Quiz: Dérivation et fonctions composées — 22 questions

Question 1

1. Quelle est la dérivée de la fonction constante définie par f(x)=7 ?

7

1

0

x

Explanation

La dérivée d’une constante réelle est nulle. La valeur 7 est la constante elle-même, et non sa dérivée.

Answer

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Answer

f est décroissante

Answer

Elle est croissante

Answer

Calculer la dérivée, étudier son signe, puis construire le tableau de variations

Answer

(u'v−uv')/v^2

Answer

f=v∘u, car u est appliquée avant v

Answer

La fonction u

Answer

Parce que l’ordre d’application peut modifier la fonction obtenue

Answer

v'(u(x))u'(x)

Answer

Identifier u et v, calculer u' et v', puis appliquer la règle de composition

Answer

nu'(x)(u(x))^(n−1)

Answer

u'(x)e^{u(x)}

Answer

Déterminer les limites, calculer la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau de variations et tracer la courbe

Answer

$$f'(x)=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)e^{-x^2/2}$$

Answer

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$$ et $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$$

Question 2

2. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=-3x ?

-3

3

-3x

0

Explanation

Pour une fonction de la forme ax, la dérivée est la constante a. Ici, a=-3.

Question 3

3. Quelle est la dérivée de f(x)=x^5 ?

x^6

5x^5

x^4

5x^4

Explanation

La règle de dérivation de x^n donne nx^{n-1}. Pour n=5, on obtient 5x^4.

Question 4

4. Pour x>0, quelle est la dérivée de f(x)=√x ?

√x/2

1/√x

1/(2√x)

2√x

Explanation

La dérivée de √x est 1/(2√x) sur son domaine de dérivabilité. Les autres expressions ne correspondent pas à cette formule.

Question 5

5. Quelle équation représente la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

y=f'(x)(x-a)+f(a)

y=f(a)x+f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

Explanation

La tangente en a utilise la pente f'(a) et le point de coordonnées (a,f(a)), d’où y=f'(a)(x-a)+f(a).

Question 6

6. Si f'(x)≤0 sur un intervalle, quelle propriété peut-on déduire pour f sur cet intervalle ?

f est constante en tout point

f est croissante

f n’est pas dérivable

f est décroissante

Explanation

Une dérivée négative ou nulle sur un intervalle implique que la fonction y est décroissante. La fonction peut toutefois être constante sur une partie de l’intervalle, sans l’être nécessairement partout.

Question 7

7. Si f'(x)≥0 sur un intervalle, comment varie f sur cet intervalle ?

Elle change de signe

Elle est croissante

Elle est nécessairement constante

Elle est décroissante

Explanation

Une dérivée positive ou nulle indique que la fonction est croissante sur l’intervalle. Une dérivée nulle partout correspondrait à un cas particulier constant.

Question 8

8. Quelle démarche permet d’étudier correctement les variations d’une fonction dérivable ?

Étudier le signe de la fonction sans calculer sa dérivée

Calculer la dérivée, étudier son signe, puis construire le tableau de variations

Calculer seulement les valeurs de la fonction aux extrémités

Construire le tableau, calculer la dérivée, puis choisir son signe

Explanation

L’étude des variations suit l’ordre suivant : calcul de la dérivée, détermination de son signe, puis construction du tableau de variations.

Question 9

9. Quelle est la dérivée de la somme u+v ?

(u'+v')^2

u'+v'

u'v+uv'

u'−v'

Explanation

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : (u+v)'=u'+v'. La formule u'v+uv' concerne un produit.

Question 10

10. Quelle formule donne la dérivée du produit uv ?

u'v−uv'

u'v+uv'

u'v'

(u+v)'

Explanation

La règle du produit est (uv)'=u'v+uv'. Elle comporte donc deux termes, contrairement à la dérivée d’une somme.

Question 11

11. Quelle est la dérivée de la fonction f définie par f(x)=4u(x), où 4 est constant ?

4u(x)

u'(x)/4

u'(x)+4

4u'(x)

Explanation

Un facteur constant se conserve lors de la dérivation : (ku)'=ku'. Ici, la dérivée est donc 4u'(x).

Question 12

12. Lorsque v(x)≠0, quelle est la dérivée du quotient u/v ?

(u'v+uv')/v^2

(u'v−uv')/v^2

u'/v'

(uv)'/v

Explanation

La dérivée d’un quotient est (u/v)'=(u'v−uv')/v^2, lorsque le quotient est défini. Le numérateur comporte une différence, et non une somme.

Question 13

13. Si l’on définit u(x)=x-3 et v(x)=√x, quelle écriture décrit correctement la fonction f(x)=√(x-3) ?

f=v∘u, car u est appliquée avant v

f=u∘v, car v est appliquée avant u

f=u+v, car les deux fonctions sont combinées

f=v-u, car v transforme le résultat de u

Explanation

On calcule d’abord u(x)=x−3, puis on applique v à ce résultat : v(u(x))=√(x−3). La fonction s’écrit donc v∘u.

Question 14

14. Dans l’écriture (v∘u)(x)=v(u(x)), quelle fonction est appliquée en premier ?

La fonction v

La fonction u

La fonction v∘u entière

Aucune, car les deux fonctions sont simultanées

Explanation

Dans v(u(x)), la fonction intérieure u agit d’abord, puis la fonction extérieure v s’applique à son résultat.

Question 15

15. Pourquoi faut-il distinguer v∘u de u∘v dans le cas général ?

Parce que la composition inverse nécessairement les signes des fonctions

Parce que l’une des compositions ne contient pas de fonction intérieure

Parce que ces deux compositions utilisent toujours des fonctions différentes

Parce que l’ordre d’application peut modifier la fonction obtenue

Explanation

En général, appliquer u puis v ne produit pas le même résultat qu’appliquer v puis u. Ainsi, v∘u et u∘v ne sont généralement pas égales.

Question 16

16. Quelle expression donne la dérivée de la composée v∘u ?

v(u'(x))u'(x)

v'(x)u(x)

v'(x)+u'(x)

v'(u(x))u'(x)

Explanation

La règle de dérivation d’une composée est (v∘u)'(x)=v'(u(x))u'(x). La dérivée de la fonction extérieure doit être évaluée en u(x), puis multipliée par u'(x).

Question 17

17. Pour dériver une fonction composée, quelle démarche est correcte ?

Identifier u et v, calculer u' et v', puis appliquer la règle de composition

Calculer seulement la dérivée de la fonction intérieure

Additionner les dérivées de u et de v sans les composer

Dériver directement v sans remplacer sa variable par u(x)

Explanation

Il faut reconnaître les fonctions intérieure et extérieure, déterminer leurs dérivées, puis utiliser v'(u(x))u'(x). Dériver v seule ne tient pas compte de la dépendance en u(x).

Question 18

18. Quelle est la dérivée de (u(x))^n pour un entier non nul n ?

n(u(x))^(n−1)

n u(x)(u'(x))^(n−1)

nu'(x)(u(x))^(n−1)

u'(x)(u(x))^n

Explanation

La règle de la puissance composée donne nu'(x)(u(x))^(n−1). Le facteur u'(x) est indispensable, car l’expression porte sur u(x) et non simplement sur x.

Question 19

19. Si f(x)=e^{u(x)}, quelle formule permet de calculer f'(x) ?

u(x)e^{u'(x)}

u'(x)+e^{u(x)}

u'(x)e^{u(x)}

e^{u(x)}

Explanation

La dérivée de l’exponentielle composée est u'(x)e^{u(x)}. Le facteur u'(x) provient de la dérivation de la fonction intérieure.

Question 20

20. Quelles étapes appartiennent à l’étude complète d’une fonction composée ?

Tracer la courbe puis déterminer les limites à partir du graphique

Étudier uniquement les limites et les points d’intersection avec les axes

Déterminer les limites, calculer la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau de variations et tracer la courbe

Calculer uniquement la dérivée et résoudre l’équation obtenue

Explanation

L’étude complète comprend les limites, la dérivée, le signe de la dérivée, le tableau de variations et le tracé de la courbe. Le tableau de variations découle du signe de la dérivée, tandis que les limites décrivent le comportement aux extrémités.

Question 21

21. Pour la fonction définie par $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$, quelle est l’expression de sa dérivée ?

$$f'(x)=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)e^{-x^2/2}$$

$$f'(x)=\left(1+\frac{x^2}{2}\right)e^{-x^2/2}$$

$$f'(x)=xe^{-x^2/2}\left(1-\frac{x^2}{2}\right)$$

$$f'(x)=\left(1-x^2\right)e^{-x^2/2}$$

Explanation

La dérivée de $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$ est $$f'(x)=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)e^{-x^2/2}$$. Le facteur exponentiel reste strictement positif, mais il est multiplié par le facteur polynomial indiqué.

Question 22

22. Quelles sont les limites de $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$ aux deux extrémités de son domaine ?

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$$ et $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$$

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$$ et $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$$ et $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$$ et $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$$

Explanation

Lorsque $$x$$ tend vers $$-infty$$, la fonction tend vers $$-infty$$, tandis que lorsque $$x$$ tend vers $$+infty$$, elle tend vers $$0$$. Il faut donc distinguer le comportement aux deux extrémités.

Quiz: Dérivation et fonctions composées — 22 questions

Detailed questions and answers

1. Quelle est la dérivée de la fonction constante définie par f(x)=7 ?

2. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=-3x ?

3. Quelle est la dérivée de f(x)=x^5 ?

4. Pour x>0, quelle est la dérivée de f(x)=√x ?

5. Quelle équation représente la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

6. Si f'(x)≤0 sur un intervalle, quelle propriété peut-on déduire pour f sur cet intervalle ?

7. Si f'(x)≥0 sur un intervalle, comment varie f sur cet intervalle ?

8. Quelle démarche permet d’étudier correctement les variations d’une fonction dérivable ?

9. Quelle est la dérivée de la somme u+v ?

10. Quelle formule donne la dérivée du produit uv ?

11. Quelle est la dérivée de la fonction f définie par f(x)=4u(x), où 4 est constant ?

12. Lorsque v(x)≠0, quelle est la dérivée du quotient u/v ?

13. Si l’on définit u(x)=x-3 et v(x)=√x, quelle écriture décrit correctement la fonction f(x)=√(x-3) ?

14. Dans l’écriture (v∘u)(x)=v(u(x)), quelle fonction est appliquée en premier ?

15. Pourquoi faut-il distinguer v∘u de u∘v dans le cas général ?

16. Quelle expression donne la dérivée de la composée v∘u ?

17. Pour dériver une fonction composée, quelle démarche est correcte ?

18. Quelle est la dérivée de (u(x))^n pour un entier non nul n ?

19. Si f(x)=e^{u(x)}, quelle formule permet de calculer f'(x) ?

20. Quelles étapes appartiennent à l’étude complète d’une fonction composée ?

21. Pour la fonction définie par $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$, quelle est l’expression de sa dérivée ?

22. Quelles sont les limites de $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$ aux deux extrémités de son domaine ?

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