe ∫ . Remarque 1 : Ici la fonction f est continue mais pas nécessairement positive sur I et on n’a pas nécessairement a⩽b , contrairement à la situation du paragraphe A. Remarque 2 : On a ∫ b a f ( x ) dx=−∫ a b f (x )dx puisque ∫ a b f (x )dx=F (b)−F (a ) et ∫ b a f ( x ) dx=F (a)−F ( b) . Ainsi, si on échange les")
37. Détail source à réviser : f ( x ) dx=−∫ a b f (x )dx puisque ∫ a b f (x )dx=F (b)−F (a ) et ∫ b a f ( x ) dx=F (a)−F ( b) . Ainsi, si on échange les bornes de l’intégrale, on obtient le nombre opposé. Exemple : Calculons l’intégrale J =∫ 2 5 (−2 (Source: "f ( x ) dx=−∫ a b f (x )dx puisque ∫ a b f (x )dx=F (b)−F (a ) et ∫ b a f ( x ) dx=F (a)−F ( b) . Ainsi, si on échange les bornes de l’intégrale, on obtient le nombre opposé. Exemple : Calculons l’intégrale J =∫ 2 5 (−2 x +3) dx . Spécialité Terminale Cours Chapitre ... 2) Valeur moyenne d’une fonction Définition : Soit f une fonction continue sur un")
38. Détail source à réviser : Terminale Cours Chapitre ... 2) Valeur moyenne d’une fonction Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ;b ] tel que a <b . La valeur moyenne de f sur [ a ;b ] est le nombre m= 1 b−a ×∫ a b f ( x)dx (Source: "Terminale Cours Chapitre ... 2) Valeur moyenne d’une fonction Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ;b ] tel que a <b . La valeur moyenne de f sur [ a ;b ] est le nombre m= 1 b−a ×∫ a b f ( x)dx . Il représente la moyenne des valeurs prises par f (x ) lorsque x parcourt l’intervalle [ a ;b ] . Interprétation graphique")
39. Détail source à réviser : Il représente la moyenne des valeurs prises par f (x ) lorsque x parcourt l’intervalle [ a ;b ] . Interprétation graphique dans le cas particulier où f est continue et positive sur [ a ;b ] Exemple : La fonction f est dé (Source: "Il représente la moyenne des valeurs prises par f (x ) lorsque x parcourt l’intervalle [ a ;b ] . Interprétation graphique dans le cas particulier où f est continue et positive sur [ a ;b ] Exemple : La fonction f est définie sur ℝ par f ( x )=3 x2 . Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [2 ;4 ] . D. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce")
40. Détail source à réviser : par f ( x )=3 x2 . Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [2 ;4 ] . D. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I. 1) Relation de Chasles Proprié (Source: "par f ( x )=3 x2 . Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [2 ;4 ] . D. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I. 1) Relation de Chasles Propriété : Pour tous réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x)dx=∫ a c f ( x)dx 2) Linéarité des intégrales Propriété :")
41. Détail source à réviser : réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x)dx=∫ a c f ( x)dx 2) Linéarité des intégrales Propriété : Pour tous réels a, b de l’intervalle I, pour tout nombre réel k on a : (1) ∫ a b f ( x )dx+∫ a (Source: "réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x)dx=∫ a c f ( x)dx 2) Linéarité des intégrales Propriété : Pour tous réels a, b de l’intervalle I, pour tout nombre réel k on a : (1) ∫ a b f ( x )dx+∫ a b g (x )dx=∫ a b ( f (x)+ g ( x )) dx ; (2) ∫ a b (k × f ( x)) dx=k ×∫ a b f (x)dx Exemples : ∫ 0 3 5 x2 dx=5×∫ 0 3 x2 dx ; ∫ −1 4 (2 x")
42. Détail source à réviser : a b ( f (x)+ g ( x )) dx ; (2) ∫ a b (k × f ( x)) dx=k ×∫ a b f (x)dx Exemples : ∫ 0 3 5 x2 dx=5×∫ 0 3 x2 dx ; ∫ −1 4 (2 x +1) dx+∫ −1 4 ( x −2)dx=∫ −1 4 ((2 x+ 1)+( x−2)) dx=∫ −1 4 (3 x−1)dx . Spécialité Terminale Cours (Source: "a b ( f (x)+ g ( x )) dx ; (2) ∫ a b (k × f ( x)) dx=k ×∫ a b f (x)dx Exemples : ∫ 0 3 5 x2 dx=5×∫ 0 3 x2 dx ; ∫ −1 4 (2 x +1) dx+∫ −1 4 ( x −2)dx=∫ −1 4 ((2 x+ 1)+( x−2)) dx=∫ −1 4 (3 x−1)dx . Spécialité Terminale Cours Chapitre ... 3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v '")
43. Détail source à réviser : ... 3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues sur I. Soient a et b deux réel de I. On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t (Source: "... 3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues sur I. Soient a et b deux réel de I. On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t )v ( t)] a b−∫ a b u ( t)v '( t ) dt . Démonstration : manuel situation 3 page 243 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient")
44. Détail source à réviser : a b u ( t)v '( t ) dt . Démonstration : manuel situation 3 page 243 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . • Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , f (x )⩾ (Source: "a b u ( t)v '( t ) dt . Démonstration : manuel situation 3 page 243 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . • Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , f (x )⩾0 alors ∫ a b f ( x )dx⩾0 . • Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , f (x )⩽0 alors ∫ a b f ( x )dx⩽0 . Interprétation")
45. Détail source à réviser : a b f ( x )dx⩾0 . • Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , f (x )⩽0 alors ∫ a b f ( x )dx⩽0 . Interprétation graphique : Sur le graphique ci-contre, on a représenté une fonction f continue sur un intervalle [ a (Source: "a b f ( x )dx⩾0 . • Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , f (x )⩽0 alors ∫ a b f ( x )dx⩽0 . Interprétation graphique : Sur le graphique ci-contre, on a représenté une fonction f continue sur un intervalle [ a ;b ] ; notons A l’aire (en u.a.) du domaine situé entre C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b : • si pour tout x")
46. Détail source à réviser : A l’aire (en u.a.) du domaine situé entre C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b : • si pour tout x de [ a ;b ] , f (x )⩾0 alors ∫ a b f (x )dx = A • Si, pour tout x de [ a ;b ] , f (x )⩽0 alors ∫ (Source: "A l’aire (en u.a.) du domaine situé entre C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b : • si pour tout x de [ a ;b ] , f (x )⩾0 alors ∫ a b f (x )dx = A • Si, pour tout x de [ a ;b ] , f (x )⩽0 alors ∫ a b f (x )dx = - A Propriété 2 : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . • Si, pour tout réel x de [ a ;b ] , f (x )⩾g ( x) alors ∫")
47. Détail source à réviser : = - A Propriété 2 : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . • Si, pour tout réel x de [ a ;b ] , f (x )⩾g ( x) alors ∫ a b f ( x ) dx⩾∫ a b g ( x)dx . • Si, pour tout réel x de [ a ;b ] , m⩽ f ( x)⩽M alors m(b−a )⩽∫ (Source: "= - A Propriété 2 : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . • Si, pour tout réel x de [ a ;b ] , f (x )⩾g ( x) alors ∫ a b f ( x ) dx⩾∫ a b g ( x)dx . • Si, pour tout réel x de [ a ;b ] , m⩽ f ( x)⩽M alors m(b−a )⩽∫ a b f (x ) dx⩽M (b−a) . 5) Aire entre deux courbes Propriété : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . Si, pour tout réel x de")
48. Détail source à réviser : m⩽ f ( x)⩽M alors m(b−a )⩽∫ a b f (x ) dx⩽M (b−a) . 5) Aire entre deux courbes Propriété : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , g ( x)⩾ f ( x) , alors l’aire compri (Source: "m⩽ f ( x)⩽M alors m(b−a )⩽∫ a b f (x ) dx⩽M (b−a) . 5) Aire entre deux courbes Propriété : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b . Si, pour tout réel x de l’intervalle [ a ;b ] , g ( x)⩾ f ( x) , alors l’aire comprise entre les courbes représentant f et g et les droites d’équation x=a et x=b est égale à : ∫ a b (g ( x )− f (x )) dx (en unités d’aire)")
49. Détail source à réviser : J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1) (Source: "J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1)")
50. Détail source à réviser : carreaux L’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−1 et x=4 est donc égale à ……… unités d’aire (on peut noter A =…… (Source: "carreaux L’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−1 et x=4 est donc égale à ……… unités d’aire (on peut noter A =……")
51. Détail source à réviser : A. PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I (Source: "A. PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I")
52. Détail source à réviser : a) Pour tout x de ℝ, F ( x)=x3+ 5 x2+2 x +1 et f (x )=3 x2+ 10 x+2 (Source: "a) Pour tout x de ℝ, F ( x)=x3+ 5 x2+2 x +1 et f (x )=3 x2+ 10 x+2")
53. Détail source à réviser : b) Pour tout x de ]0 ;+∞[ , g ( x)= 3 x ; G( x)=3 ln(x) , H ( x )=3 ln( x)+5 et K ( x)=3 ln( x )+ 2 x (Source: "b) Pour tout x de ]0 ;+∞[ , g ( x)= 3 x ; G( x)=3 ln(x) , H ( x )=3 ln( x)+5 et K ( x)=3 ln( x )+ 2 x")
54. Détail source à réviser : Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive F sur I (Source: "Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive F sur I")
55. Détail source à réviser : I. • Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, notons H la fonction définie sur I par H ( x )=G( x)− F (x ) (Source: "I. • Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, notons H la fonction définie sur I par H ( x )=G( x)− F (x )")
56. Détail source à réviser : I. Pour tout réel x0 de I et pour tout réel y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que F ( x0)= y0 (Source: "I. Pour tout réel x0 de I et pour tout réel y0 , il existe une unique primitive F de f sur I telle que F ( x0)= y0")
57. Détail source à réviser : x) ℝ F ( x)=−cos( x) Spécialité Terminale Cours Chapitre (Source: "x) ℝ F ( x)=−cos( x) Spécialité Terminale Cours Chapitre")
58. Détail source à réviser : 4) Primitives et opérations De même, le tableau ci-dessous se déduit des formules de dérivation vues dans les chapitres précédents (Source: "4) Primitives et opérations De même, le tableau ci-dessous se déduit des formules de dérivation vues dans les chapitres précédents")
59. Détail source à réviser : On considère une fonction u dérivable sur un intervalle I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u ' (x ) u ( x) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=ln(u (x )) f (x (Source: "On considère une fonction u dérivable sur un intervalle I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u ' (x ) u ( x) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=ln(u (x )) f (x )= u ' ( x) 2 √u (x ) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=√u( x) f (x )=u ' ( x)×(u (x ))n où n ∈ ℤ \ {-1;0} et u (x )≠0 pour tout x...")
60. Détail source à réviser : B. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE 1) Notion d’intégrale Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] , soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (Source: "B. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE 1) Notion d’intégrale Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] , soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal")
61. Détail source à réviser : Remarques : • La notation ∫ a b f ( x)dx fait allusion à la méthode des rectangles utilisée pour calculer l’aire sous une courbe (voir activité 1 page 242 et graphique ci-contre) (Source: "Remarques : • La notation ∫ a b f ( x)dx fait allusion à la méthode des rectangles utilisée pour calculer l’aire sous une courbe (voir activité 1 page 242 et graphique ci-contre)")
62. Détail source à réviser : 2) Fonction définie par une intégrale Sur le graphique ci-contre, f une fonction continue et positive sur l’intervalle [ a ;b ] (Source: "2) Fonction définie par une intégrale Sur le graphique ci-contre, f une fonction continue et positive sur l’intervalle [ a ;b ]")
63. Détail source à réviser : On définit ainsi sur l’intervalle [ a ;b ] une fonction F telle que F (a)=0 et F (b)=∫ a b f (t )dt (Source: "On définit ainsi sur l’intervalle [ a ;b ] une fonction F telle que F (a)=0 et F (b)=∫ a b f (t )dt")
64. Détail source à réviser : 3) Calcul d’intégrales Propriété : Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [ a ;b ] (Source: "3) Calcul d’intégrales Propriété : Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [ a ;b ]")
65. Détail source à réviser : C. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I (Source: "C. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I")
66. Détail source à réviser : A. Remarque 2 : On a ∫ b a f ( x ) dx=−∫ a b f (x )dx puisque ∫ a b f (x )dx=F (b)−F (a ) et ∫ b a f ( x ) dx=F (a)−F ( b) (Source: "A. Remarque 2 : On a ∫ b a f ( x ) dx=−∫ a b f (x )dx puisque ∫ a b f (x )dx=F (b)−F (a ) et ∫ b a f ( x ) dx=F (a)−F ( b)")
67. Détail source à réviser : 2) Valeur moyenne d’une fonction Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ;b ] tel que a <b (Source: "2) Valeur moyenne d’une fonction Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ;b ] tel que a <b")
68. Détail source à réviser : 1) Relation de Chasles Propriété : Pour tous réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x)dx=∫ a c f ( x)dx 2) Linéarité des intégrales Propriété : Pour tous réels a, b de l’intervalle I, pour tout (Source: "1) Relation de Chasles Propriété : Pour tous réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x)dx=∫ a c f ( x)dx 2) Linéarité des intégrales Propriété : Pour tous réels a, b de l’intervalle I, pour tout nombre réel k on a : (1) ∫ a b f ( x )dx+∫ a b g (x )dx=∫ a b ( f (x)+ g ( x )) dx ; (2) ∫ a b (k × f ( x)) dx=k ×∫ a b f (x)dx Exemples...")
69. Détail source à réviser : 3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues sur I (Source: "3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues sur I")
70. Détail source à réviser : I. On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t )v ( t)] a b−∫ a b u ( t)v '( t ) dt (Source: "I. On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t )v ( t)] a b−∫ a b u ( t)v '( t ) dt")
71. Détail source à réviser : Interprétation graphique : Sur le graphique ci-contre, on a représenté une fonction f continue sur un intervalle [ a ;b ] ; notons A l’aire (en u (Source: "Interprétation graphique : Sur le graphique ci-contre, on a représenté une fonction f continue sur un intervalle [ a ;b ] ; notons A l’aire (en u")
72. Détail source à réviser : 5) Aire entre deux courbes Propriété : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b (Source: "5) Aire entre deux courbes Propriété : Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b")
73. Détail source à réviser : 3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues sur I. Soient a et b deux réel de I. On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t )v ( (Source: "3) Intégration par partie Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues sur I. Soient a et b deux réel de I. On a alors : ∫ a b u ' ( t)v (t )dt=[u (t )v ( t)] a b−∫ a b u ( t)v '( t ) dt . Démonstration : manuel situation 3 page 243 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a...")
74. Détail source à réviser : 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b (Source: "4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b")
75. Détail source à réviser : PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I. On dit que F est une primitive de f sur I si la fonction dérivé (Source: "PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I. On dit que F est une primitive de f sur I si la fonction dérivée de F est f , autrement dit : F est une primitive de f sur I si, pour tout réel x de I, F ' ( x )= f ( x) . Remarque : F est une primiti...")
76. Détail source à réviser : INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I. L’intégrale (Source: "INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE 1) Définition d’une intégrale Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I. L’intégrale de a à b de f est le nombre F ( b)−F (a) . On note : ∫ a b f ( x )dx=F (b)−F (a ) . Les nombres a et b sont appelés les bornes de l’inter...")
77. Détail source à réviser : PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I. 1) Relation de Chasles Propriété : Pour tous réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x (Source: "PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I. 1) Relation de Chasles Propriété : Pour tous réels a, b et c de l’intervalle I, on a : ∫ a b f (x)dx+∫ b c f (x)dx=∫ a c f ( x)dx 2) Linéarité des intégrales Propriété : Pour tous réels a, b de l’intervalle I, pour tout nombre réel k on a : (1) ∫ a...")
78. Détail source à réviser : 2) Existence de primitives Théorème (admis) : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle (Source: "2) Existence de primitives Théorème (admis) : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle")
79. Détail source à réviser : 3) Primitives des fonctions usuelles Le tableau ci-dessous se déduit directement du tableau des dérivées des fonctions usuelles (Source: "3) Primitives des fonctions usuelles Le tableau ci-dessous se déduit directement du tableau des dérivées des fonctions usuelles")
80. Détail source à réviser : I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u ' (x ) u ( x) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=ln(u (x )) f (x )= u ' ( x) 2 √u (x ) avec u ( x )> 0 pour tout x de I (Source: "I. Fonction f Une primitive de f sur I est F : f (x )=u ' ( x)×eu( x) F ( x)=eu( x) f ( x )= u ' (x ) u ( x) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=ln(u (x )) f (x )= u ' ( x) 2 √u (x ) avec u ( x )> 0 pour tout x de I F ( x)=√u( x) f (x )=u ' ( x)×(u (x ))n où n ∈ ℤ \ {-1;0} et u (x )≠0 pour tout x de I si n< 0 F ( x)= 1 n+1 (u( x))n+1 Exemple : Pour to...")
81. Détail source à réviser : a) Pour tout x de ℝ, f (x )=x2 +5 (Source: "a) Pour tout x de ℝ, f (x )=x2 +5")
82. Détail source à réviser : b) Pour tout x de ℝ, g ( x)=5 e x+ 8 x (Source: "b) Pour tout x de ℝ, g ( x)=5 e x+ 8 x")
83. Détail source à réviser : c) Pour tout x de ]0;+ ∞[ , h( x)= 3 x −2 sin( x) (Source: "c) Pour tout x de ]0;+ ∞[ , h( x)= 3 x −2 sin( x)")
84. Détail source à réviser : x) dx ou ∫ a b f (t )dt ou encore ∫ a b f (u)du … On dit que x (ou t ou u) est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat (Source: "x) dx ou ∫ a b f (t )dt ou encore ∫ a b f (u)du … On dit que x (ou t ou u) est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat")
85. Détail source à réviser : Démonstration : manuel situation 3 page 243 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b (Source: "Démonstration : manuel situation 3 page 243 4) Signe et comparaison d’intégrales Propriété 1: Soient a et b deux réels de I tels que a⩽b")
86. Détail source à réviser : x) alors ∫ a b f ( x ) dx⩾∫ a b g ( x)dx (Source: "x) alors ∫ a b f ( x ) dx⩾∫ a b g ( x)dx")
87. Détail source à réviser : G est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • H est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primit (Source: "G est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • H est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique. N’importe quelle fonction G telle que")
88. Détail source à réviser : H est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique. N’importe quelle fonctio (Source: "H est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique. N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une constante, sera")
89. Détail source à réviser : K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique. N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une co (Source: "K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? Remarque : Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, cette primitive n’est pas unique. N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une constante, sera une primitive de f . Propriété : Soit f une fo")
90. Détail source à réviser : D. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I (Source: "D. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES Dans tout ce paragraphe, f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I")
91. Détail source à réviser : F est-elle une primitive de f sur ℝ ? b) Pour tout x de ]0 ;+∞[ , g ( x)= 3 x ; G( x)=3 ln(x) , H ( x )=3 ln( x)+5 et K ( x)=3 ln( x )+ 2 x . • G est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • H est-elle une primitive de g (Source: "F est-elle une primitive de f sur ℝ ? b) Pour tout x de ]0 ;+∞[ , g ( x)= 3 x ; G( x)=3 ln(x) , H ( x )=3 ln( x)+5 et K ( x)=3 ln( x )+ 2 x . • G est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • H est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ? • K est-elle une primitive de g sur ]0 ;+∞[ ?")
92. Détail source à réviser : Définition : Dans un repère orthogonal (O; I , J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1) (Source: "Définition : Dans un repère orthogonal (O; I , J) , on appelle unité d’aire de ce repère l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1)")
93. Détail source à réviser : PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I (Source: "PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 1) Notion de primitive Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit F une fonction dérivable sur I")
94. Détail source à réviser : On dit que F est une primitive de f sur I si la fonction dérivée de F est f , autrement dit : F est une primitive de f sur I si, pour tout réel x de I, F ' ( x )= f ( x) (Source: "On dit que F est une primitive de f sur I si la fonction dérivée de F est f , autrement dit : F est une primitive de f sur I si, pour tout réel x de I, F ' ( x )= f ( x)")
95. Détail source à réviser : Remarque : F est une primitive de f sur I ssi F est solution de l’équation différentielle y ' = f (Source: "Remarque : F est une primitive de f sur I ssi F est solution de l’équation différentielle y ' = f")
96. Détail source à réviser : N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une constante, sera une primitive de f (Source: "N’importe quelle fonction G telle que G( x)=F (x )+k , où k est une constante, sera une primitive de f")

📊 Tableaux de Synthèse

Propriétés des primitives de fonctions continues

Propriété	Description
Existence	Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive
Unicité	Les primitives diffèrent d’une constante
Forme générale	Toutes les primitives de f sont de la forme F + k
Existence d’une primitive spécifique	Pour tout x0 et y0, il existe une unique primitive F avec F(x0)=y0

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la non-unicité d’une primitive avec l’unicité de la primitive d’une fonction continue.
2. Oublier que toutes les primitives diffèrent d’une constante.
3. Confondre la primitive d’une fonction avec une primitive particulière.
4. Supposer qu’une primitive n’existe pas si la fonction n’est pas dérivable en un point.
5. Mélanger la notion de primitive avec celle de solution d’une équation différentielle.
6. Confondre la forme F + k avec une primitive spécifique.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier que la fonction est continue sur l’intervalle.
2. Identifier une primitive particulière F.
3. Vérifier que toutes les primitives diffèrent d’une constante.
4. Utiliser la formule F + k pour toutes les primitives.
5. S’assurer que F est dérivable sur l’intervalle.
6. Vérifier la condition F(x0)=y0 pour une primitive spécifique.
7. Ne pas confondre primitive et solution d’une équation différentielle.
8. Se rappeler que la primitive n’est pas unique, sauf si on précise la valeur en un point.