★ À maîtriser
📌 Une somme, un produit, une composition ou un inverse de fonctions différentiables est différentiable sur le domaine où l'expression est définie.
Compléments
Composantes différentiables → fonction vectorielle différentiable
📐 Formule — Pour , on a et .
1. Quelle condition caractérise la différentiabilité d’une fonction vectorielle ?
2. Pourquoi la fonction obtenue par une somme, un produit ou une composition de fonctions différentiables reste-t-elle différentiable ?
3. Pour f(x,y)=y sin(xy), quelle est la dérivée partielle par rapport à y ?
Qu'est-ce que la différentiabilité composante par composante ?
Une fonction vectorielle est différentiable si chacune de ses composantes l'est.
Quelles opérations préservent la différentiabilité des fonctions ?
La somme, le produit, la composition et l'inverse de fonctions différentiables sont différentiables.
Pourquoi la fonction f(x,y)=y sin(xy) est-elle différentiable sur ℝ² ?
Parce que ses coordonnées, le produit et la composition avec le sinus sont différentiables.
Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=y sin(xy) par rapport à x ?
C'est y² cos(xy).
Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=y sin(xy) par rapport à y ?
C'est sin(xy) + xy cos(xy).
Quelles sont les dérivées partielles de h(x,y,z)=(x²(y+1), xz², y+1) ?
Elles sont (2x(y+1), z², 0), (x², 0, 1) et (0, 2xz, 0).
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