Quiz: Critique des variations de suites — 12 Fragen

1. Quelle condition caractérise une suite croissante sur ℕ ?

A. Pour tout n∈ℕ, on a u_n>u_{n+1}

B. Pour tout n∈ℕ, on a u_n<u_{n+1}

C. Pour tout n∈ℕ, on a u_n≤u_{n+1}

D. Pour tout n∈ℕ, on a u_n≥u_{n+1}

Answer: (C)

Erklärung

Une suite croissante vérifie, pour tout n, l’inégalité u_n≤u_{n+1}. L’option avec le sens strict « > » correspond au contraire à une suite strictement décroissante.

2. Si l’on compare deux termes consécutifs et que l’on obtient toujours u_{n+1}-u_n≤0, que peut-on conclure ?

A. La suite est constante uniquement

B. La suite est croissante

C. La suite est strictement décroissante

D. La suite est décroissante

Answer: (D)

Erklärung

Dès que u_{n+1}-u_n≤0 pour tout n, la suite est décroissante. On ne peut pas conclure qu’elle est strictement décroissante, car l’égalité peut apparaître.

3. Dans la méthode de la différence, quel signe de u_{n+1}-u_n garantit que la suite est strictement croissante ?

A. u_{n+1}-u_n<0

B. u_{n+1}-u_n=0

C. u_{n+1}-u_n≤0

D. u_{n+1}-u_n>0

Answer: (D)

Erklärung

Une différence toujours strictement positive implique une croissance stricte. Un signe négatif ou nul conduit au contraire à une décroissance ou à une non-croissance.

4. Pourquoi travaille-t-on avec n∈ℕ dans la méthode de la différence ?

A. Parce que le signe de la différence doit être étudié pour chaque entier naturel

B. Parce que cela permet de remplacer la suite par une fonction continue

C. Parce que la suite n’est définie que pour n négatif

D. Parce que la différence n’existe que pour les réels

Answer: (A)

Erklärung

La méthode consiste à étudier le signe de u_{n+1}-u_n pour tout entier naturel n. Cela permet de conclure sur le sens de variation de la suite.

5. Une suite est définie par u_n=f(n). Si f est croissante sur [0,+∞[, que peut-on dire de la suite ?

A. Elle n’a aucun lien avec la variation de f

B. Elle est croissante sur ℕ

C. Elle est décroissante seulement à partir d’un certain rang

D. Elle est strictement décroissante sur ℕ

Answer: (B)

Erklärung

Pour une suite explicite u_n=f(n), la variation de la suite suit celle de f sur [0,+∞[. Si f est croissante sur cet intervalle, alors la suite est croissante sur ℕ.

6. Quelle propriété de la fonction associée assure qu’une suite u_n=f(n) est décroissante sur ℕ ?

A. f est décroissante sur [0,+∞[

B. f est croissante sur ℝ

C. f est définie seulement sur ℕ

D. f est constante sur ℝ

Answer: (A)

Erklärung

Si la fonction f est décroissante sur [0,+∞[, alors les valeurs f(n) forment une suite décroissante. Il faut bien considérer l’intervalle [0,+∞[ et non tout ℝ.

7. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison r ?

A. u_{n+1}=u_n+r

B. u_{n+1}=u_n\times r^n

C. u_{n+1}=u_n-r^2

D. u_{n+1}=r\,u_n

Answer: (A)

Erklärung

Une suite arithmétique vérifie une relation de récurrence du type u_{n+1}=u_n+r. La différence entre deux termes consécutifs est donc constante et égale à r.

8. Si une suite arithmétique a une raison r<0, que peut-on conclure ?

A. Elle est constante

B. Elle est croissante

C. On ne peut rien conclure

D. Elle est décroissante

Answer: (D)

Erklärung

Dans une suite arithmétique, la variation dépend du signe de r. Si r est négatif, chaque terme est plus petit que le précédent, donc la suite est décroissante.

9. Avant d’appliquer la méthode du quotient, quelle condition doit vérifier la suite ?

A. Ses termes doivent être tous négatifs

B. Elle doit être définie par une fonction affine

C. Ses termes doivent être strictement positifs

D. Elle doit être arithmétique

Answer: (C)

Erklärung

La méthode du quotient nécessite des termes strictement positifs afin de pouvoir diviser sans changer le sens des comparaisons. C’est une condition essentielle avant d’étudier u_{n+1}/u_n.

10. Si u_n>0 et que u_{n+1}/u_n<1 pour tout n, que devient la suite ?

A. Elle est constante

B. Elle est croissante

C. Elle est arithmétique

D. Elle est décroissante

Answer: (D)

Erklärung

Quand tous les termes sont positifs, un quotient inférieur à 1 montre que chaque terme est plus petit que le précédent. La suite est donc décroissante.

11. Quelle propriété caractérise une suite géométrique ?

A. Le produit de deux termes consécutifs est constant

B. La différence entre deux termes consécutifs est constante

C. Le quotient de deux termes consécutifs est constant

D. La somme de deux termes consécutifs est constante

Answer: (C)

Erklärung

Une suite géométrique vérifie que le quotient $u_{n+1}/u_n$ est constant et vaut la raison $q$. La différence constante, elle, caractérise une suite arithmétique.

12. Pour une suite géométrique de premier terme positif, dans quel cas est-elle décroissante sur ℕ ?

A. Lorsque la raison est négative

B. Lorsque la raison est comprise entre 0 et 1

C. Lorsque la raison est égale à 1

D. Lorsque la raison est supérieure à 1

Answer: (B)

Erklärung

Avec $u_0>0$ et $q>0$, une suite géométrique est décroissante si $0<q<1$. Si $q>1$, elle est au contraire croissante.