Quiz: Ensembles de nombres et calculs — 13 questions

1. Quelle relation d’inclusion entre les familles de nombres est correcte ?

A. \(\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}\)

B. \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

C. \(\mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}\)

D. \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}\)

Answer: (B)

Explanation

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Chaque ensemble est donc inclus dans le suivant.

2. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers naturels ?

A. \(-3\)

B. \(\sqrt{2}\)

C. \(0\)

D. \(-\frac{1}{2}\)

Answer: (C)

Explanation

Les entiers naturels sont \(0,1,2,3,\ldots\) et ne contiennent aucun nombre négatif. Parmi les propositions, seul \(0\) est naturel.

3. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

A. Il doit comporter une racine carrée ou le nombre \(\pi\).

B. Il peut s’écrire sous la forme \(\frac{a}{b}\), avec \(a,b\) entiers et \(b\ne0\).

C. Il doit être représenté par un point situé entre \(0\) et \(1\).

D. Il doit être un entier positif écrit sans fraction.

Answer: (B)

Explanation

Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit comme une fraction \(\frac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont entiers et où le dénominateur est non nul.

4. Lequel de ces nombres est réel mais irrationnel ?

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(-5\)

C. \(\sqrt{2}\)

D. \(0\)

Answer: (C)

Explanation

Les nombres réels correspondent à tous les points de la droite graduée, notamment les irrationnels comme \(\sqrt{2}\). Les autres nombres proposés sont rationnels.

5. Quelle inégalité décrit l’intervalle fermé \([2;5]\) ?

A. \(2\le x\le5\)

B. \(2<x\le5\)

C. \(2<x<5\)

D. \(2\le x<5\)

Answer: (A)

Explanation

Un intervalle fermé contient ses deux bornes. Ainsi, \([2;5]\) correspond à \(2\le x\le5\).

6. Le nombre \(3\) appartient-il à l’intervalle ouvert \(]1;3[\) ?

A. Non, car les deux bornes d’un intervalle ouvert sont exclues.

B. Oui, car il est situé à l’extrémité droite de l’intervalle.

C. Oui, car toute borne positive est incluse.

D. Non, car un intervalle ouvert ne contient aucun nombre entier.

Answer: (A)

Explanation

Dans un intervalle ouvert \(]a;b[\), les bornes ne sont pas incluses. Le nombre \(3\), qui est une borne de \(]1;3[\), n’y appartient donc pas.

7. Quelle écriture représente l’ensemble des nombres \(x\) tels que \(x\ge -2\) ?

A. \(]-\infty;-2]\)

B. \(]-\infty;-2[\)

C. \([-2;+infty[\)

D. \(]-2;+infty[\)

Answer: (C)

Explanation

La condition \(x\ge-2\) inclut la borne \(-2\) et s’étend vers \(+\infty\). Elle s’écrit donc \([-2;+\infty[\), avec une borne ouverte du côté de l’infini.

8. Quel développement de \((a+b)^2\) est correct ?

A. \(a^2+b^2\)

B. \(a^2+2ab+b^2\)

C. \(a^2-2ab+b^2\)

D. \(a^2-ab+b^2\)

Answer: (B)

Explanation

Le carré d’une somme contient le double produit \(2ab\) : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). L’expression \(a^2+b^2\) oublie ce terme.

9. Quelle expression obtient-on en développant \((x-4)^2\) ?

A. \(x^2-4x+16\)

B. \(x^2-8x+16\)

C. \(x^2+8x+16\)

D. \(x^2-16\)

Answer: (B)

Explanation

En appliquant \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=4\), on obtient \(x^2-8x+16\).

10. Quelle factorisation correspond à \(x^2-25\) ?

A. \((x-5)^2\)

B. \((x+5)^2\)

C. \((x-25)(x+1)\)

D. \((x-5)(x+5)\)

Answer: (D)

Explanation

\(x^2-25=x^2-5^2\) est une différence de deux carrés. Elle se factorise donc en \((x-5)(x+5)\), et non en une somme de carrés.

11. Quelle est la valeur de l’expression \(3+2\times5\) en appliquant les priorités opératoires ?

A. 17

B. 35

C. 13

D. 25

Answer: (C)

Explanation

La multiplication est effectuée avant l’addition : \(2\times5=10\), puis \(3+10=13\). Cette règle évite une lecture strictement de gauche à droite.

12. Quel est le signe du produit \((-7)\times(-4)\) ?

A. Positif

B. Négatif

C. Nul

D. Indéterminé

Answer: (A)

Explanation

Le produit de deux nombres de même signe est positif. Ici, les deux facteurs sont négatifs, donc leur produit est positif.

13. Quelle est la valeur de \(|-8|\) ?

A. \(0\)

B. \(-8\)

C. \(\frac{1}{8}\)

D. \(8\)

Answer: (D)

Explanation

La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé : \(|-8|=-(-8)=8\). Elle représente la distance entre le nombre et zéro.